Theorem cycpmfv1 33129

Description: Value of a cycle function for any element but the last. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem cycpmfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		lencl 14556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8		fzossrbm1 13710	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
10		cycpmfv1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	sseldd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12	1, 2, 3, 4, 11	cycpmfvlem 33128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
13		df-f1 6541	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
14	4, 13	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	14	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
16		wrdfn 14551	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
19	17, 11, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
20		df-rn 5670	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
21	19, 20	eleqtrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
22		fvco 6982	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
24		f1f1orn 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
25	4, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
26	17	fndmd 6648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	11, 26	eleqtrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
28		f1ocnvfv1 7274	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
30	29	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
31		1zzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
32		cshwidxmod 14826	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
33	3, 31, 11, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
34		fzo0ss1 13711	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
35		fzoaddel2 13741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
36	10, 7, 31, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
37	34, 36	sselid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		zmodidfzoimp 13923	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
40	39	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
41	30, 33, 40	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
42	12, 23, 41	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ..^cfzo 13676   mod cmo 13891  ♯chash 14353  Word cword 14536   cyclShift ccsh 14811  toCycctocyc 33122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-csh 14812  df-tocyc 33123

This theorem is referenced by:  cyc2fv1  33137  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2lem7  33148  cycpmco2  33149  cyc3fv1  33153  cyc3fv2  33154  cycpmrn  33159