Theorem cycpmfv2 33134

Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv2.1	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		cycpmfv2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6		lencl 14571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8		cycpmfv2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9		elnnnn0b 12570	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	7, 8, 9	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11		elfz1end 13594	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13		fz1fzo0m1 13750	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	5, 14	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	1, 2, 3, 4, 15	cycpmfvlem 33132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
17		df-f1 6566	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
18	4, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
19	18	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
20		wrdfn 14566	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnfvelrn 7100	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
23	21, 15, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
24		df-rn 5696	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
25	23, 24	eleqtrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
26		fvco 7007	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
27	19, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
28		f1f1orn 6859	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
29	4, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
30	21	fndmd 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
31	15, 30	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
32		f1ocnvfv1 7296	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
33	29, 31, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35		1zzd 12648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		cshwidxmod 14841	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
37	3, 35, 15, 36	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38		fzossfz 13718	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39		fzssz 13566	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
40	38, 39	sstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
41	40, 15	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	zred 12722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
43	10	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
44	5	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45		zmodidfzoimp 13941	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
46	14, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	44, 46	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48		modm1p1mod0 13963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
49	48	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
50	42, 43, 47, 49	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
51	50	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
52	34, 37, 51	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘0))
53	16, 27, 52	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  toCycctocyc 33126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-tocyc 33127

This theorem is referenced by:  cyc2fv2  33142  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cyc3fv3  33159  cycpmrn  33163