Theorem hgt750lemg 31072

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemg.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemg	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6333	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
2	1	fveq2d 6337	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
3		tpfi 8396	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
5		hgt750lemg.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
6		fzo0to3tp 12762	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
7		f1oeq23 6272	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
8	6, 6, 7	mp2an 672	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9	5, 8	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
10		eqidd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
11		hgt750lemg.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12	11	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
13		hgt750lemg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14	13	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
15		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
16	15, 6	syl6eleqr 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
17	14, 16	ffvelrnd 6505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘𝑎) ∈ ℕ)
18	12, 17	ffvelrnd 6505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℂ)
20	2, 4, 9, 10, 19	fprodf1o 14883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
21		hgt750lemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
23		simpr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
24	23	coeq1d 5421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
25		hgt750lemg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)
26		f1of 6279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
28		ovexd 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
29		fex2 7272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇:(0..^3)⟶(0..^3) ∧ (0..^3) ∈ V ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
30	27, 28, 28, 29	syl3anc 1476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
31		coexg 7268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
32	25, 30, 31	syl2anc 573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
33	22, 24, 25, 32	fvmptd 6432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
34	33	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
35	34	fveq1d 6335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏))
36		f1ofun 6281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
38	37	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
39		f1odm 6283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
41	40	eleq2d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
42	41	biimpar 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
43		fvco 6418	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
44	38, 42, 43	syl2anc 573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
45	35, 44	eqtr2d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑁)‘𝑏))
46	45	fveq2d 6337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
47	46	prodeq2dv 14860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
48	20, 47	eqtr2d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)))
49		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘0))
50	49	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)))
51		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘1))
52	51	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)))
53		c0ex 10240	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
55		1ex 10241	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
57	33	fveq1d 6335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0))
58	53	tpid1 4440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
59	58, 40	syl5eleqr 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
60		fvco 6418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
61	37, 59, 60	syl2anc 573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
62	57, 61	eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
63	58, 6	eleqtrri 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
65	27, 64	ffvelrnd 6505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
66	13, 65	ffvelrnd 6505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
67	62, 66	eqeltrd 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) ∈ ℕ)
68	11, 67	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
69	68	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
70	33	fveq1d 6335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1))
71	55	tpid2 4441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
72	71, 40	syl5eleqr 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
73		fvco 6418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
74	37, 72, 73	syl2anc 573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
75	70, 74	eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
76	71, 6	eleqtrri 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
78	27, 77	ffvelrnd 6505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
79	13, 78	ffvelrnd 6505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
80	75, 79	eqeltrd 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) ∈ ℕ)
81	11, 80	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
82	81	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
83		0ne1 11294	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
85		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝐹‘𝑁)‘2))
86	85	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))
87		2ex 11298	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ V)
89	33	fveq1d 6335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2))
90	87	tpid3 4443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 40	syl5eleqr 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
92		fvco 6418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
93	37, 91, 92	syl2anc 573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
94	89, 93	eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
95	90, 6	eleqtrri 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
97	27, 96	ffvelrnd 6505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
98	13, 97	ffvelrnd 6505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
99	94, 98	eqeltrd 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) ∈ ℕ)
100	11, 99	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
101	100	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
102		0ne2 11446	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
104		1ne2 11447	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
105	104	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
106	50, 52, 54, 56, 69, 82, 84, 86, 88, 101, 103, 105	prodtp 29913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))))
107		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘0))
108	107	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
109		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘1))
110	109	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
111	13, 64	ffvelrnd 6505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
112	11, 111	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
113	112	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
114	13, 77	ffvelrnd 6505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
115	11, 114	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
117		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑁‘𝑎) = (𝑁‘2))
118	117	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
119	13, 96	ffvelrnd 6505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
120	11, 119	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
121	120	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
122	108, 110, 54, 56, 113, 116, 84, 118, 88, 121, 103, 105	prodtp 29913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
123	48, 106, 122	3eqtr3d 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
124	69, 82, 101	mulassd 10269	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))))
125	113, 116, 121	mulassd 10269	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
126	123, 124, 125	3eqtr3d 2813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351  {ctp 4321   ↦ cmpt 4864  dom cdm 5250   ∘ ccom 5254  Fun wfun 6024  ⟶wf 6026  –1-1-onto→wf1o 6029  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  ℕcn 11226  2c2 11276  3c3 11277  ..^cfzo 12673  ∏cprod 14842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843

This theorem is referenced by:  hgt750lema  31075