Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemg 34669
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemg.f 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
hgt750lemg.t (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1 (𝜑𝑁𝑅)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemg (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑎 = (𝑇𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
2 tpfi 9365 . . . . . 6 {0, 1, 2} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4 hgt750lemg.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5 fzo0to3tp 13791 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
6 f1oeq23 6839 . . . . . . 7 (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
75, 5, 6mp2an 692 . . . . . 6 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
84, 7sylib 218 . . . . 5 (𝜑𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇𝑏) = (𝑇𝑏))
10 hgt750lemg.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12 hgt750lemg.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
1514, 5eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
1613, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁𝑎) ∈ ℕ)
1711, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℝ)
1817recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℂ)
191, 3, 8, 9, 18fprodf1o 15982 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
20 hgt750lemg.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇)))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
2322coeq1d 5872 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → (𝑐𝑇) = (𝑁𝑇))
24 hgt750lemg.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑅)
25 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
2826, 27fexd 7247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ V)
29 coexg 7951 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑅𝑇 ∈ V) → (𝑁𝑇) ∈ V)
3024, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑇) ∈ V)
3121, 23, 24, 30fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3332fveq1d 6908 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹𝑁)‘𝑏) = ((𝑁𝑇)‘𝑏))
34 f1ofun 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
354, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝑇)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
37 f1odm 6852 . . . . . . . . . . 11 (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
3938eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
4039biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
41 fvco 7007 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑇𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4236, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4333, 42eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇𝑏)) = ((𝐹𝑁)‘𝑏))
4443fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4544prodeq2dv 15958 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4619, 45eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)))
47 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)))
48 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)))
49 c0ex 11255 . . . . 5 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
51 1ex 11257 . . . . 5 1 ∈ V
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ V)
5331fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = ((𝑁𝑇)‘0))
5449tpid1 4768 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
5554, 38eleqtrrid 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
56 fvco 7007 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5735, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5853, 57eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5954, 5eleqtrri 2840 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
6126, 60ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
6212, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
6358, 62eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) ∈ ℕ)
6410, 63ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
6564recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
6631fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = ((𝑁𝑇)‘1))
6751tpid2 4770 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
6867, 38eleqtrrid 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
69 fvco 7007 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7035, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7166, 70eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7267, 5eleqtrri 2840 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
7426, 73ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
7512, 74ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
7671, 75eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) ∈ ℕ)
7710, 76ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
7877recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
79 0ne1 12337 . . . . 5 0 ≠ 1
8079a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 1)
81 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))
82 2ex 12343 . . . . 5 2 ∈ V
8382a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ V)
8431fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = ((𝑁𝑇)‘2))
8582tpid3 4773 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
8685, 38eleqtrrid 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
87 fvco 7007 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8835, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8984, 88eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9085, 5eleqtrri 2840 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
9226, 91ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
9312, 92ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
9489, 93eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) ∈ ℕ)
9510, 94ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
9695recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
97 0ne2 12473 . . . . 5 0 ≠ 2
9897a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 2)
99 1ne2 12474 . . . . 5 1 ≠ 2
10099a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
10147, 48, 50, 52, 65, 78, 80, 81, 83, 96, 98, 100prodtp 32829 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))))
102 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
103 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
10412, 60ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
10510, 104ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
106105recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
10712, 73ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
10810, 107ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
109108recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
110 2fveq3 6911 . . . 4 (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
11112, 91ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
11210, 111ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
113112recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
114102, 103, 50, 52, 106, 109, 80, 110, 83, 113, 98, 100prodtp 32829 . . 3 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11546, 101, 1143eqtr3d 2785 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11665, 78, 96mulassd 11284 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))))
117106, 109, 113mulassd 11284 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
118115, 116, 1173eqtr3d 2785 1 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  {ctp 4630  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  Fun wfun 6555  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  ..^cfzo 13694  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  hgt750lema  34672
  Copyright terms: Public domain W3C validator