Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemg 32039
 Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemg.f 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
hgt750lemg.t (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1 (𝜑𝑁𝑅)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemg (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6654 . . . . 5 (𝑎 = (𝑇𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
2 tpfi 8782 . . . . . 6 {0, 1, 2} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4 hgt750lemg.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5 fzo0to3tp 13122 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
6 f1oeq23 6586 . . . . . . 7 (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
75, 5, 6mp2an 691 . . . . . 6 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
84, 7sylib 221 . . . . 5 (𝜑𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9 eqidd 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇𝑏) = (𝑇𝑏))
10 hgt750lemg.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12 hgt750lemg.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
1514, 5eleqtrrdi 2904 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
1613, 15ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁𝑎) ∈ ℕ)
1711, 16ffvelrnd 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℝ)
1817recnd 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℂ)
191, 3, 8, 9, 18fprodf1o 15296 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
20 hgt750lemg.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇)))
22 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
2322coeq1d 5700 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → (𝑐𝑇) = (𝑁𝑇))
24 hgt750lemg.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑅)
25 f1of 6594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27 ovexd 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
28 fex2 7624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:(0..^3)⟶(0..^3) ∧ (0..^3) ∈ V ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
2926, 27, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ V)
30 coexg 7620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑅𝑇 ∈ V) → (𝑁𝑇) ∈ V)
3124, 29, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑇) ∈ V)
3221, 23, 24, 31fvmptd 6756 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3332adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3433fveq1d 6651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹𝑁)‘𝑏) = ((𝑁𝑇)‘𝑏))
35 f1ofun 6596 . . . . . . . . . 10 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
364, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝑇)
3736adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
38 f1odm 6598 . . . . . . . . . . 11 (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
398, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
4039eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
4140biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
42 fvco 6740 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑇𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4337, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4434, 43eqtr2d 2837 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇𝑏)) = ((𝐹𝑁)‘𝑏))
4544fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4645prodeq2dv 15273 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4719, 46eqtr2d 2837 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)))
48 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)))
49 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)))
50 c0ex 10628 . . . . 5 0 ∈ V
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
52 1ex 10630 . . . . 5 1 ∈ V
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ V)
5432fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = ((𝑁𝑇)‘0))
5550tpid1 4667 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
5655, 39eleqtrrid 2900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
57 fvco 6740 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5836, 56, 57syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5954, 58eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
6055, 5eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
6226, 61ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
6312, 62ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
6459, 63eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) ∈ ℕ)
6510, 64ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
6665recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
6732fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = ((𝑁𝑇)‘1))
6852tpid2 4669 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
6968, 39eleqtrrid 2900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
70 fvco 6740 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7136, 69, 70syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7267, 71eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7368, 5eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
7526, 74ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
7612, 75ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
7772, 76eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) ∈ ℕ)
7810, 77ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
7978recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
80 0ne1 11700 . . . . 5 0 ≠ 1
8180a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 1)
82 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))
83 2ex 11706 . . . . 5 2 ∈ V
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ V)
8532fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = ((𝑁𝑇)‘2))
8683tpid3 4672 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
8786, 39eleqtrrid 2900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
88 fvco 6740 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8936, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9085, 89eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9186, 5eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
9326, 92ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
9412, 93ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
9590, 94eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) ∈ ℕ)
9610, 95ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
9796recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
98 0ne2 11836 . . . . 5 0 ≠ 2
9998a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 2)
100 1ne2 11837 . . . . 5 1 ≠ 2
101100a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
10248, 49, 51, 53, 66, 79, 81, 82, 84, 97, 99, 101prodtp 30573 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))))
103 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
104 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
10512, 61ffvelrnd 6833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
10610, 105ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
107106recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
10812, 74ffvelrnd 6833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
10910, 108ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
110109recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
111 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
11212, 92ffvelrnd 6833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
11310, 112ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
114113recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
115103, 104, 51, 53, 107, 110, 81, 111, 84, 114, 99, 101prodtp 30573 . . 3 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11647, 102, 1153eqtr3d 2844 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11766, 79, 97mulassd 10657 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))))
118107, 110, 114mulassd 10657 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
119116, 117, 1183eqtr3d 2844 1 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444  {ctp 4532   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   ∘ ccom 5527  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  ..^cfzo 13032  ∏cprod 15255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-prod 15256 This theorem is referenced by:  hgt750lema  32042
 Copyright terms: Public domain W3C validator