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 Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t · = (.g𝐺)
mulgaddcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
31oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
42, 3eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
65oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
75oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
86, 7eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
109oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
119oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
1413oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
1513oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
1614, 15eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
1817oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
1917oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
2018, 19eqeq12d 2838 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21 mulgaddcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
22 mulgaddcom.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
23 eqid 2822 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2421, 22, 23grplid 18124 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25 mulgaddcom.t . . . . . . . . 9 · = (.g𝐺)
2621, 23, 25mulg0 18222 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827oveq1d 7155 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
2927oveq2d 7156 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g𝐺)))
3021, 22, 23grprid 18125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0g𝐺)) = 𝑋)
3129, 30eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
3224, 28, 313eqtr4d 2867 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33 nn0z 11993 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
34 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
3621, 25mulgcl 18236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37363com23 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3821, 22grpass 18103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
3934, 35, 37, 35, 38syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
4033, 39syl3an3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
4140adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42 grpmnd 18101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
43423ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
44 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
45 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
4621, 25, 22mulgnn0p1 18230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
4847eqeq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
4948biimpar 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
5049oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
5147oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
5251adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
5341, 50, 523eqtr4d 2867 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
5453ex 416 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
55543expia 1118 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
56 nnz 11992 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
5721, 25, 22mulgaddcomlem 18241 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
58573exp1 1349 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
5958com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
6059imp 410 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
6156, 60syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
624, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61zindd 12071 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
6362ex 416 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
6463com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
65643imp 1108 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  -cneg 10860  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18094  .gcmg 18215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mulg 18216 This theorem is referenced by:  mulginvcom  18243
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