Theorem cncficcgt0 42252

Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncficcgt0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
cncficcgt0.fcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
cncficcgt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncficcgt0.fcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2		cncff 23494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3		ffun 6510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
8	7	fdmd 6516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
9	8	eqcomd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
11	6, 10	eleqtrd 2914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12		fvco 6752	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
13	5, 11, 12	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
14	7	ffvelrnda 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
15	14	eldifad 3941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
17		eldifsni 4715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
19	16, 18	absrpcld 14801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑐)) ∈ ℝ+)
20	13, 19	eqeltrd 2912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		nfcv 2976	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴[,]𝐵)
24		nfcv 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
25		cncficcgt0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26		nfmpt1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
27	25, 26	nfcxfr 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
28	24, 27	nfco 5729	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ 𝐹)
29		nfcv 2976	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
30	28, 29	nffv 6673	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31		nfcv 2976	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
32		nfcv 2976	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑑
33	28, 32	nffv 6673	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
34	30, 31, 33	nfbr 5106	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
35	23, 34	nfralw 3224	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
36	22, 35	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37		fveq2 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
38	37	breq2d 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
39	38	rspccva 3619	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
40	39	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41		absf 14690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43		difss 4101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 10587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
47	7, 46	fssd 6521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48		fcompt 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	42, 47, 48	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		nfcv 2976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
51	27, 50	nffv 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
52	24, 51	nffv 6673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(𝐹‘𝑧))
53		nfcv 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝐹‘𝑥))
54		fveq2 6663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
55	54	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
56	52, 53, 55	cbvmpt 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
58	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
59	58, 7	feq1dd 41504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
60	59	fvmptelrn 6870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
61	58, 60	fvmpt2d 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝐶)
62	61	fveq2d 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘𝐶))
63	62	mpteq2dva 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
64	49, 57, 63	3eqtrd 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
65	45, 60	sseldi 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	abscld 14789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
67	64, 66	fvmpt2d 6774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
68	67	ad4ant14 750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
69	40, 68	breqtrd 5085	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
70	69	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
71	36, 70	ralrimi 3215	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
72	30	nfeq2 2994	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73		breq1 5062	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
74	72, 73	ralbid 3230	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
75	74	rspcev 3620	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
76	21, 71, 75	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77		cncficcgt0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
78		cncficcgt0.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
79		cncficcgt0.aleb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
80		ssidd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81		cncfss 23500	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
82	46, 80, 81	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
83	82, 1	sseldd 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84		abscncf 23502	. . . . . 6 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
86	83, 85	cncfco 23508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
87	77, 78, 79, 86	evthicc 24053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
88	87	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
89	76, 88	r19.29a 3288	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137  ∃wrex 3138   ∖ cdif 3926   ⊆ wss 3929  {csn 4560   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  dom cdm 5548   ∘ ccom 5552  Fun wfun 6342  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530   ≤ cle 10669  ℝ⁺crp 12383  [,]cicc 12735  abscabs 14586  –cn→ccncf 23477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-mulf 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-icc 12739  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-submnd 17950  df-mulg 18218  df-cntz 18440  df-cmn 18901  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-cmp 21988  df-tx 22163  df-hmeo 22356  df-xms 22923  df-ms 22924  df-tms 22925  df-cncf 23479

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  42540