Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfv2 33134
Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmfv2.1 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2 (𝜑𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
Assertion
Ref Expression
cycpmfv2 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 tocycfv.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 tocycfv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
5 cycpmfv2.2 . . . 4 (𝜑𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6 lencl 14571 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
73, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8 cycpmfv2.1 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9 elnnnn0b 12570 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
107, 8, 9sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11 elfz1end 13594 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
1210, 11sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13 fz1fzo0m1 13750 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
155, 14eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
161, 2, 3, 4, 15cycpmfvlem 33132 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))
17 df-f1 6566 . . . . 5 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
184, 17sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1918simprd 495 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑊)
20 wrdfn 14566 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
213, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22 fnfvelrn 7100 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
2321, 15, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
24 df-rn 5696 . . . 4 ran 𝑊 = dom 𝑊
2523, 24eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑁) ∈ dom 𝑊)
26 fvco 7007 . . 3 ((Fun 𝑊 ∧ (𝑊𝑁) ∈ dom 𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))))
2719, 25, 26syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))))
28 f1f1orn 6859 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
294, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
3021fndmd 6673 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
3115, 30eleqtrrd 2844 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ dom 𝑊)
32 f1ocnvfv1 7296 . . . . 5 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑁 ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝑁)) = 𝑁)
3329, 31, 32syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝑁)) = 𝑁)
3433fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35 1zzd 12648 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36 cshwidxmod 14841 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
373, 35, 15, 36syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38 fzossfz 13718 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39 fzssz 13566 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
4038, 39sstri 3993 . . . . . . 7 (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
4140, 15sselid 3981 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4241zred 12722 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4310nnrpd 13075 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
445oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45 zmodidfzoimp 13941 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
4614, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
4744, 46eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48 modm1p1mod0 13963 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
4948imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
5042, 43, 47, 49syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
5150fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
5234, 37, 513eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))) = (𝑊‘0))
5316, 27, 523eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  toCycctocyc 33126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-tocyc 33127
This theorem is referenced by:  cyc2fv2  33142  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cyc3fv3  33159  cycpmrn  33163
  Copyright terms: Public domain W3C validator