Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frr3 32757
Description: Law of general founded recursion, part three. Finally, we show that 𝐹 is unique. We do this by showing that any function 𝐻 with the same properties we proved of 𝐹 in frr1 32755 and frr2 32756 is identical to 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
frr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frr3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻

Proof of Theorem frr3
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
2 frr.1 . . . . 5 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
32frr1 32755 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
42frr2 32756 . . . . 5 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
54ralrimiva 3151 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
63, 5jca 512 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
76adantr 481 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
8 simpr 485 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
9 frr3g 32732 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
101, 7, 8, 9syl3anc 1364 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wral 3107   Fr wfr 5406   Se wse 5407  cres 5452  Predcpred 6029   Fn wfn 6227  cfv 6232  (class class class)co 7023  frecscfrecs 32728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-trpred 32668  df-frecs 32729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator