Theorem evthiccabs 42924

Description: Extreme Value Theorem on y closed interval, for the absolute value of y continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthiccabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthiccabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthiccabs.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthiccabs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthiccabs	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem evthiccabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthiccabs.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		evthiccabs.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		evthiccabs.aleb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		ax-resscn 10859	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		ssid 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
6		cncfss 23968	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
8		evthiccabs.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9	7, 8	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10		abscncf 23970	. . . . . . 7 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 23976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
13	1, 2, 3, 12	evthicc 24528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤)))
14	13	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
15		cncff 23962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
16		ffun 6587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → Fun 𝐹)
17	8, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
19		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fdm 6593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
21	8, 15, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
22	21	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
24	19, 23	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
25		fvco 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
26	18, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
27	26	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
28	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
31	29, 30	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32		fvco 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
33	28, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	27, 34	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	35	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
37	36	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
38	14, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
39	13	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤))
40	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
41		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
43	41, 42	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
44		fvco 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
45	40, 43, 44	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
47	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))
49	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
50	48, 49	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
51		fvco 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
52	47, 50, 51	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
53	52	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) = (abs‘(𝐹‘𝑤)))
54	46, 53	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
55	54	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
56	55	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))
57	39, 56	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤)))
58	38, 57	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  abscabs 14873  –cn→ccncf 23945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947

This theorem is referenced by:  fourierdlem77  43614  fourierdlem83  43620