Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr1 30993
Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr1.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2826 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2826 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdetpmtr.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 crngring 19244 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
65ad2antrr 722 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 mdetpmtr.g . . . . 5 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
87fvexi 6683 . . . 4 𝐺 ∈ V
98a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
10 simplr 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mdetpmtr.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1211, 7psgndmfi 30673 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
13 fnfun 6452 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
1410, 12, 133syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → Fun 𝑆)
15 simprr 769 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
16 fndm 6454 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
1710, 12, 163syl 18 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
1815, 17eleqtrrd 2921 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
19 fvco 6758 . . . . 5 ((Fun 𝑆𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
21 mdetpmtr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
227, 11, 21zrhpsgnelbas 20673 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
236, 10, 15, 22syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2420, 23eqeltrd 2918 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
256adantr 481 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
267, 11cofipsgn 20672 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
2710, 26sylan 580 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
28 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑝𝐺)
307, 11, 21zrhpsgnelbas 20673 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3227, 31eqeltrd 2918 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2826 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3433, 1mgpbas 19181 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3533crngmgp 19241 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3635ad3antrrr 726 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
37 mdetpmtr.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
38 mdetpmtr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
39 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4039, 7symgfv 18450 . . . . . . . 8 ((𝑝𝐺𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
4140adantll 710 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
42 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
43 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
44 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
45 simp1rr 1233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
46 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4739, 7symgfv 18450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
49 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
50 simp1rl 1232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
5137, 1, 38, 48, 49, 50matecld 20970 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
5237, 1, 38, 10, 44, 51matbas2d 20967 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
5343, 52eqeltrid 2922 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
5453ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸𝐵)
5537, 1, 38, 41, 42, 54matecld 20970 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5655ralrimiva 3187 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5734, 36, 28, 56gsummptcl 19023 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
581, 4ringcl 19247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
5925, 32, 57, 58syl3anc 1365 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
60 eqid 2826 . . . 4 (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))
6139, 7symgbasfi 18449 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
6210, 61syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
63 ovexd 7185 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
64 fvexd 6684 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (0g𝑅) ∈ V)
6560, 62, 63, 64fsuppmptdm 8838 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g𝑅))
661, 2, 3, 4, 6, 9, 24, 59, 65gsummulc2 19293 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
67 nfcv 2982 . . . 4 𝑞(((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
68 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
69 fveq1 6668 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑞𝑥) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
7069oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
7170mpteq2dv 5159 . . . . . 6 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
7271oveq2d 7166 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
7368, 72oveq12d 7168 . . . 4 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
74 ringcmn 19267 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
756, 74syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
76 ssidd 3994 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
776adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
787, 11cofipsgn 20672 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
7910, 78sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
80 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
81 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑞𝐺)
827, 11, 21zrhpsgnelbas 20673 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8377, 80, 81, 82syl3anc 1365 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8479, 83eqeltrd 2918 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
8535ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
8639, 7symgfv 18450 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐺𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
8786adantll 710 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
88 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
89 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑀𝐵)
9089ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝐵)
9137, 1, 38, 87, 88, 90matecld 20970 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9291ralrimiva 3187 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9334, 85, 80, 92gsummptcl 19023 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
941, 4ringcl 19247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
9577, 84, 93, 94syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
96 eqid 2826 . . . . . . 7 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
9739, 7, 96symgov 18453 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃𝑝))
9839, 7, 96symgcl 18454 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
9997, 98eqeltrrd 2919 . . . . 5 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10015, 99sylan 580 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10115adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑃𝐺)
1027symgfcoeu 30659 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10380, 101, 81, 102syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10467, 1, 2, 73, 75, 62, 76, 95, 100, 103gsummptf1o 19019 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
105 mdetpmtr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
106105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33mdetleib 21131 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
107106ad2antrl 724 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
10824adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
1091, 4ringass 19250 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11025, 108, 32, 57, 109syl13anc 1366 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
112111, 27oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
1137, 11cofipsgn 20672 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
11428, 100, 113syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
11515adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑃𝐺)
11639, 11, 7psgnco 20662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
11728, 115, 29, 116syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
118117fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))))
11921zrhrhm 20594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1206, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
121120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
122 1z 12006 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
123 neg1z 12012 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
124 prssi 4753 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
125122, 123, 124mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} ⊆ ℤ
1267, 11psgnran 18579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
12728, 115, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
128125, 127sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
1297, 11psgnran 18579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
13010, 129sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
131125, 130sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ ℤ)
132 zringbas 20558 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
133 zringmulr 20561 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
134132, 133, 4rhmmul 19415 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
135121, 128, 131, 134syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
136114, 118, 1353eqtrrd 2866 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
137112, 136eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
13843a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)))
139 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝𝑥))
140139fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
141 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝𝐺)
14239, 7symgbasf 18447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐺𝑝:𝑁𝑁)
143 ffun 6516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁𝑁 → Fun 𝑝)
144141, 142, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
145 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥𝑁)
146 fdm 6521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
147141, 142, 1463syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
148145, 147eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
149 fvco 6758 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑝𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
150144, 148, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
151140, 150eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
152 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
153151, 152oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
154 ovexd 7185 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
155138, 153, 41, 42, 154ovmpod 7296 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
156155mpteq2dva 5158 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
157156oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
158137, 157oveq12d 7168 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
159110, 158eqtr3d 2863 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
160159mpteq2dva 5158 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
161160oveq2d 7166 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
162104, 107, 1613eqtr4d 2871 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
163105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33mdetleib 21131 . . . 4 (𝐸𝐵 → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
16453, 163syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
165164oveq2d 7166 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
16666, 162, 1653eqtr4d 2871 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  ∃!wreu 3145  Vcvv 3500  wss 3940  {cpr 4566  cmpt 5143  dom cdm 5554  ccom 5558  Fun wfun 6348   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cmpo 7152  Fincfn 8503  1c1 10532   · cmul 10536  -cneg 10865  cz 11975  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  SymGrpcsymg 18440  pmSgncpsgn 18553  CMndccmn 18842  mulGrpcmgp 19175  Ringcrg 19233  CRingccrg 19234   RingHom crh 19400  ringzring 20552  ℤRHomczrh 20582   Mat cmat 20951   maDet cmdat 21128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-word 13857  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-gim 18344  df-cntz 18392  df-oppg 18419  df-symg 18441  df-pmtr 18506  df-psgn 18555  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-cnfld 20481  df-zring 20553  df-zrh 20586  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-mat 20952  df-mdet 21129
This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  30994  mdetpmtr12  30995
  Copyright terms: Public domain W3C validator