MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdirlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdirlem 19062
Description: Lemma for mulgdir 19063. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21grpmndd 18905 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 simprl 769 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 simprr 771 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5 simpl23 1250 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 mulgnndir.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgnndir.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 mulgnndir.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulgnn0dir 19061 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1369 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1110anassrs 466 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
12 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
13 simp22 1204 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1413adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 simpl23 1250 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
176, 7, 16mulgneg 19049 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1812, 14, 15, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1918oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
206, 7mulgcl 19048 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2112, 14, 15, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
22 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
236, 8, 22, 16grplinv 18948 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2412, 21, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2519, 24eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
2625oveq2d 7431 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)))
27 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
28 nn0z 12611 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
306, 7mulgcl 19048 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3112, 29, 15, 30syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
326, 8, 22grprid 18927 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3312, 31, 32syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (0gโ€˜๐บ)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
3426, 33eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
35 nn0z 12611 . . . . . . . . 9 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3635ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
376, 7mulgcl 19048 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3812, 36, 15, 37syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8grpass 18901 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4012, 31, 38, 21, 39syl13anc 1369 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4112grpmndd 18905 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
42 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
436, 7, 8mulgnn0dir 19061 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
4441, 27, 42, 15, 43syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4645zcnd 12695 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4713zcnd 12695 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4846, 47addcld 11261 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5047adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5149, 50negsubd 11605 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘))
5246adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5352, 50pncand 11600 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ๐‘€)
5451, 53eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) = ๐‘€)
5554oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5644, 55eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
5756oveq1d 7430 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + (-๐‘ ยท ๐‘‹)) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5840, 57eqtr3d 2767 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) + ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5934, 58eqtr3d 2767 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6059anassrs 466 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
61 elznn0 12601 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)))
6261simprbi 495 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6313, 62syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6463adantr 479 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0))
6511, 60, 64mpjaodan 956 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
66 simpl1 1188 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
6745adantr 479 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
68 simpl23 1250 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
696, 7mulgcl 19048 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7066, 67, 68, 69syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7167znegcld 12696 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
726, 7mulgcl 19048 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
7366, 71, 68, 72syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
74283ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7574adantr 479 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7666, 75, 68, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
776, 8grpass 18901 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
7866, 70, 73, 76, 77syl13anc 1369 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))))
796, 7, 16mulgneg 19049 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8066, 67, 68, 79syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
8180oveq2d 7431 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
826, 8, 22, 16grprinv 18949 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8366, 70, 82syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))) = (0gโ€˜๐บ))
8481, 83eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐บ))
8584oveq1d 7430 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
866, 8, 22grplid 18926 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8766, 76, 86syl2anc 582 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8885, 87eqtrd 2765 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
8966grpmndd 18905 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
90 simpr 483 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
91 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
926, 7, 8mulgnn0dir 19061 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9389, 90, 91, 68, 92syl13anc 1369 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
9446adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9594negcld 11586 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
9648adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9795, 96addcomd 11444 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€))
9896, 94negsubd 11605 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) + -๐‘€) = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€))
9947adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10094, 99pncan2d 11601 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘€) = ๐‘)
10197, 98, 1003eqtrd 2769 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) = ๐‘)
102101oveq1d 7430 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ + (๐‘€ + ๐‘)) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
10393, 102eqtr3d 2767 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
104103oveq2d 7431 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
10578, 88, 1043eqtr3d 2773 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
106 elznn0 12601 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
107106simprbi 495 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10845, 107syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
10965, 105, 108mpjaodan 956 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135   + caddc 11139   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  0gc0g 17418  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  .gcmg 19025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026
This theorem is referenced by:  mulgdir  19063
  Copyright terms: Public domain W3C validator