Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemg 33964
Description: Lemma for the statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. Applying a permutation 𝑇 to the three factors of a product does not change the result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemg.f 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
hgt750lemg.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3))
hgt750lemg.n (πœ‘ β†’ 𝑁:(0..^3)βŸΆβ„•)
hgt750lemg.l (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
hgt750lemg.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemg (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)))) = ((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜(π‘β€˜1)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2)))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝑇,𝑐   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemg
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6895 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘‡β€˜π‘) β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (πΏβ€˜(π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))))
2 tpfi 9325 . . . . . 6 {0, 1, 2} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {0, 1, 2} ∈ Fin)
4 hgt750lemg.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3))
5 fzo0to3tp 13722 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
6 f1oeq23 6823 . . . . . . 7 (((0..^3) = {0, 1, 2} ∧ (0..^3) = {0, 1, 2}) β†’ (𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-ontoβ†’{0, 1, 2}))
75, 5, 6mp2an 688 . . . . . 6 (𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3) ↔ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-ontoβ†’{0, 1, 2})
84, 7sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇:{0, 1, 2}–1-1-ontoβ†’{0, 1, 2})
9 eqidd 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘))
10 hgt750lemg.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
12 hgt750lemg.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁:(0..^3)βŸΆβ„•)
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ 𝑁:(0..^3)βŸΆβ„•)
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ π‘Ž ∈ {0, 1, 2})
1514, 5eleqtrrdi 2842 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
1613, 15ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) ∈ β„•)
1711, 16ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) ∈ ℝ)
1817recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ {0, 1, 2}) β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
191, 3, 8, 9, 18fprodf1o 15894 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = βˆπ‘ ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜(π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))))
20 hgt750lemg.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇))
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑅 ↦ (𝑐 ∘ 𝑇)))
22 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 𝑁) β†’ 𝑐 = 𝑁)
2322coeq1d 5860 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 𝑁) β†’ (𝑐 ∘ 𝑇) = (𝑁 ∘ 𝑇))
24 hgt750lemg.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑅)
25 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3) β†’ 𝑇:(0..^3)⟢(0..^3))
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^3)⟢(0..^3))
27 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0..^3) ∈ V)
2826, 27fexd 7230 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
29 coexg 7922 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ 𝑅 ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
3024, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ 𝑇) ∈ V)
3121, 23, 24, 30fvmptd 7004 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑁 ∘ 𝑇))
3231adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑁 ∘ 𝑇))
3332fveq1d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘) = ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜π‘))
34 f1ofun 6834 . . . . . . . . . 10 (𝑇:(0..^3)–1-1-ontoβ†’(0..^3) β†’ Fun 𝑇)
354, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
3635adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ Fun 𝑇)
37 f1odm 6836 . . . . . . . . . . 11 (𝑇:{0, 1, 2}–1-1-ontoβ†’{0, 1, 2} β†’ dom 𝑇 = {0, 1, 2})
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝑇 = {0, 1, 2})
3938eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ dom 𝑇 ↔ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}))
4039biimpar 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝑇)
41 fvco 6988 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑇) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)))
4236, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜π‘) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)))
4333, 42eqtr2d 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘))
4443fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {0, 1, 2}) β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))) = (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)))
4544prodeq2dv 15871 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘ ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜(π‘β€˜(π‘‡β€˜π‘))) = βˆπ‘ ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)))
4619, 45eqtr2d 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘ ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)) = βˆπ‘Ž ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
47 2fveq3 6895 . . . 4 (𝑏 = 0 β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)) = (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)))
48 2fveq3 6895 . . . 4 (𝑏 = 1 β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)) = (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)))
49 c0ex 11212 . . . . 5 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
51 1ex 11214 . . . . 5 1 ∈ V
5251a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
5331fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜0) = ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜0))
5449tpid1 4771 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
5554, 38eleqtrrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ dom 𝑇)
56 fvco 6988 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 0 ∈ dom 𝑇) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜0) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜0)))
