Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr1 30430
Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr1.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2825 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2825 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdetpmtr.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 crngring 18919 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
65ad2antrr 717 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 mdetpmtr.g . . . . 5 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
87fvexi 6451 . . . 4 𝐺 ∈ V
98a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
10 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mdetpmtr.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1211, 7psgndmfi 30387 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
13 fnfun 6225 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
1410, 12, 133syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → Fun 𝑆)
15 simprr 789 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
16 fndm 6227 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
1710, 12, 163syl 18 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
1815, 17eleqtrrd 2909 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
19 fvco 6525 . . . . 5 ((Fun 𝑆𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
2014, 18, 19syl2anc 579 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
21 mdetpmtr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
227, 11, 21zrhpsgnelbas 20307 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
236, 10, 15, 22syl3anc 1494 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2420, 23eqeltrd 2906 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
256adantr 474 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
267, 11cofipsgn 20305 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
2710, 26sylan 575 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
28 simpllr 793 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
29 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑝𝐺)
307, 11, 21zrhpsgnelbas 20307 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1494 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3227, 31eqeltrd 2906 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2825 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3433, 1mgpbas 18856 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3533crngmgp 18916 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3635ad3antrrr 721 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
37 mdetpmtr.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
38 mdetpmtr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
39 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4039, 7symgfv 18164 . . . . . . . 8 ((𝑝𝐺𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
4140adantll 705 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
42 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
43 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
44 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
45 simp1rr 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
46 simp2 1171 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4739, 7symgfv 18164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
49 simp3 1172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
50 simp1rl 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
5137, 1, 38, 48, 49, 50matecld 20606 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
5237, 1, 38, 10, 44, 51matbas2d 20603 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
5343, 52syl5eqel 2910 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
5453ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸𝐵)
5537, 1, 38, 41, 42, 54matecld 20606 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5655ralrimiva 3175 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5734, 36, 28, 56gsummptcl 18726 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
581, 4ringcl 18922 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
5925, 32, 57, 58syl3anc 1494 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
60 eqid 2825 . . . 4 (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))
6139, 7symgbasfi 18163 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
6210, 61syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
63 ovexd 6944 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
64 fvexd 6452 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (0g𝑅) ∈ V)
6560, 62, 63, 64fsuppmptdm 8561 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g𝑅))
661, 2, 3, 4, 6, 9, 24, 59, 65gsummulc2 18968 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
67 nfcv 2969 . . . 4 𝑞(((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
68 fveq2 6437 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
69 fveq1 6436 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑞𝑥) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
7069oveq1d 6925 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
7170mpteq2dv 4970 . . . . . 6 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
7271oveq2d 6926 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
7368, 72oveq12d 6928 . . . 4 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
74 ringcmn 18942 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
756, 74syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
76 ssidd 3849 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
776adantr 474 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
787, 11cofipsgn 20305 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
7910, 78sylan 575 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
80 simpllr 793 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
81 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑞𝐺)
827, 11, 21zrhpsgnelbas 20307 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8377, 80, 81, 82syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8479, 83eqeltrd 2906 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
8535ad3antrrr 721 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
8639, 7symgfv 18164 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐺𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
8786adantll 705 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
88 simpr 479 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
89 simprl 787 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑀𝐵)
9089ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝐵)
9137, 1, 38, 87, 88, 90matecld 20606 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9291ralrimiva 3175 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9334, 85, 80, 92gsummptcl 18726 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
941, 4ringcl 18922 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
9577, 84, 93, 94syl3anc 1494 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
96 eqid 2825 . . . . . . 7 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
9739, 7, 96symgov 18167 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃𝑝))
9839, 7, 96symgcl 18168 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
9997, 98eqeltrrd 2907 . . . . 5 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10015, 99sylan 575 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10115adantr 474 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑃𝐺)
1027symgfcoeu 30386 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10380, 101, 81, 102syl3anc 1494 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10467, 1, 2, 73, 75, 62, 76, 95, 100, 103gsummptf1o 18722 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
105 mdetpmtr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
106105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33mdetleib 20768 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
107106ad2antrl 719 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
10824adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
1091, 4ringass 18925 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11025, 108, 32, 57, 109syl13anc 1495 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11120adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
112111, 27oveq12d 6928 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
1137, 11cofipsgn 20305 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
11428, 100, 113syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
11515adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑃𝐺)
11639, 11, 7psgnco 20295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
11728, 115, 29, 116syl3anc 1494 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
118117fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))))
11921zrhrhm 20227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1206, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
121120adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
122 1z 11742 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
123 neg1z 11748 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
124 prssi 4572 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
125122, 123, 124mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} ⊆ ℤ
1267, 11psgnran 18293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
12728, 115, 126syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
128125, 127sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
1297, 11psgnran 18293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
13010, 129sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
131125, 130sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ ℤ)
132 zringbas 20191 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
133 zringmulr 20194 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
134132, 133, 4rhmmul 19090 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
135121, 128, 131, 134syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
136114, 118, 1353eqtrrd 2866 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
137112, 136eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
13843a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)))
139 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝𝑥))
140139fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
141 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝𝐺)
14239, 7symgbasf 18161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐺𝑝:𝑁𝑁)
143 ffun 6285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁𝑁 → Fun 𝑝)
144141, 142, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
145 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥𝑁)
146 fdm 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
147141, 142, 1463syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
148145, 147eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
149 fvco 6525 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑝𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
150144, 148, 149syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
151140, 150eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
152 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
153151, 152oveq12d 6928 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
154 ovexd 6944 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
155138, 153, 41, 42, 154ovmpt2d 7053 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
156155mpteq2dva 4969 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
157156oveq2d 6926 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
158137, 157oveq12d 6928 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
159110, 158eqtr3d 2863 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
160159mpteq2dva 4969 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
161160oveq2d 6926 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
162104, 107, 1613eqtr4d 2871 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
163105, 37, 38, 7, 21, 11, 4, 33mdetleib 20768 . . . 4 (𝐸𝐵 → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
16453, 163syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
165164oveq2d 6926 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
16666, 162, 1653eqtr4d 2871 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  ∃!wreu 3119  Vcvv 3414  wss 3798  {cpr 4401  cmpt 4954  dom cdm 5346  ccom 5350  Fun wfun 6121   Fn wfn 6122  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  cmpt2 6912  Fincfn 8228  1c1 10260   · cmul 10264  -cneg 10593  cz 11711  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  0gc0g 16460   Σg cgsu 16461  SymGrpcsymg 18154  pmSgncpsgn 18266  CMndccmn 18553  mulGrpcmgp 18850  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909   RingHom crh 19075  ringzring 20185  ℤRHomczrh 20215   Mat cmat 20587   maDet cmdat 20765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-xor 1638  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708  df-pfx 13757  df-splice 13864  df-reverse 13882  df-s2 13976  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-gim 18059  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-symg 18155  df-pmtr 18219  df-psgn 18268  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-mat 20588  df-mdet 20766
This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  30431  mdetpmtr12  30432
  Copyright terms: Public domain W3C validator