Theorem cycpmfv1 33346

Description: Value of a cycle function for any element but the last. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem cycpmfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		lencl 14560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8		fzossrbm1 13708	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cycpmfv1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	sseldd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12	1, 2, 3, 4, 11	cycpmfvlem 33345	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
13		df-f1 6530	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
14	4, 13	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	14	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
16		wrdfn 14555	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
17	3, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18		fnfvelrn 7065	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
19	17, 11, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
20		df-rn 5663	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
21	19, 20	eleqtrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
22		fvco 6969	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
23	15, 21, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
24		f1f1orn 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
25	4, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
26	17	fndmd 6630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	11, 26	eleqtrrd 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
28		f1ocnvfv1 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
29	25, 27, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
30	29	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
31		1zzd 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
32		cshwidxmod 14830	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
33	3, 31, 11, 32	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
34		fzo0ss1 13709	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
35		fzoaddel2 13740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
36	10, 7, 31, 35	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
37	34, 36	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		zmodidfzoimp 13925	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
40	39	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
41	30, 33, 40	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
42	12, 23, 41	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   ∘ ccom 5656  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ..^cfzo 13673   mod cmo 13893  ♯chash 14357  Word cword 14540   cyclShift ccsh 14815  toCycctocyc 33339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-csh 14816  df-tocyc 33340

This theorem is referenced by:  cyc2fv1  33354  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem6  33364  cycpmco2lem7  33365  cycpmco2  33366  cyc3fv1  33370  cyc3fv2  33371  cycpmrn  33376