MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdirlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdirlem 18914
Description: Lemma for mulgdir 18915. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21grpmndd 18767 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 simprl 770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 simprr 772 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5 simpl23 1254 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 mulgnndir.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgnndir.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 mulgnndir.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulgnn0dir 18913 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1373 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1110anassrs 469 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
12 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
13 simp22 1208 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 simpl23 1254 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
176, 7, 16mulgneg 18901 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1812, 14, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1918oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
206, 7mulgcl 18900 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2112, 14, 15, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
236, 8, 22, 16grplinv 18807 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2412, 21, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2519, 24eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2625oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)))
27 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
28 nn0z 12531 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
306, 7mulgcl 18900 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3112, 29, 15, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
326, 8, 22grprid 18788 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3312, 31, 32syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3426, 33eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
35 nn0z 12531 . . . . . . . . 9 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3635ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
376, 7mulgcl 18900 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3812, 36, 15, 37syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8grpass 18764 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4012, 31, 38, 21, 39syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4112grpmndd 18767 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
42 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
436, 7, 8mulgnn0dir 18913 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
4441, 27, 42, 15, 43syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp21 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4645zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4713zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4846, 47addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5047adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5149, 50negsubd 11525 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘))
5246adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5352, 50pncand 11520 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘€)
5451, 53eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ๐‘€)
5554oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5644, 55eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5756oveq1d 7377 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5840, 57eqtr3d 2779 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5934, 58eqtr3d 2779 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6059anassrs 469 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
61 elznn0 12521 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)))
6261simprbi 498 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6313, 62syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6463adantr 482 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6511, 60, 64mpjaodan 958 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
66 simpl1 1192 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
6745adantr 482 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
68 simpl23 1254 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
696, 7mulgcl 18900 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7066, 67, 68, 69syl3anc 1372 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7167znegcld 12616 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
726, 7mulgcl 18900 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7366, 71, 68, 72syl3anc 1372 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
74283ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7574adantr 482 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7666, 75, 68, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
776, 8grpass 18764 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
7866, 70, 73, 76, 77syl13anc 1373 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
796, 7, 16mulgneg 18901 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8066, 67, 68, 79syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8180oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
826, 8, 22, 16grprinv 18808 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8366, 70, 82syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8481, 83eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
8584oveq1d 7377 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
866, 8, 22grplid 18787 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8766, 76, 86syl2anc 585 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8885, 87eqtrd 2777 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8966grpmndd 18767 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
90 simpr 486 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
91 simpl3 1194 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
926, 7, 8mulgnn0dir 18913 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9389, 90, 91, 68, 92syl13anc 1373 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9446adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9594negcld 11506 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9648adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9795, 96addcomd 11364 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€))
9896, 94negsubd 11525 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€))
9947adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10094, 99pncan2d 11521 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€) = ๐‘)
10197, 98, 1003eqtrd 2781 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ๐‘)
102101oveq1d 7377 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
10393, 102eqtr3d 2779 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
104103oveq2d 7378 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
10578, 88, 1043eqtr3d 2785 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
106 elznn0 12521 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
107106simprbi 498 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10845, 107syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10965, 105, 108mpjaodan 958 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057   + caddc 11061   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  .gcmg 18879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880
This theorem is referenced by:  mulgdir  18915
  Copyright terms: Public domain W3C validator