Theorem cycpmfv2 33202

Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv2.1	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		cycpmfv2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6		lencl 14493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8		cycpmfv2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9		elnnnn0b 12479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	7, 8, 9	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11		elfz1end 13506	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
12	10, 11	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13		fz1fzo0m1 13663	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	5, 14	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	1, 2, 3, 4, 15	cycpmfvlem 33200	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
17		df-f1 6497	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
18	4, 17	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
19	18	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
20		wrdfn 14488	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnfvelrn 7028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
23	21, 15, 22	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
24		df-rn 5636	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
25	23, 24	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
26		fvco 6932	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
27	19, 25, 26	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
28		f1f1orn 6785	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
29	4, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
30	21	fndmd 6597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
31	15, 30	eleqtrrd 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
32		f1ocnvfv1 7227	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
33	29, 31, 32	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35		1zzd 12556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		cshwidxmod 14763	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
37	3, 35, 15, 36	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38		fzossfz 13631	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39		fzssz 13478	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
40	38, 39	sstri 3931	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
41	40, 15	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	zred 12631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
43	10	nnrpd 12982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
44	5	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45		zmodidfzoimp 13858	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
46	14, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	44, 46	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48		modm1p1mod0 13882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
49	48	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
50	42, 43, 47, 49	syl21anc 843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
51	50	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
52	34, 37, 51	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘0))
53	16, 27, 52	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826  ♯chash 14290  Word cword 14473   cyclShift ccsh 14748  toCycctocyc 33194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-csh 14749  df-tocyc 33195

This theorem is referenced by:  cyc2fv2  33210  cycpmco2lem4  33217  cycpmco2lem5  33218  cyc3fv3  33227  cycpmrn  33231