Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr1 32872
Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetpmtr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetpmtr.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetpmtr.g ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetpmtr.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetpmtr.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetpmtr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetpmtr1.e ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐บ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables ๐‘ ๐‘ž ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
3 mdetpmtr.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 crngring 20070 . . . 4 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
54ad2antrr 724 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 mdetpmtr.g . . . . 5 ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
76fvexi 6905 . . . 4 ๐บ โˆˆ V
87a1i 11 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
9 simplr 767 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 mdetpmtr.s . . . . . . 7 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
1110, 6psgndmfi 32298 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘† Fn ๐บ)
12 fnfun 6649 . . . . . 6 (๐‘† Fn ๐บ โ†’ Fun ๐‘†)
139, 11, 123syl 18 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ Fun ๐‘†)
14 simprr 771 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
15 fndm 6652 . . . . . . 7 (๐‘† Fn ๐บ โ†’ dom ๐‘† = ๐บ)
169, 11, 153syl 18 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ dom ๐‘† = ๐บ)
1714, 16eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ dom ๐‘†)
18 fvco 6989 . . . . 5 ((Fun ๐‘† โˆง ๐‘ƒ โˆˆ dom ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)))
1913, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)))
20 mdetpmtr.z . . . . . 6 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
216, 10, 20zrhpsgnelbas 21153 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
225, 9, 14, 21syl3anc 1371 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2319, 22eqeltrd 2833 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
245adantr 481 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
256, 10cofipsgn 21152 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)))
269, 25sylan 580 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)))
27 simpllr 774 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
28 simpr 485 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐บ)
296, 10, 20zrhpsgnelbas 21153 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3024, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3126, 30eqeltrd 2833 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
32 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
3332, 1mgpbas 19995 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
3432crngmgp 20066 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
3534ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
36 mdetpmtr.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
37 mdetpmtr.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
38 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
3938, 6symgfv 19249 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘)
4039adantll 712 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘)
41 simpr 485 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘)
42 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—))
43 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
44 simp1rr 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
45 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
4638, 6symgfv 19249 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐‘)
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐‘)
48 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
49 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
5036, 1, 37, 47, 48, 49matecld 21935 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5136, 1, 37, 9, 43, 50matbas2d 21932 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—)) โˆˆ ๐ต)
5242, 51eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
5352ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
5436, 1, 37, 40, 41, 53matecld 21935 . . . . . 6 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5554ralrimiva 3146 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5633, 35, 27, 55gsummptcl 19837 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
571, 3ringcl 20075 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5824, 31, 56, 57syl3anc 1371 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
59 eqid 2732 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))) = (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))))
6038, 6symgbasfi 19248 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐บ โˆˆ Fin)
619, 60syl 17 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ Fin)
62 ovexd 7446 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
63 fvexd 6906 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
6459, 61, 62, 63fsuppmptdm 9376 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
651, 2, 3, 5, 8, 23, 58, 64gsummulc2 20133 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))))
66 nfcv 2903 . . . 4 โ„ฒ๐‘ž(((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))
67 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) = ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)))
68 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ (๐‘žโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
6968oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ) = (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))
7069mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))
7170oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))
7267, 71oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))
73 ringcmn 20101 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
745, 73syl 17 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
75 ssidd 4005 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) โŠ† (Baseโ€˜๐‘…))
765adantr 481 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
776, 10cofipsgn 21152 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)))
789, 77sylan 580 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)))
79 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
80 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐บ)
816, 10, 20zrhpsgnelbas 21153 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8276, 79, 80, 81syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8378, 82eqeltrd 2833 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8434ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
8538, 6symgfv 19249 . . . . . . . . 9 ((๐‘ž โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘)
8685adantll 712 . . . . . . . 8 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘)
87 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘)
88 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
9036, 1, 37, 86, 87, 89matecld 21935 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9190ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9233, 84, 79, 91gsummptcl 19837 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
931, 3ringcl 20075 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9476, 83, 92, 93syl3anc 1371 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
