Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem2 32466
Description: Lemma for madjusmdet 32469. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madjusmdet.a ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
madjusmdet.d ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
madjusmdet.k ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
madjusmdet.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
madjusmdet.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madjusmdet.e ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
madjusmdet.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
madjusmdet.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
madjusmdet.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
madjusmdetlem2.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
madjusmdetlem2.s ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ if(๐‘‹ < ๐ผ, ๐‘‹, (๐‘‹ + 1)) = ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐ผ   ๐‘–,๐ฝ   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–   ๐‘…,๐‘–   ๐œ‘,๐‘–   ๐‘†,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐ท(๐‘–)   ยท (๐‘–)   ๐ธ(๐‘–)   ๐พ(๐‘–)   ๐‘‹(๐‘–)   ๐‘(๐‘–)

Proof of Theorem madjusmdetlem2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.n . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . 12 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
31, 2eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4 eluzfz2 13455 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) = (1...๐‘)
7 madjusmdetlem2.s . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) = (SymGrpโ€˜(1...๐‘))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
106, 7, 8, 9fzto1st 32001 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
115, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))))
128, 9symgbasf1o 19161 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘))) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
15 fznatpl1 13501 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
161, 15sylan 581 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
17 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘– = 1 โ†” ๐‘ฅ = 1))
18 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘))
19 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (๐‘ฅ โˆ’ 1))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘– = ๐‘ฅ)
2118, 19, 20ifbieq12d 4515 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
2217, 21ifbieq2d 4513 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
2322cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘, if(๐‘– โ‰ค ๐‘, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
247, 23eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1))
27 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
28 fz1ssnn 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
3028, 29sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
3130nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
3327, 32ltaddrp2d 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ 1 < (๐‘‹ + 1))
3427, 33ltned 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ 1 โ‰  (๐‘‹ + 1))
3534necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰  1)
3626, 35eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  1)
3736neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 1)
3837iffalsed 4498 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
391adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4030nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•0)
4139nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
42 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
4329, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
44 nn0ltlem1 12568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‹ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ < ๐‘ โ†” ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4544biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‹ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘‹ < ๐‘)
4640, 41, 43, 45syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ < ๐‘)
47 nnltp1le 12564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ < ๐‘ โ†” (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐‘))
4847biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‹ < ๐‘) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐‘)
4930, 39, 46, 48syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐‘)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐‘)
5126, 50eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘)
5251iftrued 4495 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ โˆ’ 1))
5326oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 1))
5430nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5654, 55pncand 11518 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘‹)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ((๐‘‹ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘‹)
5853, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ๐‘‹)
5938, 52, 583eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐‘, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐‘, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = ๐‘‹)
6025, 59, 16, 29fvmptd 6956 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‹ + 1)) = ๐‘‹)
6160idi 1 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‹ + 1)) = ๐‘‹)
62 f1ocnvfv 7225 . . . . . . . 8 ((๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โˆง (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‹ + 1)) = ๐‘‹ โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ + 1)))
6362imp 408 . . . . . . 7 (((๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โˆง (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘‹ + 1)) = ๐‘‹) โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ + 1))
6414, 16, 61, 63syl21anc 837 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ + 1))
6564fveq2d 6847 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘‹ + 1)))
6665adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘‹ + 1)))
67 madjusmdetlem2.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
6820breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐ผ โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ))
6968, 19, 20ifbieq12d 4515 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
7017, 69ifbieq2d 4513 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
7170cbvmptv 5219 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
7267, 71eqtri 2761 . . . . . 6 ๐‘ƒ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)))
7372a1i 11 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ ๐‘ƒ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))))
7433, 26breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
7527, 74ltned 11296 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ 1 โ‰  ๐‘ฅ)
7675necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  1)
7776neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 1)
7877iffalsed 4498 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
7978adantlr 714 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
80 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1))
8130ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
82 fz1ssnn 13478 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โŠ† โ„•
83 madjusmdet.i . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
8482, 83sselid 3943 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
8584ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
86 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)
87 nnltp1le 12564 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ < ๐ผ โ†” (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐ผ))
8887biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐ผ)
8981, 85, 86, 88syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐ผ)
9080, 89eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ)
9190iftrued 4495 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ โˆ’ 1))
9258adantlr 714 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ๐‘‹)
9379, 91, 923eqtrd 2777 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = ๐‘‹)
9416adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
95 simplr 768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
9673, 93, 94, 95fvmptd 6956 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘ƒโ€˜(๐‘‹ + 1)) = ๐‘‹)
9766, 96eqtr2d 2774 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)))
9865adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)) = (๐‘ƒโ€˜(๐‘‹ + 1)))
9972a1i 11 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ ๐‘ƒ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))))
10078adantlr 714 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ))
10130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
10284ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
10326adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1))
104 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ)
105103, 104eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐ผ)
10687biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ + 1) โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)
107101, 102, 105, 106syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)
108107ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ))
109108con3d 152 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ))
110109imp 408 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ)
111110an32s 651 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ)
112111iffalsed 4498 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
113 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1))
114112, 113eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ) = (๐‘‹ + 1))
115100, 114eqtrd 2773 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘‹ + 1)) โ†’ if(๐‘ฅ = 1, ๐ผ, if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ผ, (๐‘ฅ โˆ’ 1), ๐‘ฅ)) = (๐‘‹ + 1))
11616adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + 1) โˆˆ (1...๐‘))
11799, 115, 116, 116fvmptd 6956 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘ƒโ€˜(๐‘‹ + 1)) = (๐‘‹ + 1))
11898, 117eqtr2d 2774 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ + 1) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)))
11997, 118ifeqda 4523 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ if(๐‘‹ < ๐ผ, ๐‘‹, (๐‘‹ + 1)) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)))
120 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
12111, 12, 1203syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
122 f1ofun 6787 . . . . 5 (โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
123121, 122syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
124123adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ Fun โ—ก๐‘†)
125 fzdif2 31741 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
1263, 125syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
127 difss 4092 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โŠ† (1...๐‘)
128126, 127eqsstrrdi 4000 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘))
129 f1odm 6789 . . . . . . 7 (โ—ก๐‘†:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
130121, 129syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โ—ก๐‘† = (1...๐‘))
131128, 130sseqtrrd 3986 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† dom โ—ก๐‘†)
132131adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† dom โ—ก๐‘†)
133132, 29sseldd 3946 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ dom โ—ก๐‘†)
134 fvco 6940 . . 3 ((Fun โ—ก๐‘† โˆง ๐‘‹ โˆˆ dom โ—ก๐‘†) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)))
135124, 133, 134syl2anc 585 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ€˜(โ—ก๐‘†โ€˜๐‘‹)))
136119, 135eqtr4d 2776 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ if(๐‘‹ < ๐ผ, ๐‘‹, (๐‘‹ + 1)) = ((๐‘ƒ โˆ˜ โ—ก๐‘†)โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ—กccnv 5633  dom cdm 5634   โˆ˜ ccom 5638  Fun wfun 6491  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  SymGrpcsymg 19153  CRingccrg 19970  โ„คRHomczrh 20916   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949   maAdju cmadu 21997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-pmtr 19229
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  32467
  Copyright terms: Public domain W3C validator