MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frins2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frins2f 9747
Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2f.1 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
frins2f.2 𝑦𝜓
frins2f.3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
frins2f ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frins2f
StepHypRef Expression
1 sbsbc 3776 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑦]𝜑[𝑧 / 𝑦]𝜑)
2 frins2f.2 . . . . . 6 𝑦𝜓
3 frins2f.3 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
42, 3sbiev 2302 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑦]𝜑𝜓)
51, 4bitr3i 277 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦]𝜑𝜓)
65ralbii 3087 . . 3 (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓)
7 frins2f.1 . . 3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
86, 7biimtrid 241 . 2 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑𝜑))
98frinsg 9745 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wnf 1777  [wsb 2059  wcel 2098  wral 3055  [wsbc 3772   Fr wfr 5621   Se wse 5622  Predcpred 6292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-ttrcl 9702
This theorem is referenced by:  frins2  9748
  Copyright terms: Public domain W3C validator