Theorem mdetpmtr1 32404

Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr1.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr1	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mdetpmtr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		crngring 19976	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		mdetpmtr.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8	7	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
10		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
11		mdetpmtr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
12	11, 7	psgndmfi 31947	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
13		fnfun 6602	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → Fun 𝑆)
15		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ 𝐺)
16		fndm 6605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
17	10, 12, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
18	15, 17	eleqtrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
19		fvco 6939	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
20	14, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
21		mdetpmtr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
22	7, 11, 21	zrhpsgnelbas 20998	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 10, 15, 22	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
24	20, 23	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
25	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
26	7, 11	cofipsgn 20997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
27	10, 26	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
28		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑝 ∈ 𝐺)
30	7, 11, 21	zrhpsgnelbas 20998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
32	27, 31	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
34	33, 1	mgpbas 19902	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
35	33	crngmgp 19972	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
36	35	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
37		mdetpmtr.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
38		mdetpmtr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
39		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
40	39, 7	symgfv 19161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
41	40	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
42		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
43		mdetpmtr1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
44		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
45		simp1rr 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
46		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
47	39, 7	symgfv 19161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
48	45, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
49		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
50		simp1rl 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
51	37, 1, 38, 48, 49, 50	matecld 21775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
52	37, 1, 38, 10, 44, 51	matbas2d 21772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
53	43, 52	eqeltrid 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	53	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
55	37, 1, 38, 41, 42, 54	matecld 21775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
56	55	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
57	34, 36, 28, 56	gsummptcl 19744	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 4	ringcl 19981	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
59	25, 32, 57, 58	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
60		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))
61	39, 7	symgbasfi 19160	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
62	10, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
63		ovexd 7392	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
64		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
65	60, 62, 63, 64	fsuppmptdm 9316	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g‘𝑅))
66	1, 2, 3, 4, 6, 9, 24, 59, 65	gsummulc2 20031	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
67		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
68		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
69		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑞‘𝑥) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
70	69	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
71	70	mpteq2dv 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
72	71	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
73	68, 72	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
74		ringcmn 20003	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
75	6, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
76		ssidd 3967	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
77	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
78	7, 11	cofipsgn 20997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
79	10, 78	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
80		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
81		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑞 ∈ 𝐺)
82	7, 11, 21	zrhpsgnelbas 20998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
83	77, 80, 81, 82	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
84	79, 83	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
85	35	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
86	39, 7	symgfv 19161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
87	86	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
88		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
89		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
90	89	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
91	37, 1, 38, 87, 88, 90	matecld 21775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
92	91	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
93	34, 85, 80, 92	gsummptcl 19744	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
94	1, 4	ringcl 19981	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
95	77, 84, 93, 94	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
96		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
97	39, 7, 96	symgov 19165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃 ∘ 𝑝))
98	39, 7, 96	symgcl 19166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
99	97, 98	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
100	15, 99	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
101	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
102	7	symgfcoeu 31933	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
103	80, 101, 81, 102	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
104	67, 1, 2, 73, 75, 62, 76, 95, 100, 103	gsummptf1o 19740	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
105		mdetpmtr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
106	105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33	mdetleib 21936	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
107	106	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
108	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
109	1, 4	ringass 19984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
110	25, 108, 32, 57, 109	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
111	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
112	111, 27	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
113	7, 11	cofipsgn 20997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
114	28, 100, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
115	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
116	39, 11, 7	psgnco 20987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
117	28, 115, 29, 116	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
118	117	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))))
119	21	zrhrhm 20912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
120	6, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
122		1z 12533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
123		neg1z 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
124		prssi 4781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
125	122, 123, 124	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
126	7, 11	psgnran 19297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
127	28, 115, 126	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
128	125, 127	sselid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
129	7, 11	psgnran 19297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
130	10, 129	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
131	125, 130	sselid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ)
132		zringbas 20875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
133		zringmulr 20878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
134	132, 133, 4	rhmmul 20159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
135	121, 128, 131, 134	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
136	114, 118, 135	3eqtrrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
137	112, 136	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
138	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)))
139		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝‘𝑥))
140	139	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
141		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
142	39, 7	symgbasf 19157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
143		ffun 6671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → Fun 𝑝)
144	141, 142, 143	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
145		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑁)
146		fdm 6677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
147	141, 142, 146	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
148	145, 147	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
149		fvco 6939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝑝 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
150	144, 148, 149	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
151	140, 150	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
152		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
153	151, 152	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
154		ovexd 7392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
155	138, 153, 41, 42, 154	ovmpod 7507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
156	155	mpteq2dva 5205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
157	156	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
158	137, 157	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
159	110, 158	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
160	159	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
161	160	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
162	104, 107, 161	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
163	105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33	mdetleib 21936	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
164	53, 163	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
165	164	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
166	66, 162, 165	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3351  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Fincfn 8883  1c1 11052   · cmul 11056  -cneg 11386  ℤcz 12499  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  ℤ_ringczring 20869  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934

This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  32405  mdetpmtr12  32406