MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashgval 14293
Description: The value of the β™― function in terms of the mapping 𝐺 from Ο‰ to β„•0. The proof avoids the use of ax-ac 10454. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5997 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
42, 3hashkf 14292 . . . . . . . . 9 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0
5 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 6670 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
8 disjdifr 4473 . . . . . . . . 9 ((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ…
9 pnfex 11267 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
109fconst 6778 . . . . . . . . . 10 ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞}
11 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞} β†’ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin))
12 fnresdisj 6671 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…)
148, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…
157, 14uneq12i 4162 . . . . . . 7 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…)
16 un0 4391 . . . . . . 7 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
1715, 16eqtri 2761 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
181, 17eqtri 2761 . . . . 5 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
19 df-hash 14291 . . . . . 6 β™― = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
2019reseq1i 5978 . . . . 5 (β™― β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin)
21 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
2221coeq1i 5860 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
2318, 20, 223eqtr4i 2771 . . . 4 (β™― β†Ύ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2423fveq1i 6893 . . 3 ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄)
25 cardf2 9938 . . . . 5 card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On
26 ffun 6721 . . . . 5 (card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On β†’ Fun card)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 Fun card
28 finnum 9943 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin β†’ 𝐴 ∈ dom card)
29 fvco 6990 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3027, 28, 29sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3124, 30eqtrid 2785 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
32 fvres 6911 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (β™―β€˜π΄))
3331, 32eqtr3d 2775 1 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855  reccrdg 8409   β‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  cardccrd 9930  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  hashginv  14294  hashfz1  14306  hashen  14307  hashcard  14315  hashcl  14316  hashgval2  14338  hashdom  14339  hashun  14342  fz1isolem  14422
  Copyright terms: Public domain W3C validator