Theorem mulgdirlem 18979

Description: Lemma for mulgdir 18980. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdirlem	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdirlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 18828	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpl23 1253	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnndir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnndir.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		mulgnndir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulgnn0dir 18978	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
10	2, 3, 4, 5, 9	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
11	10	anassrs 468	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12		simpl1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp22 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		simpl23 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	6, 7, 16	mulgneg 18966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
18	12, 14, 15, 17	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
19	18	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)))
20	6, 7	mulgcl 18965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21	12, 14, 15, 20	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	6, 8, 22, 16	grplinv 18870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
24	12, 21, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	19, 24	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)))
27		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
28		nn0z 12579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
30	6, 7	mulgcl 18965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	12, 29, 15, 30	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
32	6, 8, 22	grprid 18849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
33	12, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
34	26, 33	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
35		nn0z 12579	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
36	35	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
37	6, 7	mulgcl 18965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	12, 36, 15, 37	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8	grpass 18824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
40	12, 31, 38, 21, 39	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
41	12	grpmndd 18828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
43	6, 7, 8	mulgnn0dir 18978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
44	41, 27, 42, 15, 43	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
45		simp21 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	46, 47	addcld 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
50	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	49, 50	negsubd 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
52	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
53	52, 50	pncand 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
54	51, 53	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = 𝑀)
55	54	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
56	44, 55	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
57	56	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
58	40, 57	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
59	34, 58	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
60	59	anassrs 468	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
61		elznn0 12569	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
62	61	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
63	13, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
64	63	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
65	11, 60, 64	mpjaodan 957	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
66		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
67	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
68		simpl23 1253	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
69	6, 7	mulgcl 18965	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
71	67	znegcld 12664	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
72	6, 7	mulgcl 18965	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
73	66, 71, 68, 72	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
74	28	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
75	74	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
76	66, 75, 68, 30	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
77	6, 8	grpass 18824	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
78	66, 70, 73, 76, 77	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
79	6, 7, 16	mulgneg 18966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
80	66, 67, 68, 79	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
81	80	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
82	6, 8, 22, 16	grprinv 18871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
83	66, 70, 82	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
84	81, 83	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
85	84	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
86	6, 8, 22	grplid 18848	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
87	66, 76, 86	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
88	85, 87	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
89	66	grpmndd 18828	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
90		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
91		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
92	6, 7, 8	mulgnn0dir 18978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
93	89, 90, 91, 68, 92	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
94	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
95	94	negcld 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
96	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
97	95, 96	addcomd 11412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀))
98	96, 94	negsubd 11573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
99	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
100	94, 99	pncan2d 11569	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
101	97, 98, 100	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = 𝑁)
102	101	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
103	93, 102	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
104	103	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
105	78, 88, 104	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
106		elznn0 12569	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
107	106	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
108	45, 107	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
109	65, 105, 108	mpjaodan 957	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  ._gcmg 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945

This theorem is referenced by:  mulgdir  18980