Theorem mdetpmtr1 34341

Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr1.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr1	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐷(𝑖, 𝑗)   𝑆(𝑖, 𝑗)   · (𝑖, 𝑗)   𝐸(𝑖, 𝑗)   𝑍(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		mdetpmtr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		crngring 20390	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mdetpmtr.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7	6	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
9		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mdetpmtr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11	10, 6	psgndmfi 33546	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
12		fnfun 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
13	9, 11, 12	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → Fun 𝑆)
14		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ 𝐺)
15		fndm 6639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
16	9, 11, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
17	14, 16	eleqtrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
18		fvco 6980	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
19	13, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
20		mdetpmtr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
21	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21813	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
22	5, 9, 14, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
23	19, 22	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
25	6, 10	cofipsgn 21812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
26	9, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
27		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑝 ∈ 𝐺)
29	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
30	24, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
31	26, 30	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
33	32, 1	mgpbas 20284	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	32	crngmgp 20386	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
35	34	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
36		mdetpmtr.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
37		mdetpmtr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
38		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
39	38, 6	symgfv 19513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
40	39	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
41		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
42		mdetpmtr1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
43		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
44		simp1rr 1258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
45		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
46	38, 6	symgfv 19513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
48		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
49		simp1rl 1257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
50	36, 1, 37, 47, 48, 49	matecld 22654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
51	36, 1, 37, 9, 43, 50	matbas2d 22651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
52	42, 51	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝐵)
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	36, 1, 37, 40, 41, 53	matecld 22654	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
56	33, 35, 27, 55	gsummptcl 20100	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57	1, 3	ringcl 20395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
58	24, 31, 56, 57	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
59		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))
60	38, 6	symgbasfi 19512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
61	9, 60	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
62		ovexd 7452	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
63		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
64	59, 61, 62, 63	fsuppmptdm 9350	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g‘𝑅))
65	1, 2, 3, 5, 8, 23, 58, 64	gsummulc2 20463	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
66		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
67		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
68		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑞‘𝑥) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
69	68	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
70	69	mpteq2dv 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
71	70	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
72	67, 71	oveq12d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
73		ringcmn 20429	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
74	5, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
75		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
76	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
77	6, 10	cofipsgn 21812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
78	9, 77	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
79		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
80		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑞 ∈ 𝐺)
81	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
82	76, 79, 80, 81	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
83	78, 82	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
84	34	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
85	38, 6	symgfv 19513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
86	85	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
87		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
88		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
89	88	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
90	36, 1, 37, 86, 87, 89	matecld 22654	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
91	90	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
92	33, 84, 79, 91	gsummptcl 20100	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
93	1, 3	ringcl 20395	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
94	76, 83, 92, 93	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
95		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
96	38, 6, 95	symgov 19517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃 ∘ 𝑝))
97	38, 6, 95	symgcl 19518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
98	96, 97	eqeltrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
99	14, 98	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
100	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
101	6	symgfcoeu 33530	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
102	79, 100, 80, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
103	66, 1, 2, 72, 74, 61, 75, 94, 99, 102	gsummptf1o 20096	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
104		mdetpmtr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
105	104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32	mdetleib 22815	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
106	105	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
107	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
108	1, 3	ringass 20398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
109	24, 107, 31, 56, 108	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
110	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
111	110, 26	oveq12d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
112	6, 10	cofipsgn 21812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
113	27, 99, 112	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
114	14	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
115	38, 10, 6	psgnco 21802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
116	27, 114, 28, 115	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
117	116	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))))
118	20	zrhrhm 21730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
119	5, 118	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
120	119	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
121		1z 12652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
122		neg1z 12658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
123		prssi 4785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
124	121, 122, 123	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
125	6, 10	psgnran 19648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
126	27, 114, 125	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
127	124, 126	sselid 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
128	6, 10	psgnran 19648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
129	9, 128	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
130	124, 129	sselid 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ)
131		zringbas 21672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
132		zringmulr 21676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
133	131, 132, 3	rhmmul 20637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
134	120, 127, 130, 133	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
135	113, 117, 134	3eqtrrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
136	111, 135	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
137	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)))
138		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝‘𝑥))
139	138	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
140		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
141	38, 6	symgbasf 19509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
142		ffun 6709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → Fun 𝑝)
143	140, 141, 142	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
144		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑁)
145		fdm 6716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
146	140, 141, 145	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
147	144, 146	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
148		fvco 6980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝑝 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
149	143, 147, 148	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
150	139, 149	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
151		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
152	150, 151	oveq12d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
153		ovexd 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
154	137, 152, 40, 41, 153	ovmpod 7569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
155	154	mpteq2dva 5202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
156	155	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
157	136, 156	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
158	109, 157	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
159	158	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
160	159	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
161	103, 106, 160	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
162	104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32	mdetleib 22815	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
163	52, 162	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
164	163	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
165	65, 161, 164	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3365  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956  1c1 11129   · cmul 11133  -cneg 11470  ℤcz 12619  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  SymGrpcsymg 19502  pmSgncpsgn 19622  CMndccmn 19913  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379   RingHom crh 20616  ℤ_ringczring 21665  ℤRHomczrh 21718   Mat cmat 22635   maDet cmdat 22812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-splice 14823  df-reverse 14832  df-s2 14923  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-efmnd 18984  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-oppg 19479  df-symg 19503  df-pmtr 19575  df-psgn 19624  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-cnfld 21592  df-zring 21666  df-zrh 21722  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mat 22636  df-mdet 22813

This theorem is used by:  mdetpmtr2  34342  mdetpmtr12  34343