MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashkf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashkf 13328
Description: The finite part of the size function maps all finite sets to their cardinality, as members of 0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
hashkf.2 𝐾 = (𝐺 ∘ card)
Assertion
Ref Expression
hashkf 𝐾:Fin⟶ℕ0

Proof of Theorem hashkf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7738 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) Fn ω
2 hashgval.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
32fneq1i 6165 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 222 . . . . . 6 𝐺 Fn ω
5 fnfun 6168 . . . . . 6 (𝐺 Fn ω → Fun 𝐺)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐺
7 cardf2 9024 . . . . . 6 card:{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝑦}⟶On
8 ffun 6228 . . . . . 6 (card:{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝑦}⟶On → Fun card)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 Fun card
10 funco 6110 . . . . 5 ((Fun 𝐺 ∧ Fun card) → Fun (𝐺 ∘ card))
116, 9, 10mp2an 683 . . . 4 Fun (𝐺 ∘ card)
12 dmco 5831 . . . . 5 dom (𝐺 ∘ card) = (card “ dom 𝐺)
13 fndm 6170 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ω → dom 𝐺 = ω)
144, 13ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐺 = ω
1514imaeq2i 5648 . . . . 5 (card “ dom 𝐺) = (card “ ω)
16 funfn 6100 . . . . . . . . 9 (Fun card ↔ card Fn dom card)
179, 16mpbi 221 . . . . . . . 8 card Fn dom card
18 elpreima 6531 . . . . . . . 8 (card Fn dom card → (𝑦 ∈ (card “ ω) ↔ (𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (card “ ω) ↔ (𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω))
20 id 22 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑦) ∈ ω → (card‘𝑦) ∈ ω)
21 cardid2 9034 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ dom card → (card‘𝑦) ≈ 𝑦)
2221ensymd 8215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom card → 𝑦 ≈ (card‘𝑦))
23 breq2 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑦𝑥𝑦 ≈ (card‘𝑦)))
2423rspcev 3462 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝑦) ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦𝑥)
2520, 22, 24syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦𝑥)
26 isfi 8188 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝑦𝑥)
2725, 26sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) → 𝑦 ∈ Fin)
28 finnum 9029 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → 𝑦 ∈ dom card)
29 ficardom 9042 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (card‘𝑦) ∈ ω)
3028, 29jca 507 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω))
3127, 30impbii 200 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (card‘𝑦) ∈ ω) ↔ 𝑦 ∈ Fin)
3219, 31bitri 266 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (card “ ω) ↔ 𝑦 ∈ Fin)
3332eqriv 2762 . . . . 5 (card “ ω) = Fin
3412, 15, 333eqtri 2791 . . . 4 dom (𝐺 ∘ card) = Fin
35 df-fn 6073 . . . 4 ((𝐺 ∘ card) Fn Fin ↔ (Fun (𝐺 ∘ card) ∧ dom (𝐺 ∘ card) = Fin))
3611, 34, 35mpbir2an 702 . . 3 (𝐺 ∘ card) Fn Fin
37 hashkf.2 . . . 4 𝐾 = (𝐺 ∘ card)
3837fneq1i 6165 . . 3 (𝐾 Fn Fin ↔ (𝐺 ∘ card) Fn Fin)
3936, 38mpbir 222 . 2 𝐾 Fn Fin
4037fveq1i 6380 . . . . 5 (𝐾𝑦) = ((𝐺 ∘ card)‘𝑦)
41 fvco 6467 . . . . . 6 ((Fun card ∧ 𝑦 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝑦) = (𝐺‘(card‘𝑦)))
429, 28, 41sylancr 581 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝑦) = (𝐺‘(card‘𝑦)))
4340, 42syl5eq 2811 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (𝐾𝑦) = (𝐺‘(card‘𝑦)))
442hashgf1o 12983 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
45 f1of 6324 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺:ω⟶ℕ0
4746ffvelrni 6552 . . . . 5 ((card‘𝑦) ∈ ω → (𝐺‘(card‘𝑦)) ∈ ℕ0)
4829, 47syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝑦)) ∈ ℕ0)
4943, 48eqeltrd 2844 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → (𝐾𝑦) ∈ ℕ0)
5049rgen 3069 . 2 𝑦 ∈ Fin (𝐾𝑦) ∈ ℕ0
51 ffnfv 6582 . 2 (𝐾:Fin⟶ℕ0 ↔ (𝐾 Fn Fin ∧ ∀𝑦 ∈ Fin (𝐾𝑦) ∈ ℕ0))
5239, 50, 51mpbir2an 702 1 𝐾:Fin⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ccnv 5278  dom cdm 5279  cres 5281  cima 5282  ccom 5283  Oncon0 5910  Fun wfun 6064   Fn wfn 6065  wf 6066  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  (class class class)co 6846  ωcom 7267  reccrdg 7713  cen 8161  Fincfn 8164  cardccrd 9016  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196  0cn0 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892
This theorem is referenced by:  hashgval  13329  hashinf  13331  hashfxnn0  13333  hashfOLD  13335
  Copyright terms: Public domain W3C validator