MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frr1 9797
Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8327, fpr2 8328, and fpr3 8329, which requires using the axiom of infinity (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
frr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frr1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
21frrlem1 8310 . . 3 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3 frr.1 . . 3 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
42, 3frrlem15 9795 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
52, 3, 4frrlem9 8318 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6 eqid 2735 . . 3 ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7 simpl 482 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8 predres 6362 . . . . 5 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
9 relres 6026 . . . . . 6 Rel (𝑅𝐴)
10 ssttrcl 9753 . . . . . 6 (Rel (𝑅𝐴) → (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴))
11 predrelss 6360 . . . . . 6 ((𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴) → Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5 Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
138, 12eqsstri 4030 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
1413a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
15 frrlem16 9796 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
16 ttrclse 9765 . . . . 5 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
17 setlikespec 6348 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ∧ t++(𝑅𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1817ancoms 458 . . . . 5 ((t++(𝑅𝐴) Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1916, 18sylan 580 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
2019adantll 714 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21 predss 6331 . . . 4 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
2221a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23 difss 4146 . . . 4 (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24 frmin 9787 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
2523, 24mpanr1 703 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
262, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25frrlem14 8323 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27 df-fn 6566 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
285, 26, 27sylanbrc 583 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   Fr wfr 5638   Se wse 5639  dom cdm 5689  cres 5691  Rel wrel 5694  Predcpred 6322  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  frecscfrecs 8304  t++cttrcl 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-ttrcl 9746
This theorem is referenced by:  frr2  9798  frr3  9799
  Copyright terms: Public domain W3C validator