Theorem frr1 9652

Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8233, fpr2 8234, and fpr3 8235, which requires using the axiom of infinity (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frr.1	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frr1	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
2	1	frrlem1 8216	. . 3 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3		frr.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
4	2, 3	frrlem15 9650	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ℎ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢 ∧ 𝑥ℎ𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
5	2, 3, 4	frrlem9 8224	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8		predres 6286	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
9		relres 5953	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
10		ssttrcl 9605	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
11		predrelss 6284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
13	8, 12	eqsstri 3976	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
15		frrlem16 9651	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
16		ttrclse 9617	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴)
17		setlikespec 6272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
18	17	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
19	16, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
20	19	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21		predss 6256	. . . 4 ⊢ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23		difss 4083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24		frmin 9642	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
25	23, 24	mpanr1 703	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
26	2, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25	frrlem14 8229	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27		df-fn 6484	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
28	5, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  ⟨cop 4579   Fr wfr 5564   Se wse 5565  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  Rel wrel 5619  Predcpred 6247  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  frecscfrecs 8210  t++cttrcl 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-ttrcl 9598

This theorem is referenced by:  frr2  9653  frr3  9654