Theorem hashgval 14478

Description: The value of the ♯ function in terms of the mapping 𝐺 from ω to ℕ₀. The proof avoids the use of ax-ac 10538. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgval.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgval	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5985	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
4	2, 3	hashkf 14477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5		ffn 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6		fnresdm 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8		disjdifr 4427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
9		pnfex 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ V
10	9	fconst 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
11		ffn 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
12		fnresdisj 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
14	8, 13	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
15	7, 14	uneq12i 4113	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
16		un0 4344	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
17	15, 16	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
18	1, 17	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
19		df-hash 14476	. . . . . 6 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20	19	reseq1i 5966	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
21		hashgval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
22	21	coeq1i 5837	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
23	18, 20, 22	3eqtr4i 2794	. . . 4 ⊢ (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
24	23	fveq1i 6887	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
25		cardf2 10025	. . . . 5 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
26		ffun 6713	. . . . 5 ⊢ (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On → Fun card)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun card
28		finnum 10030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
29		fvco 6984	. . . 4 ⊢ ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
30	27, 28, 29	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
31	24, 30	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
32		fvres 6905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
33	31, 32	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Oncon0 6363  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ωcom 7878  reccrdg 8418   ≈ cen 8971  Fincfn 8974  cardccrd 10017  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204  +∞cpnf 11341  ℕ₀cn0 12607  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-hash 14476

This theorem is used by:  hashginv  14479  hashfz1  14491  hashen  14492  hashcard  14500  hashcl  14501  hashgval2  14523  hashdom  14524  hashun  14527  fz1isolem  14607