Theorem frr3 9676

Description: Law of general well-founded recursion, part three. Finally, we show that 𝐹 is unique. We do this by showing that any function 𝐻 with the same properties we proved of 𝐹 in frr1 9674 and frr2 9675 is identical to 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frr.1	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frr3	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻

Proof of Theorem frr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
2		frr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
3	2	frr1 9674	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
4	2	frr2 9675	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
5	4	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
6	3, 5	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
8		simpr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))))
9		frr3g 9671	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1379	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐻 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐻‘𝑧) = (𝑧𝐺(𝐻 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))) → 𝐹 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∀wral 3053   Fr wfr 5568   Se wse 5569   ↾ cres 5620  Predcpred 6251   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  frecscfrecs 8220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-ttrcl 9620

This theorem is referenced by: (None)