Theorem hgt750lemg 34798

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemg.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemg	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
2		tpfi 9236	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4		hgt750lemg.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5		fzo0to3tp 13707	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
6		f1oeq23 6772	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
7	5, 5, 6	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
8	4, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
10		hgt750lemg.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12		hgt750lemg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
15	14, 5	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
16	13, 15	ffvelcdmd 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘𝑎) ∈ ℕ)
17	11, 16	ffvelcdmd 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℂ)
19	1, 3, 8, 9, 18	fprodf1o 15911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
20		hgt750lemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
23	22	coeq1d 5817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
24		hgt750lemg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)
25		f1of 6781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27		ovexd 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
28	26, 27	fexd 7182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
29		coexg 7880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
30	24, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
31	21, 23, 24, 30	fvmptd 6956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
33	32	fveq1d 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏))
34		f1ofun 6783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
37		f1odm 6785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
38	8, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
39	38	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
40	39	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
41		fvco 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
42	36, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
43	33, 42	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑁)‘𝑏))
44	43	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
45	44	prodeq2dv 15887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
46	19, 45	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)))
47		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)))
48		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)))
49		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
51		1ex 11140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
53	31	fveq1d 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0))
54	49	tpid1 4713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
55	54, 38	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
56		fvco 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
57	35, 55, 56	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
58	53, 57	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
59	54, 5	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
61	26, 60	ffvelcdmd 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
62	12, 61	ffvelcdmd 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
63	58, 62	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) ∈ ℕ)
64	10, 63	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
66	31	fveq1d 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1))
67	51	tpid2 4715	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
68	67, 38	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
69		fvco 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
70	35, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
71	66, 70	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
72	67, 5	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
74	26, 73	ffvelcdmd 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
75	12, 74	ffvelcdmd 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
76	71, 75	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) ∈ ℕ)
77	10, 76	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
79		0ne1 12252	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
81		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))
82		2ex 12258	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
83	82	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ V)
84	31	fveq1d 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2))
85	82	tpid3 4718	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
86	85, 38	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
87		fvco 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
88	35, 86, 87	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
89	84, 88	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
90	85, 5	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
92	26, 91	ffvelcdmd 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
93	12, 92	ffvelcdmd 7038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
94	89, 93	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) ∈ ℕ)
95	10, 94	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
96	95	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
97		0ne2 12383	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
98	97	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
99		1ne2 12384	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
101	47, 48, 50, 52, 65, 78, 80, 81, 83, 96, 98, 100	prodtp 32900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))))
102		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
103		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
104	12, 60	ffvelcdmd 7038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
105	10, 104	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
107	12, 73	ffvelcdmd 7038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
108	10, 107	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
110		2fveq3 6846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
111	12, 91	ffvelcdmd 7038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
112	10, 111	ffvelcdmd 7038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
113	112	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
114	102, 103, 50, 52, 106, 109, 80, 110, 83, 113, 98, 100	prodtp 32900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
115	46, 101, 114	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
116	65, 78, 96	mulassd 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))))
117	106, 109, 113	mulassd 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
118	115, 116, 117	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  {ctp 4572   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  ..^cfzo 13608  ∏cprod 15868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869

This theorem is referenced by:  hgt750lema  34801