Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | madjusmdet.n |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2 | | nnuz 12811 |
. . . . . . . . . . . 12
โข โ =
(โคโฅโ1) |
3 | 1, 2 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ
(โคโฅโ1)) |
4 | | eluzfz2 13455 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ ๐ โ (1...๐)) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(1...๐) = (1...๐) |
7 | | madjusmdetlem2.s |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
8 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(SymGrpโ(1...๐)) = (SymGrpโ(1...๐)) |
9 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(Baseโ(SymGrpโ(1...๐))) = (Baseโ(SymGrpโ(1...๐))) |
10 | 6, 7, 8, 9 | fzto1st 32001 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ (Baseโ(SymGrpโ(1...๐)))) |
11 | 5, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ (Baseโ(SymGrpโ(1...๐)))) |
12 | 8, 9 | symgbasf1o 19161 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ
(Baseโ(SymGrpโ(1...๐))) โ ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐)) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐)) |
15 | | fznatpl1 13501 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐ + 1) โ (1...๐)) |
16 | 1, 15 | sylan 581 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐ + 1) โ (1...๐)) |
17 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐ = 1 โ ๐ฅ = 1)) |
18 | | breq1 5109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐ โค ๐ โ ๐ฅ โค ๐)) |
19 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐ โ 1) = (๐ฅ โ 1)) |
20 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ฅ โ ๐ = ๐ฅ) |
21 | 18, 19, 20 | ifbieq12d 4515 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ฅ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
22 | 17, 21 | ifbieq2d 4513 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ฅ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
23 | 22 | cbvmptv 5219 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
24 | 7, 23 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . . 10
โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
25 | 24 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)))) |
26 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ = (๐ + 1)) |
27 | | 1red 11161 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ 1 โ
โ) |
28 | | fz1ssnn 13478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
(1...(๐ โ 1))
โ โ |
29 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ (1...(๐ โ 1))) |
30 | 28, 29 | sselid 3943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
31 | 30 | nnrpd 12960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ
โ+) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ โ
โ+) |
33 | 27, 32 | ltaddrp2d 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ 1 < (๐ + 1)) |
34 | 27, 33 | ltned 11296 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ 1 โ (๐ + 1)) |
35 | 34 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ + 1) โ 1) |
36 | 26, 35 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ โ 1) |
37 | 36 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ยฌ ๐ฅ = 1) |
38 | 37 | iffalsed 4498 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
39 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
40 | 30 | nnnn0d 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ
โ0) |
41 | 39 | nnnn0d 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ
โ0) |
42 | | elfzle2 13451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โ ๐ โค (๐ โ 1)) |
43 | 29, 42 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โค (๐ โ 1)) |
44 | | nn0ltlem1 12568 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) |
45 | 44 | biimpar 479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โง ๐ โค (๐ โ 1)) โ ๐ < ๐) |
46 | 40, 41, 43, 45 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ < ๐) |
47 | | nnltp1le 12564 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ < ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) |
48 | 47 | biimpa 478 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ < ๐) โ (๐ + 1) โค ๐) |
49 | 30, 39, 46, 48 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐ + 1) โค ๐) |
50 | 49 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ + 1) โค ๐) |
51 | 26, 50 | eqbrtrd 5128 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ โค ๐) |
52 | 51 | iftrued 4495 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)) |
53 | 26 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ฅ โ 1) = ((๐ + 1) โ 1)) |
54 | 30 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
55 | | 1cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ 1 โ
โ) |
56 | 54, 55 | pncand 11518 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) |
58 | 53, 57 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ฅ โ 1) = ๐) |
59 | 38, 52, 58 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐, if(๐ฅ โค ๐, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = ๐) |
60 | 25, 59, 16, 29 | fvmptd 6956 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ๐) |
61 | 60 | idi 1 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ๐) |
62 | | f1ocnvfv 7225 |
. . . . . . . 8
โข ((๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โง (๐ + 1) โ (1...๐)) โ ((๐โ(๐ + 1)) = ๐ โ (โก๐โ๐) = (๐ + 1))) |
63 | 62 | imp 408 |
. . . . . . 7
โข (((๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โง (๐ + 1) โ (1...๐)) โง (๐โ(๐ + 1)) = ๐) โ (โก๐โ๐) = (๐ + 1)) |
64 | 14, 16, 61, 63 | syl21anc 837 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (โก๐โ๐) = (๐ + 1)) |
65 | 64 | fveq2d 6847 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐โ(โก๐โ๐)) = (๐โ(๐ + 1))) |
66 | 65 | adantr 482 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ (๐โ(โก๐โ๐)) = (๐โ(๐ + 1))) |
67 | | madjusmdetlem2.p |
. . . . . . 7
โข ๐ = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
68 | 20 | breq1d 5116 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ฅ โ (๐ โค ๐ผ โ ๐ฅ โค ๐ผ)) |
69 | 68, 19, 20 | ifbieq12d 4515 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ฅ โ if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
70 | 17, 69 | ifbieq2d 4513 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ฅ โ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
71 | 70 | cbvmptv 5219 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
72 | 67, 71 | eqtri 2761 |
