Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncficcgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncficcgt0 44689
Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
cncficcgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
cncficcgt0.fcn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})))
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑦,𝐢   𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.fcn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})))
2 cncff 24416 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
3 ffun 6720 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}) β†’ Fun 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
54adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Fun 𝐹)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
71, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
87fdmd 6728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
98eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
116, 10eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12 fvco 6989 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
135, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
147ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
1514eldifad 3960 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1615recnd 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
17 eldifsni 4793 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  0)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  0)
1916, 18absrpcld 15397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
2013, 19eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+)
2120adantr 481 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+)
22 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
23 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝐴[,]𝐡)
24 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯abs
25 cncficcgt0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
26 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
2725, 26nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝐹
2824, 27nfco 5865 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(abs ∘ 𝐹)
29 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑐
3028, 29nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘)
31 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘₯ ≀
32 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
3328, 32nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3430, 31, 33nfbr 5195 . . . . . 6 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3523, 34nfralw 3308 . . . . 5 β„²π‘₯βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3622, 35nfan 1902 . . . 4 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
3837breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) ↔ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
3938rspccva 3611 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
4039adantll 712 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
41 absf 15286 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
43 difss 4131 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† ℝ
44 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
4543, 44sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
477, 46fssd 6735 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
48 fcompt 7133 . . . . . . . . . 10 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
4942, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
50 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑧
5127, 50nffv 6901 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘§)
5224, 51nffv 6901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))
53 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘₯))
5554fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5652, 53, 55cbvmpt 5259 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5825a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢))
5958, 7feq1dd 43951 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢):(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
6059fvmptelcdm 7114 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
6158, 60fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐢)
6261fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜πΆ))
6362mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜πΆ)))
6449, 57, 633eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜πΆ)))
6545, 60sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6665abscld 15385 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
6764, 66fvmpt2d 7011 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜πΆ))
6867ad4ant14 750 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜πΆ))
6940, 68breqtrd 5174 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ))
7069ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7136, 70ralrimi 3254 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ))
7230nfeq2 2920 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘)
73 breq1 5151 . . . . 5 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) β†’ (𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ) ↔ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7472, 73ralbid 3270 . . . 4 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7574rspcev 3612 . . 3 ((((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
7621, 71, 75syl2anc 584 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
77 cncficcgt0.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 cncficcgt0.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
79 cncficcgt0.aleb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
80 ssidd 4005 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
81 cncfss 24422 . . . . . . 7 (((ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8246, 80, 81syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8382, 1sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
84 abscncf 24424 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
8584a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
8683, 85cncfco 24430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
8777, 78, 79, 86evthicc 24983 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)))
8887simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘))
8976, 88r19.29a 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11251  β„+crp 12976  [,]cicc 13329  abscabs 15183  β€“cnβ†’ccncf 24399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  44975
  Copyright terms: Public domain W3C validator