95 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
9638, 6, 95symgov 19253 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))
9738, 6, 95symgcl 19254 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘ƒ(+gโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))๐‘) โˆˆ ๐บ)
9896, 97eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โˆˆ ๐บ)
9914, 98sylan 580 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โˆˆ ๐บ)
10014adantr 481 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
1016symgfcoeu 32284 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ ๐บ ๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))
10279, 100, 80, 101syl3anc 1371 . . . 4 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐บ) โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ ๐บ ๐‘ž = (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))
10366, 1, 2, 72, 74, 61, 75, 94, 99, 102gsummptf1o 19833 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
104 mdetpmtr.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
105104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32mdetleib 22096 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
106105ad2antrl 726 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
10723adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1081, 3ringass 20078 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))
10924, 107, 31, 56, 108syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))
11019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)))
111110, 26oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘)) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘))))
1126, 10cofipsgn 21152 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘) โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))))
11327, 99, 112syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))))
11414adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
11538, 10, 6psgnco 21142 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘)))
11627, 114, 28, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘)))
117116fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘))) = (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘))))
11820zrhrhm 21067 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
1195, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
120119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
121 1z 12594 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„ค
122 neg1z 12600 . . . . . . . . . . . 12 -1 โˆˆ โ„ค
123 prssi 4824 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โ†’ {1, -1} โŠ† โ„ค)
124121, 122, 123mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} โŠ† โ„ค
1256, 10psgnran 19385 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ {1, -1})
12627, 114, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ {1, -1})
127124, 126sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
1286, 10psgnran 19385 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ {1, -1})
1299, 128sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ {1, -1})
130124, 129sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
131 zringbas 21029 . . . . . . . . . . 11 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
132 zringmulr 21033 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
133131, 132, 3rhmmul 20268 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘))) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘))))
134120, 127, 130, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘))) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘))))
135113, 117, 1343eqtrrd 2777 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘))) = ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)))
136111, 135eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘)) = ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)))
13742a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—)))
138 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))
139138fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
140 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐บ)
14138, 6symgbasf 19245 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
142 ffun 6720 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘:๐‘โŸถ๐‘ โ†’ Fun ๐‘)
143140, 141, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ Fun ๐‘)
144 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘)
145 fdm 6726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘:๐‘โŸถ๐‘ โ†’ dom ๐‘ = ๐‘)
146140, 141, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ dom ๐‘ = ๐‘)
147144, 146eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘)
148 fvco 6989 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun ๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
149143, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
150139, 149eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = ((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
151 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘— = ๐‘ฅ)
152150, 151oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘— = ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—) = (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))
153 ovexd 7446 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ) โˆˆ V)
154137, 152, 40, 41, 153ovmpod 7562 . . . . . . . . 9 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ) = (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))
155154mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))
156155oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))
157136, 156oveq12d 7429 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))
158109, 157eqtr3d 2774 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐บ) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))
159158mpteq2dva 5248 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))))) = (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))))
160159oveq2d 7427 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜(๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((๐‘ƒ โˆ˜ ๐‘)โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
161103, 106, 1603eqtr4d 2782 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))))
162104, 36, 37, 6, 20, 10, 3, 32mdetleib 22096 . . . 4 (๐ธ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐ธ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))))))
16352, 162syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐ธ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ)))))))
164163oveq2d 7427 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐บ โ†ฆ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐ธ๐‘ฅ))))))))
16565, 161, 1643eqtr4d 2782 1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒ!wreu 3374  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  {cpr 4630   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676   โˆ˜ ccom 5680  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117  -cneg 11447  โ„คcz 12560  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  0gc0g 17387   ฮฃg cgsu 17388  SymGrpcsymg 19236  pmSgncpsgn 19359  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059   RingHom crh 20252  โ„คringczring 21023  โ„คRHomczrh 21055   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915  df-mdet 22094
This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  32873  mdetpmtr12  32874
  Copyright terms: Public domain W3C validator