Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncficcgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncficcgt0 42164
Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb (𝜑𝐴𝐵)
cncficcgt0.fcn (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.fcn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2 cncff 23495 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3 ffun 6511 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
54adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
71, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
87fdmd 6517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
98eqcomd 2827 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
109adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
116, 10eleqtrd 2915 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12 fvco 6753 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
135, 11, 12syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
147ffvelrnda 6845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
1514eldifad 3947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
1615recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
17 eldifsni 4715 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
1916, 18absrpcld 14802 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑐)) ∈ ℝ+)
2013, 19eqeltrd 2913 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
2120adantr 483 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22 nfv 1911 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑥(𝐴[,]𝐵)
24 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑥abs
25 cncficcgt0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26 nfmpt1 5156 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
2725, 26nfcxfr 2975 . . . . . . . . 9 𝑥𝐹
2824, 27nfco 5730 . . . . . . . 8 𝑥(abs ∘ 𝐹)
29 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑥𝑐
3028, 29nffv 6674 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑥
32 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑥𝑑
3328, 32nffv 6674 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3430, 31, 33nfbr 5105 . . . . . 6 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3523, 34nfralw 3225 . . . . 5 𝑥𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3622, 35nfan 1896 . . . 4 𝑥((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37 fveq2 6664 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
3837breq2d 5070 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
3938rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
4039adantll 712 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41 absf 14691 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43 difss 4107 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 10588 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3975 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
477, 46fssd 6522 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48 fcompt 6889 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
4942, 47, 48syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
50 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
5127, 50nffv 6674 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐹𝑧)
5224, 51nffv 6674 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(𝐹𝑧))
53 nfcv 2977 . . . . . . . . . . 11 𝑧(abs‘(𝐹𝑥))
54 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5554fveq2d 6668 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
5652, 53, 55cbvmpt 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥)))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))))
5825a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
5958, 7feq1dd 41416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
6059fvmptelrn 6871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
6158, 60fvmpt2d 6775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = 𝐶)
6261fveq2d 6668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘𝐶))
6362mpteq2dva 5153 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6449, 57, 633eqtrd 2860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6545, 60sseldi 3964 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6665abscld 14790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6764, 66fvmpt2d 6775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
6867ad4ant14 750 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
6940, 68breqtrd 5084 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7069ex 415 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7136, 70ralrimi 3216 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7230nfeq2 2995 . . . . 5 𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73 breq1 5061 . . . . 5 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7472, 73ralbid 3231 . . . 4 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7574rspcev 3622 . . 3 ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
7621, 71, 75syl2anc 586 . 2 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77 cncficcgt0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
78 cncficcgt0.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
79 cncficcgt0.aleb . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
80 ssidd 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81 cncfss 23501 . . . . . . 7 (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8246, 80, 81syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8382, 1sseldd 3967 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84 abscncf 23503 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
8683, 85cncfco 23509 . . . 4 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8777, 78, 79, 86evthicc 24054 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
8887simprd 498 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
8976, 88r19.29a 3289 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  cdif 3932  wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058  cmpt 5138  dom cdm 5549  ccom 5553  Fun wfun 6343  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  cle 10670  +crp 12383  [,]cicc 12735  abscabs 14587  cnccncf 23478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  42453
  Copyright terms: Public domain W3C validator