Theorem cycpmfv2 33107

Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv2.1	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		cycpmfv2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6		lencl 14581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8		cycpmfv2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9		elnnnn0b 12597	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	7, 8, 9	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11		elfz1end 13614	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13		fz1fzo0m1 13764	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	5, 14	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	1, 2, 3, 4, 15	cycpmfvlem 33105	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
17		df-f1 6578	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
18	4, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
19	18	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
20		wrdfn 14576	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnfvelrn 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
23	21, 15, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
24		df-rn 5711	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
25	23, 24	eleqtrdi 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
26		fvco 7020	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
27	19, 25, 26	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
28		f1f1orn 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
29	4, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
30	21	fndmd 6684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
31	15, 30	eleqtrrd 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
32		f1ocnvfv1 7312	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
33	29, 31, 32	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		cshwidxmod 14851	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
37	3, 35, 15, 36	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38		fzossfz 13735	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39		fzssz 13586	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
40	38, 39	sstri 4018	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
41	40, 15	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	zred 12747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
43	10	nnrpd 13097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
44	5	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45		zmodidfzoimp 13952	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
46	14, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	44, 46	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48		modm1p1mod0 13973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
49	48	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
50	42, 43, 47, 49	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
51	50	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
52	34, 37, 51	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘0))
53	16, 27, 52	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711   mod cmo 13920  ♯chash 14379  Word cword 14562   cyclShift ccsh 14836  toCycctocyc 33099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-csh 14837  df-tocyc 33100

This theorem is referenced by:  cyc2fv2  33115  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cyc3fv3  33132  cycpmrn  33136