MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgval 14275
Description: The value of the function in terms of the mapping 𝐺 from ω to 0. The proof avoids the use of ax-ac 10436. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5988 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
42, 3hashkf 14274 . . . . . . . . 9 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5 ffn 6704 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 6656 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8 disjdifr 4468 . . . . . . . . 9 ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
9 pnfex 11249 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
109fconst 6764 . . . . . . . . . 10 ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
11 ffn 6704 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
12 fnresdisj 6657 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
148, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
157, 14uneq12i 4157 . . . . . . 7 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
16 un0 4386 . . . . . . 7 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
1715, 16eqtri 2759 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
181, 17eqtri 2759 . . . . 5 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
19 df-hash 14273 . . . . . 6 ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
2019reseq1i 5969 . . . . 5 (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
21 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2221coeq1i 5851 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
2318, 20, 223eqtr4i 2769 . . . 4 (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2423fveq1i 6879 . . 3 ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
25 cardf2 9920 . . . . 5 card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On
26 ffun 6707 . . . . 5 (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On → Fun card)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 Fun card
28 finnum 9925 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
29 fvco 6975 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3027, 28, 29sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3124, 30eqtrid 2783 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
32 fvres 6897 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
3331, 32eqtr3d 2773 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2708  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  c0 4318  {csn 4622   class class class wbr 5141  cmpt 5224   × cxp 5667  dom cdm 5669  cres 5671  ccom 5673  Oncon0 6353  Fun wfun 6526   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  ωcom 7838  reccrdg 8391  cen 8919  Fincfn 8922  cardccrd 9912  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095  +∞cpnf 11227  0cn0 12454  chash 14272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-hash 14273
This theorem is referenced by:  hashginv  14276  hashfz1  14288  hashen  14289  hashcard  14297  hashcl  14298  hashgval2  14320  hashdom  14321  hashun  14324  fz1isolem  14404
  Copyright terms: Public domain W3C validator