Theorem cycpmfv2 30756

Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv2.1	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		cycpmfv2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6		lencl 13883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8		cycpmfv2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9		elnnnn0b 11942	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	7, 8, 9	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11		elfz1end 12938	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
12	10, 11	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13		fz1fzo0m1 13086	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	5, 14	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	1, 2, 3, 4, 15	cycpmfvlem 30754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
17		df-f1 6360	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
18	4, 17	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
19	18	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
20		wrdfn 13877	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnfvelrn 6848	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
23	21, 15, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
24		df-rn 5566	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
25	23, 24	eleqtrdi 2923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
26		fvco 6759	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
27	19, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
28		f1f1orn 6626	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
29	4, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
30	21	fndmd 6456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
31	15, 30	eleqtrrd 2916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
32		f1ocnvfv1 7033	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
33	29, 31, 32	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35		1zzd 12014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		cshwidxmod 14165	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
37	3, 35, 15, 36	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38		fzossfz 13057	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39		fzssz 12910	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
40	38, 39	sstri 3976	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
41	40, 15	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	zred 12088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
43	10	nnrpd 12430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
44	5	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45		zmodidfzoimp 13270	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
46	14, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	44, 46	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48		modm1p1mod0 13291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
49	48	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
50	42, 43, 47, 49	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
51	50	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
52	34, 37, 51	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘0))
53	16, 27, 52	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556   ∘ ccom 5559  Fun wfun 6349   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  –1-1→wf1 6352  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℝ⁺crp 12390  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034   mod cmo 13238  ♯chash 13691  Word cword 13862   cyclShift ccsh 14150  toCycctocyc 30748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-csh 14151  df-tocyc 30749

This theorem is referenced by:  cyc2fv2  30764  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cyc3fv3  30781  cycpmrn  30785