Theorem cycpmfv1 33068

Description: Value of a cycle function for any element but the last. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem cycpmfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		lencl 14458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8		fzossrbm1 13609	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cycpmfv1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12	1, 2, 3, 4, 11	cycpmfvlem 33067	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
13		df-f1 6491	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
14	4, 13	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	14	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
16		wrdfn 14453	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18		fnfvelrn 7018	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
19	17, 11, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
20		df-rn 5634	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
21	19, 20	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
22		fvco 6925	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
24		f1f1orn 6779	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
25	4, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
26	17	fndmd 6591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	11, 26	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
28		f1ocnvfv1 7217	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
30	29	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
31		1zzd 12524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
32		cshwidxmod 14727	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
33	3, 31, 11, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
34		fzo0ss1 13610	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
35		fzoaddel2 13641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
36	10, 7, 31, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
37	34, 36	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		zmodidfzoimp 13823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
40	39	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
41	30, 33, 40	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
42	12, 23, 41	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   ∘ ccom 5627  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575   mod cmo 13791  ♯chash 14255  Word cword 14438   cyclShift ccsh 14712  toCycctocyc 33061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713  df-tocyc 33062

This theorem is referenced by:  cyc2fv1  33076  cycpmco2lem4  33084  cycpmco2lem6  33086  cycpmco2lem7  33087  cycpmco2  33088  cyc3fv1  33092  cyc3fv2  33093  cycpmrn  33098