Theorem frr1 9517

Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8119, fpr2 8120, and fpr3 8121, which requires using the axiom of infinity (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frr.1	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frr1	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
2	1	frrlem1 8102	. . 3 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3		frr.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
4	2, 3	frrlem15 9515	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ℎ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢 ∧ 𝑥ℎ𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
5	2, 3, 4	frrlem9 8110	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8		predres 6242	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
9		relres 5920	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
10		ssttrcl 9473	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
11		predrelss 6240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
13	8, 12	eqsstri 3955	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
15		frrlem16 9516	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
16		ttrclse 9485	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴)
17		setlikespec 6228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
18	17	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
19	16, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
20	19	adantll 711	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21		predss 6210	. . . 4 ⊢ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23		difss 4066	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24		frmin 9507	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
25	23, 24	mpanr1 700	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
26	2, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25	frrlem14 8115	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27		df-fn 6436	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
28	5, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567   Fr wfr 5541   Se wse 5542  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Rel wrel 5594  Predcpred 6201  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  frecscfrecs 8096  t++cttrcl 9465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-ttrcl 9466

This theorem is referenced by:  frr2  9518  frr3  9519