MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frr1 9756
Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8290, fpr2 8291, and fpr3 8292, which requires using the axiom of infinity (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
frr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frr1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
21frrlem1 8273 . . 3 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3 frr.1 . . 3 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
42, 3frrlem15 9754 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
52, 3, 4frrlem9 8281 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6 eqid 2732 . . 3 ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7 simpl 483 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8 predres 6340 . . . . 5 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
9 relres 6010 . . . . . 6 Rel (𝑅𝐴)
10 ssttrcl 9712 . . . . . 6 (Rel (𝑅𝐴) → (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴))
11 predrelss 6338 . . . . . 6 ((𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴) → Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5 Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
138, 12eqsstri 4016 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
1413a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
15 frrlem16 9755 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
16 ttrclse 9724 . . . . 5 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
17 setlikespec 6326 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ∧ t++(𝑅𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1817ancoms 459 . . . . 5 ((t++(𝑅𝐴) Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1916, 18sylan 580 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
2019adantll 712 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21 predss 6308 . . . 4 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
2221a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23 difss 4131 . . . 4 (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24 frmin 9746 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
2523, 24mpanr1 701 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
262, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25frrlem14 8286 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27 df-fn 6546 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
285, 26, 27sylanbrc 583 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2709  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cop 4634   Fr wfr 5628   Se wse 5629  dom cdm 5676  cres 5678  Rel wrel 5681  Predcpred 6299  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7411  frecscfrecs 8267  t++cttrcl 9704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-ttrcl 9705
This theorem is referenced by:  frr2  9757  frr3  9758
  Copyright terms: Public domain W3C validator