Theorem hashgval 14371

Description: The value of the ♯ function in terms of the mapping 𝐺 from ω to ℕ₀. The proof avoids the use of ax-ac 10444. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgval.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgval	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5995	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
4	2, 3	hashkf 14370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5		ffn 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6		fnresdm 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8		disjdifr 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
9		pnfex 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ V
10	9	fconst 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
11		ffn 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
12		fnresdisj 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
14	8, 13	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
15	7, 14	uneq12i 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
16		un0 4352	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
17	15, 16	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
18	1, 17	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
19		df-hash 14369	. . . . . 6 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20	19	reseq1i 5976	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
21		hashgval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
22	21	coeq1i 5847	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
23	18, 20, 22	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
24	23	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
25		cardf2 9930	. . . . 5 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
26		ffun 6710	. . . . 5 ⊢ (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On → Fun card)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun card
28		finnum 9935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
29		fvco 6981	. . . 4 ⊢ ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
30	27, 28, 29	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
31	24, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
32		fvres 6902	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
33	31, 32	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  Oncon0 6362  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ωcom 7863  reccrdg 8397   ≈ cen 8941  Fincfn 8944  cardccrd 9922  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  +∞cpnf 11241  ℕ₀cn0 12505  ♯chash 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-hash 14369

This theorem is referenced by:  hashginv  14372  hashfz1  14384  hashen  14385  hashcard  14393  hashcl  14394  hashgval2  14416  hashdom  14417  hashun  14420  fz1isolem  14500