Theorem hashgval 14339

Description: The value of the ♯ function in terms of the mapping 𝐺 from ω to ℕ₀. The proof avoids the use of ax-ac 10409. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgval.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgval	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5976	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
4	2, 3	hashkf 14338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5		ffn 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6		fnresdm 6634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8		disjdifr 4424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
9		pnfex 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ V
10	9	fconst 6744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
11		ffn 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
12		fnresdisj 6635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
14	8, 13	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
15	7, 14	uneq12i 4117	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
16		un0 4345	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
17	15, 16	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
18	1, 17	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
19		df-hash 14337	. . . . . 6 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20	19	reseq1i 5957	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
21		hashgval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
22	21	coeq1i 5827	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
23	18, 20, 22	3eqtr4i 2794	. . . 4 ⊢ (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
24	23	fveq1i 6862	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
25		cardf2 9894	. . . . 5 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
26		ffun 6688	. . . . 5 ⊢ (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On → Fun card)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun card
28		finnum 9899	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
29		fvco 6959	. . . 4 ⊢ ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
30	27, 28, 29	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
31	24, 30	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
32		fvres 6880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
33	31, 32	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4579   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  dom cdm 5643   ↾ cres 5645   ∘ ccom 5647  Oncon0 6340  Fun wfun 6509   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ωcom 7840  reccrdg 8373   ≈ cen 8917  Fincfn 8920  cardccrd 9886  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069  +∞cpnf 11206  ℕ₀cn0 12474  ♯chash 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-hash 14337

This theorem is referenced by:  hashginv  14340  hashfz1  14352  hashen  14353  hashcard  14361  hashcl  14362  hashgval2  14384  hashdom  14385  hashun  14388  fz1isolem  14467