Theorem cncficcgt0 45903

Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncficcgt0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
cncficcgt0.fcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
cncficcgt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncficcgt0.fcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2		cncff 24919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3		ffun 6739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
8	7	fdmd 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
9	8	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
11	6, 10	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12		fvco 7007	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
14	7	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
15	14	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
17		eldifsni 4790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
19	16, 18	absrpcld 15487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑐)) ∈ ℝ+)
20	13, 19	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴[,]𝐵)
24		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
25		cncficcgt0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
27	25, 26	nfcxfr 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
28	24, 27	nfco 5876	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ 𝐹)
29		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
30	28, 29	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
32		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑑
33	28, 32	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
34	30, 31, 33	nfbr 5190	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
35	23, 34	nfralw 3311	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
36	22, 35	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
38	37	breq2d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
39	38	rspccva 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
40	39	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41		absf 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43		difss 4136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
47	7, 46	fssd 6753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48		fcompt 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	42, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
51	27, 50	nffv 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
52	24, 51	nffv 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(𝐹‘𝑧))
53		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝐹‘𝑥))
54		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
55	54	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
56	52, 53, 55	cbvmpt 5253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
58	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
59	58, 7	feq1dd 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
60	59	fvmptelcdm 7133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
61	58, 60	fvmpt2d 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝐶)
62	61	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘𝐶))
63	62	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
64	49, 57, 63	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
65	45, 60	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
67	64, 66	fvmpt2d 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
68	67	ad4ant14 752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
69	40, 68	breqtrd 5169	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
70	69	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
71	36, 70	ralrimi 3257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
72	30	nfeq2 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73		breq1 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
74	72, 73	ralbid 3273	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
75	74	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
76	21, 71, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77		cncficcgt0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
78		cncficcgt0.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
79		cncficcgt0.aleb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
80		ssidd 4007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81		cncfss 24925	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
82	46, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
83	82, 1	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84		abscncf 24927	. . . . . 6 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
86	83, 85	cncfco 24933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
87	77, 78, 79, 86	evthicc 25494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
88	87	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
89	76, 88	r19.29a 3162	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   ≤ cle 11296  ℝ⁺crp 13034  [,]cicc 13390  abscabs 15273  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  46189