MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgval 14240
Description: The value of the β™― function in terms of the mapping 𝐺 from Ο‰ to β„•0. The proof avoids the use of ax-ac 10402. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5957 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin))
2 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
42, 3hashkf 14239 . . . . . . . . 9 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0
5 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 6625 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
8 disjdifr 4437 . . . . . . . . 9 ((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ…
9 pnfex 11215 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
109fconst 6733 . . . . . . . . . 10 ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞}
11 ffn 6673 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞} β†’ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin))
12 fnresdisj 6626 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…)
148, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…
157, 14uneq12i 4126 . . . . . . 7 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…)
16 un0 4355 . . . . . . 7 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
1715, 16eqtri 2765 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
181, 17eqtri 2765 . . . . 5 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
19 df-hash 14238 . . . . . 6 β™― = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
2019reseq1i 5938 . . . . 5 (β™― β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin)
21 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
2221coeq1i 5820 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
2318, 20, 223eqtr4i 2775 . . . 4 (β™― β†Ύ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2423fveq1i 6848 . . 3 ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄)
25 cardf2 9886 . . . . 5 card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On
26 ffun 6676 . . . . 5 (card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On β†’ Fun card)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 Fun card
28 finnum 9891 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin β†’ 𝐴 ∈ dom card)
29 fvco 6944 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3027, 28, 29sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3124, 30eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
32 fvres 6866 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (β™―β€˜π΄))
3331, 32eqtr3d 2779 1 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  reccrdg 8360   β‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  cardccrd 9878  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„•0cn0 12420  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashginv  14241  hashfz1  14253  hashen  14254  hashcard  14262  hashcl  14263  hashgval2  14285  hashdom  14286  hashun  14289  fz1isolem  14367
  Copyright terms: Public domain W3C validator