Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncficcgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncficcgt0 44904
Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
cncficcgt0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
cncficcgt0.fcn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})))
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑦,𝐢   𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.fcn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})))
2 cncff 24634 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
3 ffun 6721 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}) β†’ Fun 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
54adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Fun 𝐹)
6 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
71, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
87fdmd 6729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐡))
98eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = dom 𝐹)
116, 10eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12 fvco 6990 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
135, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
147ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
1514eldifad 3961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1615recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
17 eldifsni 4794 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  0)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  0)
1916, 18absrpcld 15400 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
2013, 19eqeltrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+)
22 nfv 1916 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
23 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝐴[,]𝐡)
24 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯abs
25 cncficcgt0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
26 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢)
2725, 26nfcxfr 2900 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝐹
2824, 27nfco 5866 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(abs ∘ 𝐹)
29 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑐
3028, 29nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘)
31 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯ ≀
32 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
3328, 32nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3430, 31, 33nfbr 5196 . . . . . 6 β„²π‘₯((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3523, 34nfralw 3307 . . . . 5 β„²π‘₯βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)
3622, 35nfan 1901 . . . 4 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘))
37 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
3837breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) ↔ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
3938rspccva 3612 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
4039adantll 711 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
41 absf 15289 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
43 difss 4132 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† ℝ
44 ax-resscn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
4543, 44sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
477, 46fssd 6736 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
48 fcompt 7134 . . . . . . . . . 10 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
4942, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
50 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑧
5127, 50nffv 6902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘§)
5224, 51nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))
53 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
54 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘₯))
5554fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5652, 53, 55cbvmpt 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5825a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢))
5958, 7feq1dd 44166 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐢):(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
6059fvmptelcdm 7115 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (ℝ βˆ– {0}))
6158, 60fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐢)
6261fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜πΆ))
6362mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜πΆ)))
6449, 57, 633eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (absβ€˜πΆ)))
6545, 60sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6665abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
6764, 66fvmpt2d 7012 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜πΆ))
6867ad4ant14 749 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜πΆ))
6940, 68breqtrd 5175 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ))
7069ex 412 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7136, 70ralrimi 3253 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ))
7230nfeq2 2919 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘)
73 breq1 5152 . . . . 5 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) β†’ (𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ) ↔ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7472, 73ralbid 3269 . . . 4 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)))
7574rspcev 3613 . . 3 ((((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ (absβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
7621, 71, 75syl2anc 583 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
77 cncficcgt0.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
78 cncficcgt0.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
79 cncficcgt0.aleb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
80 ssidd 4006 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
81 cncfss 24640 . . . . . . 7 (((ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8246, 80, 81syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8382, 1sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
84 abscncf 24642 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
8584a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
8683, 85cncfco 24648 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
8777, 78, 79, 86evthicc 25209 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘)))
8887simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘) ≀ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘‘))
8976, 88r19.29a 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑦 ≀ (absβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113   ≀ cle 11254  β„+crp 12979  [,]cicc 13332  abscabs 15186  β€“cnβ†’ccncf 24617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  45190
  Copyright terms: Public domain W3C validator