Theorem cncficcgt0 46867

Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncficcgt0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
cncficcgt0.fcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
cncficcgt0	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncficcgt0.fcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2		cncff 25207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3		ffun 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
8	7	fdmd 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
9	8	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
11	6, 10	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
12		fvco 6981	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
13	5, 11, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹‘𝑐)))
14	7	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
15	14	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
17		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
18	14, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ≠ 0)
19	16, 18	absrpcld 15611	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑐)) ∈ ℝ+)
20	13, 19	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
22		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴[,]𝐵)
24		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
25		cncficcgt0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
26		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
27	25, 26	nfcxfr 2921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
28	24, 27	nfco 5843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ 𝐹)
29		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑐
30	28, 29	nffv 6893	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
31		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
32		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑑
33	28, 32	nffv 6893	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
34	30, 31, 33	nfbr 5152	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
35	23, 34	nfralw 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
36	22, 35	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
37		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
38	37	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
39	38	rspccva 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
40	39	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
41		absf 15498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
43		difss 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
47	7, 46	fssd 6725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
48		fcompt 7132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
49	42, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))))
50		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
51	27, 50	nffv 6893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
52	24, 51	nffv 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(𝐹‘𝑧))
53		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝐹‘𝑥))
54		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
55	54	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
56	52, 53, 55	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
58	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
59	58, 7	feq1dd 6690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
60	59	fvmptelcdm 7111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
61	58, 60	fvmpt2d 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = 𝐶)
62	61	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘𝐶))
63	62	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
64	49, 57, 63	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
65	45, 60	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	abscld 15599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
67	64, 66	fvmpt2d 7005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
68	67	ad4ant14 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
69	40, 68	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
70	69	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
71	36, 70	ralrimi 3261	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
72	30	nfeq2 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
73		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
74	72, 73	ralbid 3276	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
75	74	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
76	21, 71, 75	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
77		cncficcgt0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
78		cncficcgt0.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
79		cncficcgt0.aleb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
80		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
81		cncfss 25213	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
82	46, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
83	82, 1	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84		abscncf 25215	. . . . . 6 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
86	83, 85	cncfco 25221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
87	77, 78, 79, 86	evthicc 25773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
88	87	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
89	76, 88	r19.29a 3171	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   ≤ cle 11337  ℝ⁺crp 13113  [,]cicc 13472  abscabs 15394  –cn→ccncf 25190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192

This theorem is used by:  fourierdlem68  47153