Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemg 31067
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemg.f 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
hgt750lemg.t (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1 (𝜑𝑁𝑅)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemg (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6420 . . . . 5 (𝑎 = (𝑇𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
2 tpfi 8482 . . . . . 6 {0, 1, 2} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4 hgt750lemg.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5 fzo0to3tp 12785 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
6 f1oeq23 6353 . . . . . . 7 (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
75, 5, 6mp2an 675 . . . . . 6 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
84, 7sylib 209 . . . . 5 (𝜑𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9 eqidd 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇𝑏) = (𝑇𝑏))
10 hgt750lemg.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℕ⟶ℝ)
1110adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12 hgt750lemg.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
1312adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
1514, 5syl6eleqr 2907 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
1613, 15ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁𝑎) ∈ ℕ)
1711, 16ffvelrnd 6589 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℝ)
1817recnd 10360 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ ℂ)
191, 3, 8, 9, 18fprodf1o 14904 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))))
20 hgt750lemg.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇))
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑐𝑅 ↦ (𝑐𝑇)))
22 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
2322coeq1d 5496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 = 𝑁) → (𝑐𝑇) = (𝑁𝑇))
24 hgt750lemg.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑅)
25 f1of 6360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27 ovexd 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
28 fex2 7358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:(0..^3)⟶(0..^3) ∧ (0..^3) ∈ V ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
2926, 27, 27, 28syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ V)
30 coexg 7354 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑅𝑇 ∈ V) → (𝑁𝑇) ∈ V)
3124, 29, 30syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑇) ∈ V)
3221, 23, 24, 31fvmptd 6516 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3332adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹𝑁) = (𝑁𝑇))
3433fveq1d 6417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹𝑁)‘𝑏) = ((𝑁𝑇)‘𝑏))
35 f1ofun 6362 . . . . . . . . . 10 (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
364, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝑇)
3736adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
38 f1odm 6364 . . . . . . . . . . 11 (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
398, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
4039eleq2d 2882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
4140biimpar 465 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
42 fvco 6502 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑇𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4337, 41, 42syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇𝑏)))
4434, 43eqtr2d 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇𝑏)) = ((𝐹𝑁)‘𝑏))
4544fveq2d 6419 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4645prodeq2dv 14881 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)))
4719, 46eqtr2d 2852 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)))
48 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)))
49 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)))
50 c0ex 10326 . . . . 5 0 ∈ V
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
52 1ex 10328 . . . . 5 1 ∈ V
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ V)
5432fveq1d 6417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = ((𝑁𝑇)‘0))
5550tpid1 4505 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
5655, 39syl5eleqr 2903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
57 fvco 6502 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5836, 56, 57syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
5954, 58eqtrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
6055, 5eleqtrri 2895 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
6226, 61ffvelrnd 6589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
6312, 62ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
6459, 63eqeltrd 2896 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘0) ∈ ℕ)
6510, 64ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
6665recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
6732fveq1d 6417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = ((𝑁𝑇)‘1))
6852tpid2 4506 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
6968, 39syl5eleqr 2903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
70 fvco 6502 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7136, 69, 70syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7267, 71eqtrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
7368, 5eleqtrri 2895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
7526, 74ffvelrnd 6589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
7612, 75ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
7772, 76eqeltrd 2896 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘1) ∈ ℕ)
7810, 77ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
7978recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
80 0ne1 11379 . . . . 5 0 ≠ 1
8180a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 1)
82 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))
83 2ex 11383 . . . . 5 2 ∈ V
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ V)
8532fveq1d 6417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = ((𝑁𝑇)‘2))
8683tpid3 4508 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
8786, 39syl5eleqr 2903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
88 fvco 6502 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
8936, 87, 88syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9085, 89eqtrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
9186, 5eleqtrri 2895 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
9326, 92ffvelrnd 6589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
9412, 93ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
9590, 94eqeltrd 2896 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁)‘2) ∈ ℕ)
9610, 95ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
9796recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
98 0ne2 11513 . . . . 5 0 ≠ 2
9998a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≠ 2)
100 1ne2 11514 . . . . 5 1 ≠ 2
101100a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≠ 2)
10248, 49, 51, 53, 66, 79, 81, 82, 84, 97, 99, 101prodtp 29910 . . 3 (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))))
103 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
104 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
10512, 61ffvelrnd 6589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
10610, 105ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
107106recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
10812, 74ffvelrnd 6589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
10910, 108ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
110109recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
111 2fveq3 6420 . . . 4 (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
11212, 92ffvelrnd 6589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
11310, 112ffvelrnd 6589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
114113recnd 10360 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
115103, 104, 51, 53, 107, 110, 81, 111, 84, 114, 99, 101prodtp 29910 . . 3 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11647, 102, 1153eqtr3d 2859 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
11766, 79, 97mulassd 10355 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))))
118107, 110, 114mulassd 10355 . 2 (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
119116, 117, 1183eqtr3d 2859 1 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  {ctp 4385  cmpt 4934  dom cdm 5322  ccom 5326  Fun wfun 6102  wf 6104  1-1-ontowf1o 6107  cfv 6108  (class class class)co 6881  Fincfn 8199  cr 10227  0cc0 10228  1c1 10229   · cmul 10233  cn 11312  2c2 11363  3c3 11364  ..^cfzo 12696  cprod 14863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-oi 8661  df-card 9055  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-rp 12054  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-seq 13032  df-exp 13091  df-hash 13345  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-prod 14864
This theorem is referenced by:  hgt750lema  31070
  Copyright terms: Public domain W3C validator