Theorem evthiccabs 43724

Description: Extreme Value Theorem on y closed interval, for the absolute value of y continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthiccabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthiccabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthiccabs.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthiccabs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthiccabs	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthiccabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthiccabs.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthiccabs.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthiccabs.aleb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		ax-resscn 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		ssid 3966	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
6		cncfss 24262	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
8		evthiccabs.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9	7, 8	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10		abscncf 24264	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 24270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
13	1, 2, 3, 12	evthicc 24823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤)))
14	13	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
15		cncff 24256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
16		ffun 6671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → Fun 𝐹)
17	8, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
19		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fdm 6677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
21	8, 15, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
24	19, 23	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25		fvco 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
26	18, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
27	26	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
28	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
29		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
31	29, 30	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32		fvco 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
33	28, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	27, 34	breq12d 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	35	ralbidva 3172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
37	36	rexbidva 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
38	14, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
39	13	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤))
40	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
41		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
43	41, 42	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
44		fvco 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
45	40, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
46	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
47	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
48		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
50	48, 49	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
51		fvco 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
52	47, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
53	52	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
54	46, 53	breq12d 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
55	54	ralbidva 3172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
56	55	rexbidva 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
57	39, 56	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤)))
58	38, 57	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050   ≤ cle 11190  [,]cicc 13267  abscabs 15119  –cn→ccncf 24239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241

This theorem is referenced by:  fourierdlem77  44414  fourierdlem83  44420