Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem2 30998
Description: Lemma for madjusmdet 31001. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t · = (.r𝑅)
madjusmdet.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m (𝜑𝑀𝐵)
madjusmdetlem2.p 𝑃 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
madjusmdetlem2.s 𝑆 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = ((𝑃𝑆)‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝜑,𝑖   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐷(𝑖)   · (𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem madjusmdetlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 12275 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 eluzfz2 12910 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
6 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) = (1...𝑁)
7 madjusmdetlem2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
8 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(1...𝑁)) = (SymGrp‘(1...𝑁))
9 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))) = (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁)))
106, 7, 8, 9fzto1st 30678 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → 𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))))
115, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))))
128, 9symgbasf1o 18446 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Base‘(SymGrp‘(1...𝑁))) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
15 fznatpl1 12956 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
161, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
17 eqeq1 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑥 = 1))
18 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝑁𝑥𝑁))
19 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 − 1) = (𝑥 − 1))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑥)
2118, 19, 20ifbieq12d 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))
2217, 21ifbieq2d 4495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
2322cbvmptv 5166 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
247, 23eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑆 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
27 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
28 fz1ssnn 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3028, 29sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℕ)
3130nnrpd 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3327, 32ltaddrp2d 12460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 < (𝑋 + 1))
3427, 33ltned 10770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ≠ (𝑋 + 1))
3534necomd 3076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≠ 1)
3626, 35eqnetrd 3088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
3736neneqd 3026 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
3837iffalsed 4481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥))
391adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4030nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℕ0)
4139nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42 elfzle2 12906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑋 ≤ (𝑁 − 1))
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ≤ (𝑁 − 1))
44 nn0ltlem1 12036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 < 𝑁𝑋 ≤ (𝑁 − 1)))
4544biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ (𝑁 − 1)) → 𝑋 < 𝑁)
4640, 41, 43, 45syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 < 𝑁)
47 nnltp1le 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < 𝑁 ↔ (𝑋 + 1) ≤ 𝑁))
4847biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 < 𝑁) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
4930, 39, 46, 48syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑁)
5126, 50eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥𝑁)
5251iftrued 4478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
5326oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = ((𝑋 + 1) − 1))
5430nncnd 11648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
55 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 10992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ((𝑋 + 1) − 1) = 𝑋)
5853, 57eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝑋)
5938, 52, 583eqtrd 2865 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝑁, if(𝑥𝑁, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝑋)
6025, 59, 16, 29fvmptd 6773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
6160idi 1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
62 f1ocnvfv 7031 . . . . . . . 8 ((𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) ∧ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋 → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1)))
6362imp 407 . . . . . . 7 (((𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) ∧ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑆‘(𝑋 + 1)) = 𝑋) → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1))
6414, 16, 61, 63syl21anc 835 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑆𝑋) = (𝑋 + 1))
6564fveq2d 6673 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
6665adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
67 madjusmdetlem2.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
6820breq1d 5073 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝐼𝑥𝐼))
6968, 19, 20ifbieq12d 4497 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
7017, 69ifbieq2d 4495 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7170cbvmptv 5166 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7267, 71eqtri 2849 . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)))
7372a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))))
7433, 26breqtrrd 5091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 < 𝑥)
7527, 74ltned 10770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 1 ≠ 𝑥)
7675necomd 3076 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
7776neneqd 3026 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
7877iffalsed 4481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
7978adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
80 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
8130ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 ∈ ℕ)
82 fz1ssnn 12933 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℕ
83 madjusmdet.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
8482, 83sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
8584ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝐼 ∈ ℕ)
86 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑋 < 𝐼)
87 nnltp1le 12032 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑋 < 𝐼 ↔ (𝑋 + 1) ≤ 𝐼))
8887biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
8981, 85, 86, 88syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
9080, 89eqbrtrd 5085 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥𝐼)
9190iftrued 4478 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
9258adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝑋)
9379, 91, 923eqtrd 2865 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝑋)
9416adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
95 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9673, 93, 94, 95fvmptd 6773 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑋 + 1)) = 𝑋)
9766, 96eqtr2d 2862 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
9865adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑆𝑋)) = (𝑃‘(𝑋 + 1)))
9972a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))))
10078adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥))
10130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑋 ∈ ℕ)
10284ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
10326adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
104 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
105103, 104eqbrtrrd 5087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋 + 1) ≤ 𝐼)
10687biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 + 1) ≤ 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
107101, 102, 105, 106syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
108107ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (𝑥𝐼𝑋 < 𝐼))
109108con3d 155 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → (¬ 𝑋 < 𝐼 → ¬ 𝑥𝐼))
110109imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑥𝐼)
111110an32s 648 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → ¬ 𝑥𝐼)
112111iffalsed 4481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
113 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → 𝑥 = (𝑋 + 1))
114112, 113eqtrd 2861 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑋 + 1))
115100, 114eqtrd 2861 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 1)) → if(𝑥 = 1, 𝐼, if(𝑥𝐼, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (𝑋 + 1))
11616adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
11799, 115, 116, 116fvmptd 6773 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑃‘(𝑋 + 1)) = (𝑋 + 1))
11898, 117eqtr2d 2862 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝑋 + 1) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
11997, 118ifeqda 4505 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
120 f1ocnv 6626 . . . . . 6 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → 𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
12111, 12, 1203syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁))
122 f1ofun 6616 . . . . 5 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → Fun 𝑆)
123121, 122syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑆)
124123adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → Fun 𝑆)
125 fzdif2 30446 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
1263, 125syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
127 difss 4112 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
128126, 127eqsstrrdi 4026 . . . . . 6 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
129 f1odm 6618 . . . . . . 7 (𝑆:(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁) → dom 𝑆 = (1...𝑁))
130121, 129syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = (1...𝑁))
131128, 130sseqtrrd 4012 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝑆)
132131adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝑆)
133132, 29sseldd 3972 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑋 ∈ dom 𝑆)
134 fvco 6758 . . 3 ((Fun 𝑆𝑋 ∈ dom 𝑆) → ((𝑃𝑆)‘𝑋) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
135124, 133, 134syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑃𝑆)‘𝑋) = (𝑃‘(𝑆𝑋)))
136119, 135eqtr4d 2864 1 ((𝜑𝑋 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = ((𝑃𝑆)‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3937  wss 3940  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ccnv 5553  dom cdm 5554  ccom 5558  Fun wfun 6348  1-1-ontowf1o 6353  cfv 6354  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  0cn0 11891  cuz 12237  +crp 12384  ...cfz 12887  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  SymGrpcsymg 18440  CRingccrg 19234  ℤRHomczrh 20582   Mat cmat 20951   maDet cmdat 21128   maAdju cmadu 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-symg 18441  df-pmtr 18506
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  30999
  Copyright terms: Public domain W3C validator