MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp 19217
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then 𝐻 = 𝐺 / 𝑌 is a group, called the quotient of 𝐺 by 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusgrp (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem qusgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3 eqidd 2736 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4 eqidd 2736 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
5 nsgsubg 19189 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2735 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
86, 7eqger 19209 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
95, 8syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
10 subgrcl 19162 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
115, 10syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2735 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
136, 7, 12eqgcpbl 19213 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝐺)𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝐺)𝑑)))
146, 12grpcl 18972 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
1511, 14syl3an1 1162 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
169adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
1711adantr 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
18 simpr1 1193 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr2 1194 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐺))
2017, 18, 19, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
21 simpr3 1195 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))
226, 12grpcl 18972 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2416, 23erref 8764 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤))
256, 12grpass 18973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2611, 25sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2724, 26breqtrd 5174 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
28 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
296, 28grpidcl 18996 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3011, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
316, 12, 28grplid 18998 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3211, 31sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
339adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
34 simpr 484 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
3533, 34erref 8764 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
3632, 35eqbrtrd 5170 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
37 eqid 2735 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 37grpinvcl 19018 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
3911, 38sylan 580 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
406, 12, 28, 37grplinv 19020 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4111, 40sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4230adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
4333, 42erref 8764 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
4441, 43eqbrtrd 5170 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
452, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 27, 30, 36, 39, 44qusgrp2 19089 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐻 ∈ Grp ∧ [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻)))
4645simpld 494 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156
This theorem is referenced by:  qus0  19220  qusinv  19221  qusghm  19286  ghmqusnsg  19313  ghmquskerlem3  19317  ghmqusker  19318  qusabl  19898  rzgrp  21659  qustgplem  24145  nsgqusf1olem1  33421
  Copyright terms: Public domain W3C validator