Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemg 33267
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemg.f 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
hgt750lemg.t (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1 (𝜑𝑁𝑅)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemg (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6847 . . . . 5 (𝑎 = (𝑇𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
2 tpfi 9267 . . . . . 6 {0, 1, 2} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4 hgt750lemg.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5 fzo0to3tp 13658 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
6 f1oeq23 6775 . . . . . . 7 (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
75, 5, 6mp2an 690 . . . . . 6 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
84, 7sylib 217 . . . . 5 (𝜑𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇𝑏) = (𝑇𝑏))
10 hgt750lemg.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12 hgt750lemg.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
1514, 5eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
1613, 15ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁𝑎) ∈ ℕ)
1711, 16ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℝ)
1817recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℂ)
191, 3, 8, 9, 18fprodf1o 15829 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
20 hgt750lemg.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇)))
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
2322coeq1d 5817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → (𝑐𝑇) = (𝑁𝑇))
24 hgt750lemg.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑅)
25 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
2826, 27fexd 7177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ V)
29 coexg 7866 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑅𝑇 ∈ V) → (𝑁𝑇) ∈ V)
3024, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑇) ∈ V)
3121, 23, 24, 30fvmptd 6955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3332fveq1d 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹𝑁)‘𝑏) = ((𝑁𝑇)‘𝑏))
34 f1ofun 6786 . . . . . . . . . 10 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
354, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝑇)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
37 f1odm 6788 . . . . . . . . . . 11 (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
3938eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
4039biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
41 fvco 6939 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑇𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4236, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4333, 42eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇𝑏)) = ((𝐹𝑁)‘𝑏))
4443fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4544prodeq2dv 15806 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4619, 45eqtr2d 2777 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)))
47 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)))
48 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)))
49 c0ex 11149 . . . . 5 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
51 1ex 11151 . . . . 5 1 ∈ V
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ V)
5331fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = ((𝑁𝑇)‘0))
5449tpid1 4729 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
5554, 38eleqtrrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
56 fvco 6939 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5735, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5853, 57eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5954, 5eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
6126, 60ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
6212, 61ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
6358, 62eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) ∈ ℕ)
6410, 63ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
6564recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
6631fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = ((𝑁𝑇)‘1))
6751tpid2 4731 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
6867, 38eleqtrrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
69 fvco 6939 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7035, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7166, 70eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7267, 5eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
7426, 73ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
7512, 74ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
7671, 75eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) ∈ ℕ)
7710, 76ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
7877recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
79 0ne1 12224 . . . . 5 0 ≠ 1
8079a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 1)
81 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))
82 2ex 12230 . . . . 5 2 ∈ V
8382a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ V)
8431fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = ((𝑁𝑇)‘2))
8582tpid3 4734 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
8685, 38eleqtrrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
87 fvco 6939 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8835, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8984, 88eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9085, 5eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
9226, 91ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
9312, 92ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
9489, 93eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) ∈ ℕ)
9510, 94ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
9695recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
97 0ne2 12360 . . . . 5 0 ≠ 2
9897a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 2)
99 1ne2 12361 . . . . 5 1 ≠ 2
10099a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
10147, 48, 50, 52, 65, 78, 80, 81, 83, 96, 98, 100prodtp 31723 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))))
102 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
103 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
10412, 60ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
10510, 104ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
106105recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
10712, 73ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
10810, 107ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
109108recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
110 2fveq3 6847 . . . 4 (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
11112, 91ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
11210, 111ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
113112recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
114102, 103, 50, 52, 106, 109, 80, 110, 83, 113, 98, 100prodtp 31723 . . 3 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11546, 101, 1143eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11665, 78, 96mulassd 11178 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))))
117106, 109, 113mulassd 11178 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
118115, 116, 1173eqtr3d 2784 1 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  {ctp 4590  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  ..^cfzo 13567  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  hgt750lema  33270
  Copyright terms: Public domain W3C validator