Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfv1 33116
Description: Value of a cycle function for any element but the last. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmfv1.1 (𝜑𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
Assertion
Ref Expression
cycpmfv1 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem cycpmfv1
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 tocycfv.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 tocycfv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
5 lencl 14568 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12637 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8 fzossrbm1 13725 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
10 cycpmfv1.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
119, 10sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
121, 2, 3, 4, 11cycpmfvlem 33115 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))
13 df-f1 6568 . . . . 5 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
144, 13sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1514simprd 495 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑊)
16 wrdfn 14563 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
173, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18 fnfvelrn 7100 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
1917, 11, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
20 df-rn 5700 . . . 4 ran 𝑊 = dom 𝑊
2119, 20eleqtrdi 2849 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑁) ∈ dom 𝑊)
22 fvco 7007 . . 3 ((Fun 𝑊 ∧ (𝑊𝑁) ∈ dom 𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))))
2315, 21, 22syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))))
24 f1f1orn 6860 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
254, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
2617fndmd 6674 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2711, 26eleqtrrd 2842 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ dom 𝑊)
28 f1ocnvfv1 7296 . . . . 5 ((𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑁 ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑊𝑁)) = 𝑁)
2925, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊‘(𝑊𝑁)) = 𝑁)
3029fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
31 1zzd 12646 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
32 cshwidxmod 14838 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
333, 31, 11, 32syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
34 fzo0ss1 13726 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
35 fzoaddel2 13756 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
3610, 7, 31, 35syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
3734, 36sselid 3993 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38 zmodidfzoimp 13938 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 + 1))
4039fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
4130, 33, 403eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(𝑊‘(𝑊𝑁))) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
4212, 23, 413eqtrd 2779 1 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  ccom 5693  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cyc2fv1  33124  cycpmco2lem4  33132  cycpmco2lem6  33134  cycpmco2lem7  33135  cycpmco2  33136  cyc3fv1  33140  cyc3fv2  33141  cycpmrn  33146
  Copyright terms: Public domain W3C validator