Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfv2 32544
Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmfv2.1 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
cycpmfv2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
cycpmfv2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (π‘Šβ€˜0))

Proof of Theorem cycpmfv2
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
5 cycpmfv2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
6 lencl 14488 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
73, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
8 cycpmfv2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜π‘Š))
9 elnnnn0b 12521 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
107, 8, 9sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
11 elfz1end 13536 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
13 fz1fzo0m1 13685 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
155, 14eqeltrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
161, 2, 3, 4, 15cycpmfvlem 32542 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
17 df-f1 6548 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
184, 17sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1918simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
20 wrdfn 14483 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
213, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 fnfvelrn 7082 . . . . 5 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
2321, 15, 22syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
24 df-rn 5687 . . . 4 ran π‘Š = dom β—‘π‘Š
2523, 24eleqtrdi 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ dom β—‘π‘Š)
26 fvco 6989 . . 3 ((Fun β—‘π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ dom β—‘π‘Š) β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))))
2719, 25, 26syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))))
28 f1f1orn 6844 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
294, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
3021fndmd 6654 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3115, 30eleqtrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ dom π‘Š)
32 f1ocnvfv1 7277 . . . . 5 ((π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ 𝑁 ∈ dom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = 𝑁)
3329, 31, 32syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = 𝑁)
3433fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘))
35 1zzd 12598 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
36 cshwidxmod 14758 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))))
373, 35, 15, 36syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))))
38 fzossfz 13656 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0...(β™―β€˜π‘Š))
39 fzssz 13508 . . . . . . . 8 (0...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„€
4038, 39sstri 3991 . . . . . . 7 (0..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† β„€
4140, 15sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4241zred 12671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4310nnrpd 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ+)
445oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 mod (β™―β€˜π‘Š)) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) mod (β™―β€˜π‘Š)))
45 zmodidfzoimp 13871 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
4614, 45syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
4744, 46eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 mod (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
48 modm1p1mod0 13892 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 mod (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = 0))
4948imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (β™―β€˜π‘Š)) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = 0)
5042, 43, 47, 49syl21anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = 0)
5150fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))) = (π‘Šβ€˜0))
5234, 37, 513eqtrd 2775 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))) = (π‘Šβ€˜0))
5316, 27, 523eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (π‘Šβ€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„+crp 12979  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632   mod cmo 13839  β™―chash 14295  Word cword 14469   cyclShift ccsh 14743  toCycctocyc 32536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-csh 14744  df-tocyc 32537
This theorem is referenced by:  cyc2fv2  32552  cycpmco2lem4  32559  cycpmco2lem5  32560  cyc3fv3  32569  cycpmrn  32573
  Copyright terms: Public domain W3C validator