MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashgval 14297
Description: The value of the β™― function in terms of the mapping 𝐺 from Ο‰ to β„•0. The proof avoids the use of ax-ac 10456. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5995 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin))
2 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
3 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
42, 3hashkf 14296 . . . . . . . . 9 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0
5 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card):FinβŸΆβ„•0 β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 6668 . . . . . . . . 9 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) Fn Fin β†’ (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
8 disjdifr 4471 . . . . . . . . 9 ((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ…
9 pnfex 11271 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
109fconst 6776 . . . . . . . . . 10 ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞}
11 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}):(V βˆ– Fin)⟢{+∞} β†’ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin))
12 fnresdisj 6669 . . . . . . . . . 10 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) Fn (V βˆ– Fin) β†’ (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V βˆ– Fin) ∩ Fin) = βˆ… ↔ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…)
148, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin) = βˆ…
157, 14uneq12i 4160 . . . . . . 7 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…)
16 un0 4389 . . . . . . 7 (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ βˆ…) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
1715, 16eqtri 2758 . . . . . 6 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) β†Ύ Fin) βˆͺ (((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}) β†Ύ Fin)) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
181, 17eqtri 2758 . . . . 5 ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
19 df-hash 14295 . . . . . 6 β™― = (((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞}))
2019reseq1i 5976 . . . . 5 (β™― β†Ύ Fin) = ((((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card) βˆͺ ((V βˆ– Fin) Γ— {+∞})) β†Ύ Fin)
21 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
2221coeq1i 5858 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) ∘ card)
2318, 20, 223eqtr4i 2768 . . . 4 (β™― β†Ύ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2423fveq1i 6891 . . 3 ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄)
25 cardf2 9940 . . . . 5 card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On
26 ffun 6719 . . . . 5 (card:{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ On 𝑦 β‰ˆ π‘₯}⟢On β†’ Fun card)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 Fun card
28 finnum 9945 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin β†’ 𝐴 ∈ dom card)
29 fvco 6988 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3027, 28, 29sylancr 585 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
3124, 30eqtrid 2782 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)))
32 fvres 6909 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™― β†Ύ Fin)β€˜π΄) = (β™―β€˜π΄))
3331, 32eqtr3d 2772 1 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Oncon0 6363  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  reccrdg 8411   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  cardccrd 9932  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„•0cn0 12476  β™―chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  hashginv  14298  hashfz1  14310  hashen  14311  hashcard  14319  hashcl  14320  hashgval2  14342  hashdom  14343  hashun  14346  fz1isolem  14426
  Copyright terms: Public domain W3C validator