Theorem frins 9821

Description: Well-Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than 𝑦 of a well-founded class 𝐴 to 𝑦 itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frins.1	⊢ 𝑅 Fr 𝐴
frins.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
frins.3	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
frins	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem frins

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frins.1	. . 3 ⊢ 𝑅 Fr 𝐴
2		frins.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		frins.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑 → 𝜑))
4	3	frinsg 9820	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
5	1, 2, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
6	5	rspec 3256	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  [wsbc 3804   Fr wfr 5649   Se wse 5650  Predcpred 6331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-ttrcl 9777

This theorem is referenced by: (None)