Theorem frr1 9731

Description: Law of general well-founded recursion, part one. This theorem and the following two drop the partial order requirement from fpr1 8300, fpr2 8301, and fpr3 8302, which requires using the axiom of infinity. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
frr.1	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frr1	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem frr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
2	1	frrlem1 8283	. . 3 ⊢ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
3		frr.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
4	2, 3	frrlem15 9729	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))} ∧ ℎ ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))})) → ((𝑥𝑔𝑢 ∧ 𝑥ℎ𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
5	2, 3, 4	frrlem9 8291	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8		predres 6341	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
9		relres 6005	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
10		ssttrcl 9684	. . . . . 6 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
11		predrelss 6339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
13	8, 12	eqsstri 3991	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
15		frrlem16 9730	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑎 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
16		ttrclse 9696	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴)
17		setlikespec 6327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
18	17	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
19	16, 18	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
20	19	adantll 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∈ V)
21		predss 6311	. . . 4 ⊢ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
23		difss 4098	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
24		frmin 9721	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
25	23, 24	mpanr1 715	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
26	2, 3, 4, 6, 7, 14, 15, 20, 22, 25	frrlem14 8296	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
27		df-fn 6540	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
28	5, 26, 27	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594  ⟨cop 4600   Fr wfr 5612   Se wse 5613  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  Rel wrel 5667  Predcpred 6302  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  frecscfrecs 8277  t++cttrcl 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-ttrcl 9677

This theorem is referenced by:  frr2  9732  frr3  9733