. . . . . 6
โข ๐ = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ))) |
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ ๐ = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)))) |
74 | 33, 26 | breqtrrd 5134 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ 1 < ๐ฅ) |
75 | 27, 74 | ltned 11296 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ 1 โ ๐ฅ) |
76 | 75 | necomd 2996 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ โ 1) |
77 | 76 | neneqd 2945 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ยฌ ๐ฅ = 1) |
78 | 77 | iffalsed 4498 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
79 | 78 | adantlr 714 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
80 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ = (๐ + 1)) |
81 | 30 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ โ โ) |
82 | | fz1ssnn 13478 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(1...๐) โ
โ |
83 | | madjusmdet.i |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ผ โ (1...๐)) |
84 | 82, 83 | sselid 3943 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ผ โ โ) |
85 | 84 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ผ โ โ) |
86 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ < ๐ผ) |
87 | | nnltp1le 12564 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โ (๐ < ๐ผ โ (๐ + 1) โค ๐ผ)) |
88 | 87 | biimpa 478 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โง ๐ < ๐ผ) โ (๐ + 1) โค ๐ผ) |
89 | 81, 85, 86, 88 | syl21anc 837 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ + 1) โค ๐ผ) |
90 | 80, 89 | eqbrtrd 5128 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ โค ๐ผ) |
91 | 90 | iftrued 4495 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ) = (๐ฅ โ 1)) |
92 | 58 | adantlr 714 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ฅ โ 1) = ๐) |
93 | 79, 91, 92 | 3eqtrd 2777 |
. . . . 5
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = ๐) |
94 | 16 | adantr 482 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ (๐ + 1) โ (1...๐)) |
95 | | simplr 768 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ ๐ โ (1...(๐ โ 1))) |
96 | 73, 93, 94, 95 | fvmptd 6956 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ (๐โ(๐ + 1)) = ๐) |
97 | 66, 96 | eqtr2d 2774 |
. . 3
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ < ๐ผ) โ ๐ = (๐โ(โก๐โ๐))) |
98 | 65 | adantr 482 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ (๐โ(โก๐โ๐)) = (๐โ(๐ + 1))) |
99 | 72 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ ๐ = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)))) |
100 | 78 | adantlr 714 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) |
101 | 30 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ ๐ โ โ) |
102 | 84 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ ๐ผ โ โ) |
103 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ ๐ฅ = (๐ + 1)) |
104 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ ๐ฅ โค ๐ผ) |
105 | 103, 104 | eqbrtrrd 5130 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ (๐ + 1) โค ๐ผ) |
106 | 87 | biimpar 479 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐ผ) โ ๐ < ๐ผ) |
107 | 101, 102,
105, 106 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ๐ฅ โค ๐ผ) โ ๐ < ๐ผ) |
108 | 107 | ex 414 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (๐ฅ โค ๐ผ โ ๐ < ๐ผ)) |
109 | 108 | con3d 152 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ (ยฌ ๐ < ๐ผ โ ยฌ ๐ฅ โค ๐ผ)) |
110 | 109 | imp 408 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ ยฌ ๐ฅ โค ๐ผ) |
111 | 110 | an32s 651 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ยฌ ๐ฅ โค ๐ผ) |
112 | 111 | iffalsed 4498 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ) = ๐ฅ) |
113 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ ๐ฅ = (๐ + 1)) |
114 | 112, 113 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ) = (๐ + 1)) |
115 | 100, 114 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
โข ((((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โง ๐ฅ = (๐ + 1)) โ if(๐ฅ = 1, ๐ผ, if(๐ฅ โค ๐ผ, (๐ฅ โ 1), ๐ฅ)) = (๐ + 1)) |
116 | 16 | adantr 482 |
. . . . 5
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ (๐ + 1) โ (1...๐)) |
117 | 99, 115, 116, 116 | fvmptd 6956 |
. . . 4
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ (๐โ(๐ + 1)) = (๐ + 1)) |
118 | 98, 117 | eqtr2d 2774 |
. . 3
โข (((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โง ยฌ ๐ < ๐ผ) โ (๐ + 1) = (๐โ(โก๐โ๐))) |
119 | 97, 118 | ifeqda 4523 |
. 2
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ if(๐ < ๐ผ, ๐, (๐ + 1)) = (๐โ(โก๐โ๐))) |
120 | | f1ocnv 6797 |
. . . . . 6
โข (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โ โก๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐)) |
121 | 11, 12, 120 | 3syl 18 |
. . . . 5
โข (๐ โ โก๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐)) |
122 | | f1ofun 6787 |
. . . . 5
โข (โก๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โ Fun โก๐) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ Fun โก๐) |
124 | 123 | adantr 482 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ Fun โก๐) |
125 | | fzdif2 31741 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ
(โคโฅโ1) โ ((1...๐) โ {๐}) = (1...(๐ โ 1))) |
126 | 3, 125 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((1...๐) โ {๐}) = (1...(๐ โ 1))) |
127 | | difss 4092 |
. . . . . . 7
โข
((1...๐) โ
{๐}) โ (1...๐) |
128 | 126, 127 | eqsstrrdi 4000 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โ (1...๐)) |
129 | | f1odm 6789 |
. . . . . . 7
โข (โก๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โ dom โก๐ = (1...๐)) |
130 | 121, 129 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (๐ โ dom โก๐ = (1...๐)) |
131 | 128, 130 | sseqtrrd 3986 |
. . . . 5
โข (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โ dom โก๐) |
132 | 131 | adantr 482 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ (1...(๐ โ 1)) โ dom โก๐) |
133 | 132, 29 | sseldd 3946 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ dom โก๐) |
134 | | fvco 6940 |
. . 3
โข ((Fun
โก๐ โง ๐ โ dom โก๐) โ ((๐ โ โก๐)โ๐) = (๐โ(โก๐โ๐))) |
135 | 124, 133,
134 | syl2anc 585 |
. 2
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ((๐ โ โก๐)โ๐) = (๐โ(โก๐โ๐))) |
136 | 119, 135 | eqtr4d 2776 |
1
โข ((๐ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ if(๐ < ๐ผ, ๐, (๐ + 1)) = ((๐ โ โก๐)โ๐)) |