MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frr1 9799
Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8328, fpr2 8329, and fpr3 8330, which requires using the axiom of infinity (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
frr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frr1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
21frrlem1 8311 . . 3 {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3 frr.1 . . 3 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
42, 3frrlem15 9797 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑐𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐𝑏 (𝑎𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
52, 3, 4frrlem9 8319 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6 eqid 2737 . . 3 ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7 simpl 482 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8 predres 6360 . . . . 5 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
9 relres 6023 . . . . . 6 Rel (𝑅𝐴)
10 ssttrcl 9755 . . . . . 6 (Rel (𝑅𝐴) → (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴))
11 predrelss 6358 . . . . . 6 ((𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴) → Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5 Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
138, 12eqsstri 4030 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)
1413a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
15 frrlem16 9798 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
16 ttrclse 9767 . . . . 5 (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅𝐴) Se 𝐴)
17 setlikespec 6346 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ∧ t++(𝑅𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1817ancoms 458 . . . . 5 ((t++(𝑅𝐴) Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
1916, 18sylan 580 . . . 4 ((𝑅 Se 𝐴𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
2019adantll 714 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21 predss 6329 . . . 4 Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
2221a1i 11 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23 difss 4136 . . . 4 (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24 frmin 9789 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
2523, 24mpanr1 703 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
262, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25frrlem14 8324 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27 df-fn 6564 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
285, 26, 27sylanbrc 583 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   Fr wfr 5634   Se wse 5635  dom cdm 5685  cres 5687  Rel wrel 5690  Predcpred 6320  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  frecscfrecs 8305  t++cttrcl 9747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-ttrcl 9748
This theorem is referenced by:  frr2  9800  frr3  9801
  Copyright terms: Public domain W3C validator