MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdirlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdirlem 19032
Description: Lemma for mulgdir 19033. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21grpmndd 18876 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 simprl 768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 simprr 770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5 simpl23 1250 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 mulgnndir.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgnndir.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 mulgnndir.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulgnn0dir 19031 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1369 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1110anassrs 467 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
12 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
13 simp22 1204 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 simpl23 1250 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
176, 7, 16mulgneg 19019 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1812, 14, 15, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1918oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
206, 7mulgcl 19018 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2112, 14, 15, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
22 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
236, 8, 22, 16grplinv 18919 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2412, 21, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2519, 24eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2625oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)))
27 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
28 nn0z 12587 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
306, 7mulgcl 19018 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3112, 29, 15, 30syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
326, 8, 22grprid 18898 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3312, 31, 32syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3426, 33eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
35 nn0z 12587 . . . . . . . . 9 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3635ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
376, 7mulgcl 19018 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3812, 36, 15, 37syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8grpass 18872 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4012, 31, 38, 21, 39syl13anc 1369 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4112grpmndd 18876 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
42 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
436, 7, 8mulgnn0dir 19031 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
4441, 27, 42, 15, 43syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4645zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4713zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4846, 47addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5047adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5149, 50negsubd 11581 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘))
5246adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5352, 50pncand 11576 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘€)
5451, 53eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ๐‘€)
5554oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5644, 55eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5756oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5840, 57eqtr3d 2768 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5934, 58eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6059anassrs 467 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
61 elznn0 12577 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)))
6261simprbi 496 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6313, 62syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6463adantr 480 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6511, 60, 64mpjaodan 955 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
66 simpl1 1188 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
6745adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
68 simpl23 1250 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
696, 7mulgcl 19018 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7066, 67, 68, 69syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7167znegcld 12672 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
726, 7mulgcl 19018 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7366, 71, 68, 72syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
74283ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7574adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7666, 75, 68, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
776, 8grpass 18872 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
7866, 70, 73, 76, 77syl13anc 1369 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
796, 7, 16mulgneg 19019 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8066, 67, 68, 79syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8180oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
826, 8, 22, 16grprinv 18920 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8366, 70, 82syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8481, 83eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
8584oveq1d 7420 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
866, 8, 22grplid 18897 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8766, 76, 86syl2anc 583 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8885, 87eqtrd 2766 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8966grpmndd 18876 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
90 simpr 484 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
91 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
926, 7, 8mulgnn0dir 19031 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9389, 90, 91, 68, 92syl13anc 1369 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9446adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9594negcld 11562 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9648adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9795, 96addcomd 11420 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€))
9896, 94negsubd 11581 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€))
9947adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10094, 99pncan2d 11577 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€) = ๐‘)
10197, 98, 1003eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ๐‘)
102101oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
10393, 102eqtr3d 2768 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
104103oveq2d 7421 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
10578, 88, 1043eqtr3d 2774 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
106 elznn0 12577 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
107106simprbi 496 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10845, 107syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10965, 105, 108mpjaodan 955 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   + caddc 11115   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgdir  19033
  Copyright terms: Public domain W3C validator