5735, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜0) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜0)))
5853, 57eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜0) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜0)))
5954, 5eleqtrri 2830 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^3))
6126, 60ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜0) ∈ (0..^3))
6212, 61ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜0)) ∈ β„•)
6358, 62eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜0) ∈ β„•)
6410, 63ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) ∈ ℝ)
6564recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) ∈ β„‚)
6631fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜1) = ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜1))
6751tpid2 4773 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1, 2}
6867, 38eleqtrrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ dom 𝑇)
69 fvco 6988 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 1 ∈ dom 𝑇) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜1) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜1)))
7035, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜1) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜1)))
7166, 70eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜1) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜1)))
7267, 5eleqtrri 2830 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (0..^3))
7426, 73ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜1) ∈ (0..^3))
7512, 74ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜1)) ∈ β„•)
7671, 75eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜1) ∈ β„•)
7710, 76ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)) ∈ ℝ)
7877recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)) ∈ β„‚)
79 0ne1 12287 . . . . 5 0 β‰  1
8079a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 β‰  1)
81 2fveq3 6895 . . . 4 (𝑏 = 2 β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)) = (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)))
82 2ex 12293 . . . . 5 2 ∈ V
8382a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ V)
8431fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜2) = ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜2))
8582tpid3 4776 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {0, 1, 2}
8685, 38eleqtrrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ dom 𝑇)
87 fvco 6988 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇 ∧ 2 ∈ dom 𝑇) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜2) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜2)))
8835, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∘ 𝑇)β€˜2) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜2)))
8984, 88eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜2) = (π‘β€˜(π‘‡β€˜2)))
9085, 5eleqtrri 2830 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (0..^3))
9226, 91ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜2) ∈ (0..^3))
9312, 92ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘‡β€˜2)) ∈ β„•)
9489, 93eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜2) ∈ β„•)
9510, 94ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)) ∈ ℝ)
9695recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)) ∈ β„‚)
97 0ne2 12423 . . . . 5 0 β‰  2
9897a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 β‰  2)
99 1ne2 12424 . . . . 5 1 β‰  2
10099a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
10147, 48, 50, 52, 65, 78, 80, 81, 83, 96, 98, 100prodtp 32300 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘ ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘)) = (((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1))) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2))))
102 2fveq3 6895 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (πΏβ€˜(π‘β€˜0)))
103 2fveq3 6895 . . . 4 (π‘Ž = 1 β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (πΏβ€˜(π‘β€˜1)))
10412, 60ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„•)
10510, 104ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜0)) ∈ ℝ)
106105recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜0)) ∈ β„‚)
10712, 73ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„•)
10810, 107ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜1)) ∈ ℝ)
109108recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜1)) ∈ β„‚)
110 2fveq3 6895 . . . 4 (π‘Ž = 2 β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (πΏβ€˜(π‘β€˜2)))
11112, 91ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„•)
11210, 111ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜2)) ∈ ℝ)
113112recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(π‘β€˜2)) ∈ β„‚)
114102, 103, 50, 52, 106, 109, 80, 110, 83, 113, 98, 100prodtp 32300 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ {0, 1, 2} (πΏβ€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = (((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜1))) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2))))
11546, 101, 1143eqtr3d 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1))) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2))) = (((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜1))) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2))))
11665, 78, 96mulassd 11241 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1))) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2))) = ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)))))
117106, 109, 113mulassd 11241 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜1))) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2))) = ((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜(π‘β€˜1)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2)))))
118115, 116, 1173eqtr3d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜1)) Β· (πΏβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜2)))) = ((πΏβ€˜(π‘β€˜0)) Β· ((πΏβ€˜(π‘β€˜1)) Β· (πΏβ€˜(π‘β€˜2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  {ctp 4631   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  ..^cfzo 13631  βˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by:  hgt750lema  33967
  Copyright terms: Public domain W3C validator