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Theorem mulgdirlem 18554
Description: Lemma for mulgdir 18555. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1193 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
21grpmndd 18409 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simprl 771 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simprr 773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 simpl23 1255 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
6 mulgnndir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgnndir.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 mulgnndir.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
96, 7, 8mulgnn0dir 18553 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1374 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
1110anassrs 471 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12 simpl1 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp22 1209 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 simpl23 1255 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝐵)
16 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
176, 7, 16mulgneg 18542 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
1812, 14, 15, 17syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
1918oveq1d 7249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)))
206, 7mulgcl 18541 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2112, 14, 15, 20syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
236, 8, 22, 16grplinv 18448 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
2412, 21, 23syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
2519, 24eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
2625oveq2d 7250 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g𝐺)))
27 simpl3 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
28 nn0z 12229 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
306, 7mulgcl 18541 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
3112, 29, 15, 30syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
326, 8, 22grprid 18430 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
3312, 31, 32syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
3426, 33eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
35 nn0z 12229 . . . . . . . . 9 (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
3635ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
376, 7mulgcl 18541 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3812, 36, 15, 37syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
396, 8grpass 18406 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
4012, 31, 38, 21, 39syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
4112grpmndd 18409 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
436, 7, 8mulgnn0dir 18553 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
4441, 27, 42, 15, 43syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
45 simp21 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4645zcnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
4713zcnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4846, 47addcld 10881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
4948adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
5047adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
5149, 50negsubd 11224 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
5246adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
5352, 50pncand 11219 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
5451, 53eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = 𝑀)
5554oveq1d 7249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
5644, 55eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
5756oveq1d 7249 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5840, 57eqtr3d 2781 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5934, 58eqtr3d 2781 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6059anassrs 471 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
61 elznn0 12220 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6261simprbi 500 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
6313, 62syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
6463adantr 484 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
6511, 60, 64mpjaodan 959 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
66 simpl1 1193 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
6745adantr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
68 simpl23 1255 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
696, 7mulgcl 18541 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7066, 67, 68, 69syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7167znegcld 12313 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
726, 7mulgcl 18541 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7366, 71, 68, 72syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
74283ad2ant3 1137 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
7574adantr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
7666, 75, 68, 30syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
776, 8grpass 18406 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
7866, 70, 73, 76, 77syl13anc 1374 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
796, 7, 16mulgneg 18542 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
8066, 67, 68, 79syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
8180oveq2d 7250 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
826, 8, 22, 16grprinv 18449 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g𝐺))
8366, 70, 82syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g𝐺))
8481, 83eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (0g𝐺))
8584oveq1d 7249 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((0g𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
866, 8, 22grplid 18429 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
8766, 76, 86syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((0g𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
8885, 87eqtrd 2779 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
8966grpmndd 18409 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
90 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
91 simpl3 1195 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
926, 7, 8mulgnn0dir 18553 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
9389, 90, 91, 68, 92syl13anc 1374 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
9446adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
9594negcld 11205 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
9648adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
9795, 96addcomd 11063 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀))
9896, 94negsubd 11224 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
9947adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10094, 99pncan2d 11220 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
10197, 98, 1003eqtrd 2783 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = 𝑁)
102101oveq1d 7249 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
10393, 102eqtr3d 2781 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
104103oveq2d 7250 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
10578, 88, 1043eqtr3d 2787 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
106 elznn0 12220 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
107106simprbi 500 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
10845, 107syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
10965, 105, 108mpjaodan 959 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  cfv 6400  (class class class)co 7234  cc 10756  cr 10757   + caddc 10761  cmin 11091  -cneg 11092  0cn0 12119  cz 12205  Basecbs 16792  +gcplusg 16834  0gc0g 16976  Mndcmnd 18205  Grpcgrp 18397  invgcminusg 18398  .gcmg 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-nn 11860  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-fz 13125  df-seq 13606  df-0g 16978  df-mgm 18146  df-sgrp 18195  df-mnd 18206  df-grp 18400  df-minusg 18401  df-mulg 18521
This theorem is referenced by:  mulgdir  18555
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