Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncficcgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncficcgt0 40889
Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb (𝜑𝐴𝐵)
cncficcgt0.fcn (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.fcn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2 cncff 23066 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3 ffun 6281 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
54adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
71, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
87fdmd 6287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
98eqcomd 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
109adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
116, 10eleqtrd 2908 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12 fvco 6521 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
135, 11, 12syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
147ffvelrnda 6608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
1514eldifad 3810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
1615recnd 10385 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
17 eldifsni 4540 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
1916, 18absrpcld 14564 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑐)) ∈ ℝ+)
2013, 19eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
2120adantr 474 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22 nfv 2013 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 nfcv 2969 . . . . . 6 𝑥(𝐴[,]𝐵)
24 nfcv 2969 . . . . . . . . 9 𝑥abs
25 cncficcgt0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26 nfmpt1 4970 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
2725, 26nfcxfr 2967 . . . . . . . . 9 𝑥𝐹
2824, 27nfco 5520 . . . . . . . 8 𝑥(abs ∘ 𝐹)
29 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑥𝑐
3028, 29nffv 6443 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31 nfcv 2969 . . . . . . 7 𝑥
32 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑥𝑑
3328, 32nffv 6443 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3430, 31, 33nfbr 4920 . . . . . 6 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3523, 34nfral 3154 . . . . 5 𝑥𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3622, 35nfan 2002 . . . 4 𝑥((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37 fveq2 6433 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
3837breq2d 4885 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
3938rspccva 3525 . . . . . . 7 ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
4039adantll 705 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41 absf 14454 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43 difss 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 10309 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3836 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
477, 46fssd 6292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48 fcompt 6650 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
4942, 47, 48syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
50 nfcv 2969 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
5127, 50nffv 6443 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐹𝑧)
5224, 51nffv 6443 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(𝐹𝑧))
53 nfcv 2969 . . . . . . . . . . 11 𝑧(abs‘(𝐹𝑥))
54 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5554fveq2d 6437 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
5652, 53, 55cbvmpt 4972 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥)))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))))
5825a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
5958, 7feq1dd 40149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
6059fvmptelrn 6632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
6158, 60fvmpt2d 6540 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = 𝐶)
6261fveq2d 6437 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘𝐶))
6362mpteq2dva 4967 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6449, 57, 633eqtrd 2865 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6545, 60sseldi 3825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6665abscld 14552 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6764, 66fvmpt2d 6540 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
6867ad4ant14 759 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
6940, 68breqtrd 4899 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7069ex 403 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7136, 70ralrimi 3166 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7230nfeq2 2985 . . . . 5 𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73 breq1 4876 . . . . 5 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7472, 73ralbid 3192 . . . 4 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7574rspcev 3526 . . 3 ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
7621, 71, 75syl2anc 579 . 2 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77 cncficcgt0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
78 cncficcgt0.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
79 cncficcgt0.aleb . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
80 ssidd 3849 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81 cncfss 23072 . . . . . . 7 (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8246, 80, 81syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8382, 1sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84 abscncf 23074 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
8683, 85cncfco 23080 . . . 4 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8777, 78, 79, 86evthicc 23625 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
8887simprd 491 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
8976, 88r19.29a 3288 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  cdif 3795  wss 3798  {csn 4397   class class class wbr 4873  cmpt 4952  dom cdm 5342  ccom 5346  Fun wfun 6117  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  cle 10392  +crp 12112  [,]cicc 12466  abscabs 14351  cnccncf 23049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  41178
  Copyright terms: Public domain W3C validator