Theorem hgt750lemg 31605

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemg.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemg	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6509	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
2		tpfi 8595	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4		hgt750lemg.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5		fzo0to3tp 12944	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
6		f1oeq23 6441	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
7	5, 5, 6	mp2an 680	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
8	4, 7	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9		eqidd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
10		hgt750lemg.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
11	10	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12		hgt750lemg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
13	12	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
15	14, 5	syl6eleqr 2879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
16	13, 15	ffvelrnd 6683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘𝑎) ∈ ℕ)
17	11, 16	ffvelrnd 6683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 10474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℂ)
19	1, 3, 8, 9, 18	fprodf1o 15166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
20		hgt750lemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
22		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
23	22	coeq1d 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
24		hgt750lemg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)
25		f1of 6449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27		ovexd 7016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
28		fex2 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇:(0..^3)⟶(0..^3) ∧ (0..^3) ∈ V ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
29	26, 27, 27, 28	syl3anc 1352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
30		coexg 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
31	24, 29, 30	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
32	21, 23, 24, 31	fvmptd 6607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
33	32	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
34	33	fveq1d 6506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏))
35		f1ofun 6451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
37	36	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
38		f1odm 6453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
39	8, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
40	39	eleq2d 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
41	40	biimpar 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
42		fvco 6593	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
43	37, 41, 42	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
44	34, 43	eqtr2d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑁)‘𝑏))
45	44	fveq2d 6508	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
46	45	prodeq2dv 15143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
47	19, 46	eqtr2d 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)))
48		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)))
49		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)))
50		c0ex 10439	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
52		1ex 10441	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
54	32	fveq1d 6506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0))
55	50	tpid1 4583	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
56	55, 39	syl5eleqr 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
57		fvco 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
58	36, 56, 57	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
59	54, 58	eqtrd 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
60	55, 5	eleqtrri 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
62	26, 61	ffvelrnd 6683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
63	12, 62	ffvelrnd 6683	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
64	59, 63	eqeltrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) ∈ ℕ)
65	10, 64	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
67	32	fveq1d 6506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1))
68	52	tpid2 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
69	68, 39	syl5eleqr 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
70		fvco 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
71	36, 69, 70	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
72	67, 71	eqtrd 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
73	68, 5	eleqtrri 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
75	26, 74	ffvelrnd 6683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
76	12, 75	ffvelrnd 6683	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
77	72, 76	eqeltrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) ∈ ℕ)
78	10, 77	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
79	78	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
80		0ne1 11517	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
81	80	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
82		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))
83		2ex 11523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ V)
85	32	fveq1d 6506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2))
86	83	tpid3 4588	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
87	86, 39	syl5eleqr 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
88		fvco 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
89	36, 87, 88	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
90	85, 89	eqtrd 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
91	86, 5	eleqtrri 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
93	26, 92	ffvelrnd 6683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
94	12, 93	ffvelrnd 6683	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
95	90, 94	eqeltrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) ∈ ℕ)
96	10, 95	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
97	96	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
98		0ne2 11660	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
99	98	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
100		1ne2 11661	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
101	100	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
102	48, 49, 51, 53, 66, 79, 81, 82, 84, 97, 99, 101	prodtp 30313	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))))
103		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
104		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
105	12, 61	ffvelrnd 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
106	10, 105	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
108	12, 74	ffvelrnd 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
109	10, 108	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
110	109	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
111		2fveq3 6509	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
112	12, 92	ffvelrnd 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
113	10, 112	ffvelrnd 6683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
114	113	recnd 10474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
115	103, 104, 51, 53, 107, 110, 81, 111, 84, 114, 99, 101	prodtp 30313	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
116	47, 102, 115	3eqtr3d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
117	66, 79, 97	mulassd 10469	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))))
118	107, 110, 114	mulassd 10469	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
119	116, 117, 118	3eqtr3d 2824	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2969  Vcvv 3417  {ctp 4448   ↦ cmpt 5013  dom cdm 5411   ∘ ccom 5415  Fun wfun 6187  ⟶wf 6189  –1-1-onto→wf1o 6192  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  Fincfn 8312  ℝcr 10340  0cc0 10341  1c1 10342   · cmul 10346  ℕcn 11445  2c2 11501  3c3 11502  ..^cfzo 12855  ∏cprod 15125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-sup 8707  df-oi 8775  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-rp 12211  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-prod 15126

This theorem is referenced by:  hgt750lema  31608