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Theorem mulgaddcom 19117
Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t · = (.g𝐺)
mulgaddcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
31oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
42, 3eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
65oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
75oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
86, 7eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
109oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
119oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
1413oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
1513oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
1614, 15eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
1817oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
1917oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
2018, 19eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21 mulgaddcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
22 mulgaddcom.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2421, 22, 23grplid 18986 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25 mulgaddcom.t . . . . . . . . 9 · = (.g𝐺)
2621, 23, 25mulg0 19093 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827oveq1d 7447 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
2927oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g𝐺)))
3021, 22, 23grprid 18987 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0g𝐺)) = 𝑋)
3129, 30eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
3224, 28, 313eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33 nn0z 12640 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
34 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
3621, 25mulgcl 19110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37363com23 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3821, 22grpass 18961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
3934, 35, 37, 35, 38syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
4033, 39syl3an3 1165 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
4140adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42 grpmnd 18959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
43423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
44 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
45 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
4621, 25, 22mulgnn0p1 19104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
4847eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
4948biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
5049oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
5147oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
5341, 50, 523eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
5453ex 412 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
55543expia 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
56 nnz 12636 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
5721, 25, 22mulgaddcomlem 19116 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
58573exp1 1352 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
5958com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
6059imp 406 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
6156, 60syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
624, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61zindd 12721 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
6362ex 412 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
6463com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
65643imp 1110 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  -cneg 11494  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  .gcmg 19086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087
This theorem is referenced by:  mulginvcom  19118
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