Theorem hgt750lemg 35218

Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemg.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
hgt750lemg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
hgt750lemg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
hgt750lemg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemg	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑇‘𝑏) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
2		tpfi 9295	. . . . . 6 ⊢ {0, 1, 2} ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ∈ Fin)
4		hgt750lemg.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3))
5		fzo0to3tp 13856	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
6		f1oeq23 6803	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) → (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2}))
7	5, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
8	4, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2})
9		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
10		hgt750lemg.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
12		hgt750lemg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑁:(0..^3)⟶ℕ)
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ {0, 1, 2})
15	14, 5	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑎 ∈ (0..^3))
16	13, 15	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘𝑎) ∈ ℕ)
17	11, 16	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) ∈ ℂ)
19	1, 3, 8, 9, 18	fprodf1o 16081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))))
20		hgt750lemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
22		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → 𝑐 = 𝑁)
23	22	coeq1d 5835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝑁) → (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
24		hgt750lemg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑅)
25		f1of 6812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
26	4, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^3)⟶(0..^3))
27		ovexd 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ V)
28	26, 27	fexd 7221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
29		coexg 7924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
30	24, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
31	21, 23, 24, 30	fvmptd 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐹‘𝑁) = (𝑁 ∘ 𝑇))
33	32	fveq1d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝐹‘𝑁)‘𝑏) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏))
34		f1ofun 6814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇:(0..^3)–1-1-onto→(0..^3) → Fun 𝑇)
35	4, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → Fun 𝑇)
37		f1odm 6816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-onto→{0, 1, 2} → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
38	8, 37	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = {0, 1, 2})
39	38	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
40	39	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → 𝑏 ∈ dom 𝑇)
41		fvco 6971	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
42	36, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘𝑏) = (𝑁‘(𝑇‘𝑏)))
43	33, 42	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑁‘(𝑇‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑁)‘𝑏))
44	43	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) → (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
45	44	prodeq2dv 16058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘(𝑇‘𝑏))) = ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)))
46	19, 45	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)))
47		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)))
48		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)))
49		c0ex 11272	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
51		1ex 11275	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
53	31	fveq1d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0))
54	49	tpid1 4728	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
55	54, 38	eleqtrrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ dom 𝑇)
56		fvco 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
57	35, 55, 56	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
58	53, 57	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) = (𝑁‘(𝑇‘0)))
59	54, 5	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^3))
61	26, 60	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘0) ∈ (0..^3))
62	12, 61	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘0)) ∈ ℕ)
63	58, 62	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘0) ∈ ℕ)
64	10, 63	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) ∈ ℂ)
66	31	fveq1d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1))
67		1eltp012 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
68	67, 38	eleqtrrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
69		fvco 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
70	35, 68, 69	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
71	66, 70	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) = (𝑁‘(𝑇‘1)))
72	67, 5	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^3))
74	26, 73	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘1) ∈ (0..^3))
75	12, 74	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘1)) ∈ ℕ)
76	71, 75	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘1) ∈ ℕ)
77	10, 76	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) ∈ ℂ)
79		0ne1 12384	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
81		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))
82		2ex 12390	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
83	82	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ V)
84	31	fveq1d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2))
85	82	tpid3 4733	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
86	85, 38	eleqtrrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ dom 𝑇)
87		fvco 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
88	35, 86, 87	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑇)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
89	84, 88	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) = (𝑁‘(𝑇‘2)))
90	85, 5	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (0..^3))
92	26, 91	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘2) ∈ (0..^3))
93	12, 92	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇‘2)) ∈ ℕ)
94	89, 93	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)‘2) ∈ ℕ)
95	10, 94	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℝ)
96	95	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)) ∈ ℂ)
97		0ne2 12522	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 2
98	97	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 2)
99		1ne2 12523	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
101	47, 48, 50, 52, 65, 78, 80, 81, 83, 96, 98, 100	prodtp 33352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑏 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘𝑏)) = (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))))
102		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘0)))
103		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘1)))
104	12, 60	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) ∈ ℕ)
105	10, 104	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘0)) ∈ ℂ)
107	12, 73	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘1) ∈ ℕ)
108	10, 107	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘1)) ∈ ℂ)
110		2fveq3 6878	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (𝐿‘(𝑁‘2)))
111	12, 91	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘2) ∈ ℕ)
112	10, 111	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℝ)
113	112	recnd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁‘2)) ∈ ℂ)
114	102, 103, 50, 52, 106, 109, 80, 110, 83, 113, 98, 100	prodtp 33352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ {0, 1, 2} (𝐿‘(𝑁‘𝑎)) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
115	46, 101, 114	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))))
116	65, 78, 96	mulassd 11304	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1))) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2))) = ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))))
117	106, 109, 113	mulassd 11304	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘(𝑁‘0)) · (𝐿‘(𝑁‘1))) · (𝐿‘(𝑁‘2))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))
118	115, 116, 117	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘0)) · ((𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘1)) · (𝐿‘((𝐹‘𝑁)‘2)))) = ((𝐿‘(𝑁‘0)) · ((𝐿‘(𝑁‘1)) · (𝐿‘(𝑁‘2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {ctp 4587   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5647   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177  ℕcn 12305  2c2 12367  3c3 12368  ..^cfzo 13757  ∏cprod 16040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-prod 16041

This theorem is used by:  hgt750lema  35221