Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfv1 32011
Description: Value of a cycle function for any element but the last. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmfv1.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
cycpmfv1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem cycpmfv1
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
5 lencl 14427 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
76nn0zd 12530 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
8 fzossrbm1 13607 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
10 cycpmfv1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
119, 10sseldd 3946 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
121, 2, 3, 4, 11cycpmfvlem 32010 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
13 df-f1 6502 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
144, 13sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1514simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
16 wrdfn 14422 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
173, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
18 fnfvelrn 7032 . . . . 5 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
1917, 11, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
20 df-rn 5645 . . . 4 ran π‘Š = dom β—‘π‘Š
2119, 20eleqtrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ dom β—‘π‘Š)
22 fvco 6940 . . 3 ((Fun β—‘π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ dom β—‘π‘Š) β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))))
2315, 21, 22syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))))
24 f1f1orn 6796 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
254, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
2617fndmd 6608 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2711, 26eleqtrrd 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ dom π‘Š)
28 f1ocnvfv1 7223 . . . . 5 ((π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ 𝑁 ∈ dom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = 𝑁)
2925, 27, 28syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = 𝑁)
3029fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))) = ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘))
31 1zzd 12539 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
32 cshwidxmod 14697 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))))
333, 31, 11, 32syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜π‘) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))))
34 fzo0ss1 13608 . . . . . 6 (1..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))
35 fzoaddel2 13634 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)))
3610, 7, 31, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)))
3734, 36sselid 3943 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
38 zmodidfzoimp 13812 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = (𝑁 + 1))
3937, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š)) = (𝑁 + 1))
4039fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) mod (β™―β€˜π‘Š))) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
4130, 33, 403eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1)β€˜(β—‘π‘Šβ€˜(π‘Šβ€˜π‘))) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
4212, 23, 413eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ..^cfzo 13573   mod cmo 13780  β™―chash 14236  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cyc2fv1  32019  cycpmco2lem4  32027  cycpmco2lem6  32029  cycpmco2lem7  32030  cycpmco2  32031  cyc3fv1  32035  cyc3fv2  32036  cycpmrn  32041
  Copyright terms: Public domain W3C validator