Theorem mdetpmtr1 33967

Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr1.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr1	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		mdetpmtr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		crngring 20226	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mdetpmtr.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7	6	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
9		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mdetpmtr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11	10, 6	psgndmfi 33159	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
12		fnfun 6598	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
13	9, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → Fun 𝑆)
14		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ 𝐺)
15		fndm 6601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
16	9, 11, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
17	14, 16	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
18		fvco 6938	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
19	13, 17, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
20		mdetpmtr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
21	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21574	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
22	5, 9, 14, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
23	19, 22	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
24	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
25	6, 10	cofipsgn 21573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
26	9, 25	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆‘𝑝)))
27		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑝 ∈ 𝐺)
29	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
30	24, 27, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
31	26, 30	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
33	32, 1	mgpbas 20126	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	32	crngmgp 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
35	34	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
36		mdetpmtr.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
37		mdetpmtr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
38		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
39	38, 6	symgfv 19355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
40	39	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
42		mdetpmtr1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
43		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
44		simp1rr 1241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
45		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
46	38, 6	symgfv 19355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
48		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
49		simp1rl 1240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
50	36, 1, 37, 47, 48, 49	matecld 22391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
51	36, 1, 37, 9, 43, 50	matbas2d 22388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
52	42, 51	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝐵)
53	52	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	36, 1, 37, 40, 41, 53	matecld 22391	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
56	33, 35, 27, 55	gsummptcl 19942	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57	1, 3	ringcl 20231	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
58	24, 31, 56, 57	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
59		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))
60	38, 6	symgbasfi 19354	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
61	9, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
62		ovexd 7402	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
63		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
64	59, 61, 62, 63	fsuppmptdm 9289	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g‘𝑅))
65	1, 2, 3, 5, 8, 23, 58, 64	gsummulc2 20296	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
66		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
67		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
68		fveq1 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑞‘𝑥) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
69	68	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
70	69	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
71	70	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
72	67, 71	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
73		ringcmn 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
74	5, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
75		ssidd 3945	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
76	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
77	6, 10	cofipsgn 21573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
78	9, 77	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆‘𝑞)))
79		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
80		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑞 ∈ 𝐺)
81	6, 10, 20	zrhpsgnelbas 21574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
82	76, 79, 80, 81	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
83	78, 82	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
84	34	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
85	38, 6	symgfv 19355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
86	85	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑥) ∈ 𝑁)
87		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
88		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
89	88	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
90	36, 1, 37, 86, 87, 89	matecld 22391	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
91	90	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
92	33, 84, 79, 91	gsummptcl 19942	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
93	1, 3	ringcl 20231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
94	76, 83, 92, 93	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
95		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
96	38, 6, 95	symgov 19359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃 ∘ 𝑝))
97	38, 6, 95	symgcl 19360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
98	96, 97	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
99	14, 98	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺)
100	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
101	6	symgfcoeu 33143	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
102	79, 100, 80, 101	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑞 = (𝑃 ∘ 𝑝))
103	66, 1, 2, 72, 74, 61, 75, 94, 99, 102	gsummptf1o 19938	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
104		mdetpmtr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
105	104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32	mdetleib 22552	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
106	105	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
107	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
108	1, 3	ringass 20234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
109	24, 107, 31, 56, 108	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))
110	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
111	110, 26	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
112	6, 10	cofipsgn 21573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃 ∘ 𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
113	27, 99, 112	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))))
114	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
115	38, 10, 6	psgnco 21563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
116	27, 114, 28, 115	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝)) = ((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝)))
117	116	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃 ∘ 𝑝))) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))))
118	20	zrhrhm 21491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
119	5, 118	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
121		1z 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
122		neg1z 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
123		prssi 4764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
124	121, 122, 123	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
125	6, 10	psgnran 19490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
126	27, 114, 125	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
127	124, 126	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
128	6, 10	psgnran 19490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
129	9, 128	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ {1, -1})
130	124, 129	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ)
131		zringbas 21433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
132		zringmulr 21437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
133	131, 132, 3	rhmmul 20465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
134	120, 127, 130, 133	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))))
135	113, 117, 134	3eqtrrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑝))) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
136	111, 135	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)))
137	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗)))
138		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝‘𝑥))
139	138	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
140		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
141	38, 6	symgbasf 19351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
142		ffun 6671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → Fun 𝑝)
143	140, 141, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
144		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑁)
145		fdm 6677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁⟶𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
146	140, 141, 145	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
147	144, 146	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
148		fvco 6938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝑝 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
149	143, 147, 148	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝‘𝑥)))
150	139, 149	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥))
151		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
152	150, 151	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
153		ovexd 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
154	137, 152, 40, 41, 153	ovmpod 7519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
155	154	mpteq2dva 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
156	155	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
157	136, 156	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
158	109, 157	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
159	158	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
160	159	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘(𝑃 ∘ 𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑃 ∘ 𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
161	103, 106, 160	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
162	104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32	mdetleib 22552	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
163	52, 162	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥)))))))
164	163	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝐺 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝐸𝑥))))))))
165	65, 161, 164	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3340  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {cpr 4569   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Fincfn 8893  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11378  ℤcz 12524  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344  pmSgncpsgn 19464  CMndccmn 19755  mulGrpcmgp 20121  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215   RingHom crh 20449  ℤ_ringczring 21426  ℤRHomczrh 21479   Mat cmat 22372   maDet cmdat 22549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417  df-psgn 19466  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mat 22373  df-mdet 22550

This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  33968  mdetpmtr12  33969