Theorem cncficcgt0 40889

Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncficcgt0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
cncficcgt0.fcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
cncficcgt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncficcgt0.fcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2		cncff 23066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3		ffun 6281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
8	7	fdmd 6287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
9	8	eqcomd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
10	9	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
11	6, 10	eleqtrd 2908	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12		fvco 6521	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
13	5, 11, 12	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
14	7	ffvelrnda 6608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
15	14	eldifad 3810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
17		eldifsni 4540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
19	16, 18	absrpcld 14564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑐)) ∈ ℝ+)
20	13, 19	eqeltrd 2906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22		nfv 2013	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		nfcv 2969	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴[,]𝐵)
24		nfcv 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
25		cncficcgt0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26		nfmpt1 4970	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
27	25, 26	nfcxfr 2967	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
28	24, 27	nfco 5520	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ 𝐹)
29		nfcv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
30	28, 29	nffv 6443	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31		nfcv 2969	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
32		nfcv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑑
33	28, 32	nffv 6443	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
34	30, 31, 33	nfbr 4920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
35	23, 34	nfral 3154	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
36	22, 35	nfan 2002	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37		fveq2 6433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
38	37	breq2d 4885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
39	38	rspccva 3525	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
40	39	adantll 705	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41		absf 14454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43		difss 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 10309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
47	7, 46	fssd 6292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48		fcompt 6650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	42, 47, 48	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		nfcv 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
51	27, 50	nffv 6443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
52	24, 51	nffv 6443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(𝐹‘𝑧))
53		nfcv 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝐹‘𝑥))
54		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
55	54	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
56	52, 53, 55	cbvmpt 4972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
58	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
59	58, 7	feq1dd 40149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
60	59	fvmptelrn 6632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
61	58, 60	fvmpt2d 6540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝐶)
62	61	fveq2d 6437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘𝐶))
63	62	mpteq2dva 4967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
64	49, 57, 63	3eqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
65	45, 60	sseldi 3825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	abscld 14552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
67	64, 66	fvmpt2d 6540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
68	67	ad4ant14 759	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
69	40, 68	breqtrd 4899	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
70	69	ex 403	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
71	36, 70	ralrimi 3166	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
72	30	nfeq2 2985	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73		breq1 4876	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
74	72, 73	ralbid 3192	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
75	74	rspcev 3526	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
76	21, 71, 75	syl2anc 579	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77		cncficcgt0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
78		cncficcgt0.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
79		cncficcgt0.aleb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
80		ssidd 3849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81		cncfss 23072	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
82	46, 80, 81	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
83	82, 1	sseldd 3828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84		abscncf 23074	. . . . . 6 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
86	83, 85	cncfco 23080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
87	77, 78, 79, 86	evthicc 23625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
88	87	simprd 491	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
89	76, 88	r19.29a 3288	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4397   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342   ∘ ccom 5346  Fun wfun 6117  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252   ≤ cle 10392  ℝ⁺crp 12112  [,]cicc 12466  abscabs 14351  –cn→ccncf 23049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  41178