MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashkf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashkf 14233
Description: The finite part of the size function maps all finite sets to their cardinality, as members of β„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
hashkf.2 𝐾 = (𝐺 ∘ card)
Assertion
Ref Expression
hashkf 𝐾:FinβŸΆβ„•0

Proof of Theorem hashkf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 8382 . . . . . . 7 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰
2 hashgval.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
32fneq1i 6600 . . . . . . 7 (𝐺 Fn Ο‰ ↔ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) Fn Ο‰)
41, 3mpbir 230 . . . . . 6 𝐺 Fn Ο‰
5 fnfun 6603 . . . . . 6 (𝐺 Fn Ο‰ β†’ Fun 𝐺)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐺
7 cardf2 9880 . . . . . 6 card:{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ On π‘₯ β‰ˆ 𝑦}⟢On
8 ffun 6672 . . . . . 6 (card:{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ On π‘₯ β‰ˆ 𝑦}⟢On β†’ Fun card)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 Fun card
10 funco 6542 . . . . 5 ((Fun 𝐺 ∧ Fun card) β†’ Fun (𝐺 ∘ card))
116, 9, 10mp2an 691 . . . 4 Fun (𝐺 ∘ card)
12 dmco 6207 . . . . 5 dom (𝐺 ∘ card) = (β—‘card β€œ dom 𝐺)
134fndmi 6607 . . . . . 6 dom 𝐺 = Ο‰
1413imaeq2i 6012 . . . . 5 (β—‘card β€œ dom 𝐺) = (β—‘card β€œ Ο‰)
15 funfn 6532 . . . . . . . . 9 (Fun card ↔ card Fn dom card)
169, 15mpbi 229 . . . . . . . 8 card Fn dom card
17 elpreima 7009 . . . . . . . 8 (card Fn dom card β†’ (𝑦 ∈ (β—‘card β€œ Ο‰) ↔ (𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β—‘card β€œ Ο‰) ↔ (𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 ((cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
20 cardid2 9890 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ dom card β†’ (cardβ€˜π‘¦) β‰ˆ 𝑦)
2120ensymd 8946 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom card β†’ 𝑦 β‰ˆ (cardβ€˜π‘¦))
22 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (cardβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 β‰ˆ π‘₯ ↔ 𝑦 β‰ˆ (cardβ€˜π‘¦)))
2322rspcev 3582 . . . . . . . . . 10 (((cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 β‰ˆ (cardβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝑦 β‰ˆ π‘₯)
2419, 21, 23syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝑦 β‰ˆ π‘₯)
25 isfi 8917 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝑦 β‰ˆ π‘₯)
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
27 finnum 9885 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin β†’ 𝑦 ∈ dom card)
28 ficardom 9898 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
2927, 28jca 513 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin β†’ (𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰))
3026, 29impbii 208 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom card ∧ (cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰) ↔ 𝑦 ∈ Fin)
3118, 30bitri 275 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β—‘card β€œ Ο‰) ↔ 𝑦 ∈ Fin)
3231eqriv 2734 . . . . 5 (β—‘card β€œ Ο‰) = Fin
3312, 14, 323eqtri 2769 . . . 4 dom (𝐺 ∘ card) = Fin
34 df-fn 6500 . . . 4 ((𝐺 ∘ card) Fn Fin ↔ (Fun (𝐺 ∘ card) ∧ dom (𝐺 ∘ card) = Fin))
3511, 33, 34mpbir2an 710 . . 3 (𝐺 ∘ card) Fn Fin
36 hashkf.2 . . . 4 𝐾 = (𝐺 ∘ card)
3736fneq1i 6600 . . 3 (𝐾 Fn Fin ↔ (𝐺 ∘ card) Fn Fin)
3835, 37mpbir 230 . 2 𝐾 Fn Fin
3936fveq1i 6844 . . . . 5 (πΎβ€˜π‘¦) = ((𝐺 ∘ card)β€˜π‘¦)
40 fvco 6940 . . . . . 6 ((Fun card ∧ 𝑦 ∈ dom card) β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π‘¦)))
419, 27, 40sylancr 588 . . . . 5 (𝑦 ∈ Fin β†’ ((𝐺 ∘ card)β€˜π‘¦) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π‘¦)))
4239, 41eqtrid 2789 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin β†’ (πΎβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜(cardβ€˜π‘¦)))
432hashgf1o 13877 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
44 f1of 6785 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0
4645ffvelcdmi 7035 . . . . 5 ((cardβ€˜π‘¦) ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
4728, 46syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin β†’ (πΊβ€˜(cardβ€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
4842, 47eqeltrd 2838 . . 3 (𝑦 ∈ Fin β†’ (πΎβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4948rgen 3067 . 2 βˆ€π‘¦ ∈ Fin (πΎβ€˜π‘¦) ∈ β„•0
50 ffnfv 7067 . 2 (𝐾:FinβŸΆβ„•0 ↔ (𝐾 Fn Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Fin (πΎβ€˜π‘¦) ∈ β„•0))
5138, 49, 50mpbir2an 710 1 𝐾:FinβŸΆβ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Oncon0 6318  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803  reccrdg 8356   β‰ˆ cen 8881  Fincfn 8884  cardccrd 9872  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  β„•0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765
This theorem is referenced by:  hashgval  14234  hashinf  14236  hashfxnn0  14238
  Copyright terms: Public domain W3C validator