Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frr3 32757
 Description: Law of general founded recursion, part three. Finally, we show that 𝐹 is unique. We do this by showing that any function 𝐻 with the same properties we proved of 𝐹 in frr1 32755 and frr2 32756 is identical to 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
frr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frr3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻

Proof of Theorem frr3
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
2 frr.1 . . . . 5 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
32frr1 32755 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
42frr2 32756 . . . . 5 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
54ralrimiva 3151 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
63, 5jca 512 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
76adantr 481 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
8 simpr 485 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
9 frr3g 32732 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
101, 7, 8, 9syl3anc 1364 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐻𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525  ∀wral 3107   Fr wfr 5406   Se wse 5407   ↾ cres 5452  Predcpred 6029   Fn wfn 6227  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  frecscfrecs 32728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-trpred 32668  df-frecs 32729 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator