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Theorem mulgdirlem 18250

Description: Lemma for mulgdir 18251. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (._g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+_g‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgdirlem	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

**Proof of Theorem mulgdirlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpmnd 18102	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝐺 ∈ Mnd)
4		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
5		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		simpl23 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgnndir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		mulgnndir.t	. . . . . 6 ⊢ · = (._g‘𝐺)
9		mulgnndir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+_g‘𝐺)
10	7, 8, 9	mulgnn0dir 18249	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12	11	anassrs 471	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
13		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simp22 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		simpl23 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (inv_g‘𝐺) = (inv_g‘𝐺)
18	7, 8, 17	mulgneg 18238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((inv_g‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
19	13, 15, 16, 18	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((inv_g‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (((inv_g‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)))
21	7, 8	mulgcl 18237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	13, 15, 16, 21	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0_g‘𝐺) = (0_g‘𝐺)
24	7, 9, 23, 17	grplinv 18144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((inv_g‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0_g‘𝐺))
25	13, 22, 24	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((inv_g‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0_g‘𝐺))
26	20, 25	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (0_g‘𝐺))
27	26	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0_g‘𝐺)))
28		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
29		nn0z 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
31	7, 8	mulgcl 18237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
32	13, 30, 16, 31	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
33	7, 9, 23	grprid 18126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0_g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
34	13, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0_g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
35	27, 34	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
36		nn0z 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ₀ → -𝑁 ∈ ℤ)
37	36	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → -𝑁 ∈ ℤ)
38	7, 8	mulgcl 18237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	13, 37, 16, 38	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	7, 9	grpass 18104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
41	13, 32, 39, 22, 40	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
42	13, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝐺 ∈ Mnd)
43		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → -𝑁 ∈ ℕ₀)
44	7, 8, 9	mulgnn0dir 18249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
45	42, 28, 43, 16, 44	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
46		simp21 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
48	14	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
49	47, 48	addcld 10649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
51	48	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
52	50, 51	negsubd 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
53	47	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
54	53, 51	pncand 10987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
55	52, 54	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = 𝑀)
56	55	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
57	45, 56	eqtr3d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
58	57	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
59	41, 58	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
60	35, 59	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
61	60	anassrs 471	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
62		elznn0 11984	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑁 ∈ ℕ₀)))
63	62	simprbi 500	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑁 ∈ ℕ₀))
64	14, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑁 ∈ ℕ₀))
65	64	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑁 ∈ ℕ₀))
66	12, 61, 65	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
67		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝐺 ∈ Grp)
68	46	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		simpl23 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
70	7, 8	mulgcl 18237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
71	67, 68, 69, 70	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72	68	znegcld 12077	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℤ)
73	7, 8	mulgcl 18237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
74	67, 72, 69, 73	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
75	29	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
76	75	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
77	67, 76, 69, 31	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
78	7, 9	grpass 18104	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
79	67, 71, 74, 77, 78	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
80	7, 8, 17	mulgneg 18238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((inv_g‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
81	67, 68, 69, 80	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (-𝑀 · 𝑋) = ((inv_g‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
82	81	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((inv_g‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
83	7, 9, 23, 17	grprinv 18145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + ((inv_g‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0_g‘𝐺))
84	67, 71, 83	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 · 𝑋) + ((inv_g‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0_g‘𝐺))
85	82, 84	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (0_g‘𝐺))
86	85	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((0_g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
87	7, 9, 23	grplid 18125	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0_g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
88	67, 77, 87	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((0_g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
89	86, 88	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
90	67, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝐺 ∈ Mnd)
91		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
92		simpl3 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
93	7, 8, 9	mulgnn0dir 18249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
94	90, 91, 92, 69, 93	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
95	47	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
96	95	negcld 10973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℂ)
97	49	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
98	96, 97	addcomd 10831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀))
99	97, 95	negsubd 10992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
100	48	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	95, 100	pncan2d 10988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
102	98, 99, 101	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = 𝑁)
103	102	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
104	94, 103	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
105	104	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
106	79, 89, 105	3eqtr3d 2841	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
107		elznn0 11984	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑀 ∈ ℕ₀)))
108	107	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑀 ∈ ℕ₀))
109	46, 108	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑀 ∈ ℕ₀))
110	66, 106, 109	mpjaodan 956	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 + caddc 10529 − cmin 10859 -cneg 10860 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 Basecbs 16475 +_gcplusg 16557 0_gc0g 16705 Mndcmnd 17903 Grpcgrp 18095 inv_gcminusg 18096 ._gcmg 18216

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-nn 11626 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-fz 12886 df-seq 13365 df-0g 16707 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-grp 18098 df-minusg 18099 df-mulg 18217

This theorem is referenced by: mulgdir 18251

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