Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfv2 32997
Description: Value of the strong sequence builder function. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
sseqval.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
sseqfv2.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
Assertion
Ref Expression
sseqfv2 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem sseqfv2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . . 4 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
4 sseqval.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
51, 2, 3, 4sseqval 32991 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))))
65fveq1d 6845 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = ((𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))))β€˜π‘))
7 wrdfn 14417 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ 𝑀 Fn (0..^(β™―β€˜π‘€)))
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 Fn (0..^(β™―β€˜π‘€)))
9 fvex 6856 . . . . . 6 (π‘₯β€˜((β™―β€˜π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ V
10 df-lsw 14452 . . . . . 6 lastS = (π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯β€˜((β™―β€˜π‘₯) βˆ’ 1)))
119, 10fnmpti 6645 . . . . 5 lastS Fn V
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ lastS Fn V)
13 lencl 14422 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
1514nn0zd 12526 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„€)
16 seqfn 13919 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„€ β†’ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
18 ssv 3969 . . . . 5 ran seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) βŠ† V
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) βŠ† V)
20 fnco 6619 . . . 4 ((lastS Fn V ∧ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) ∧ ran seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) βŠ† V) β†’ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
2112, 17, 19, 20syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
22 fzouzdisj 13609 . . . 4 ((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ…
2322a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ…)
24 sseqfv2.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
25 fvun2 6934 . . 3 ((𝑀 Fn (0..^(β™―β€˜π‘€)) ∧ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) ∧ (((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))) β†’ ((𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))))β€˜π‘) = ((lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))β€˜π‘))
268, 21, 23, 24, 25syl112anc 1375 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))))β€˜π‘) = ((lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))β€˜π‘))
27 fnfun 6603 . . . 4 (seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) Fn (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ Fun seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))
2817, 27syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))
29 fvexd 6858 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜(β™―β€˜π‘€)) ∈ V)
30 ovexd 7393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))𝑏) ∈ V)
31 eqid 2737 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))
32 fvexd 6858 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜π‘€) + 1))) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜π‘Ž) ∈ V)
3329, 30, 31, 15, 32seqf2 13928 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))⟢V)
3433fdmd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) = (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
3524, 34eleqtrrd 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ dom seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))
36 fvco 6940 . . 3 ((Fun seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})) ∧ 𝑁 ∈ dom seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))) β†’ ((lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))β€˜π‘) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)))
3728, 35, 36syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))β€˜π‘) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)))
386, 26, 373eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹)β€˜π‘) = (lastSβ€˜(seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   βˆ’ cmin 11386  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  ..^cfzo 13568  seqcseq 13907  β™―chash 14231  Word cword 14403  lastSclsw 14451   ++ cconcat 14459  βŸ¨β€œcs1 14484  seqstrcsseq 32986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-s1 14485  df-sseq 32987
This theorem is referenced by:  sseqp1  32998
  Copyright terms: Public domain W3C validator