Theorem evthiccabs 43034

Description: Extreme Value Theorem on y closed interval, for the absolute value of y continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthiccabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthiccabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthiccabs.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthiccabs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthiccabs	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthiccabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthiccabs.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthiccabs.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthiccabs.aleb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		ax-resscn 10928	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		ssid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
6		cncfss 24062	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
8		evthiccabs.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9	7, 8	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10		abscncf 24064	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 24070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
13	1, 2, 3, 12	evthicc 24623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤)))
14	13	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
15		cncff 24056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
16		ffun 6603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → Fun 𝐹)
17	8, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
19		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fdm 6609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
21	8, 15, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
22	21	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
24	19, 23	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25		fvco 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
26	18, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
27	26	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
28	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
29		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
31	29, 30	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32		fvco 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
33	28, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	27, 34	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	35	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
37	36	rexbidva 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
38	14, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
39	13	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤))
40	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
41		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
43	41, 42	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
44		fvco 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
45	40, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
46	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
47	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
48		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
50	48, 49	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
51		fvco 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
52	47, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
53	52	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
54	46, 53	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
55	54	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
56	55	rexbidva 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
57	39, 56	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤)))
58	38, 57	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  abscabs 14945  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  fourierdlem77  43724  fourierdlem83  43730