MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp 19110
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then 𝐻 = 𝐺 / 𝑌 is a group, called the quotient of 𝐺 by 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusgrp (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem qusgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3 eqidd 2727 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4 eqidd 2727 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
5 nsgsubg 19083 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2726 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
86, 7eqger 19103 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
95, 8syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
10 subgrcl 19056 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
115, 10syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2726 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
136, 7, 12eqgcpbl 19107 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝐺)𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝐺)𝑑)))
146, 12grpcl 18869 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
1511, 14syl3an1 1160 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
169adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
1711adantr 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
18 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐺))
2017, 18, 19, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
21 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))
226, 12grpcl 18869 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2416, 23erref 8722 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤))
256, 12grpass 18870 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2611, 25sylan 579 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2724, 26breqtrd 5167 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
28 eqid 2726 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
296, 28grpidcl 18893 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3011, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
316, 12, 28grplid 18895 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3211, 31sylan 579 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
339adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
34 simpr 484 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
3533, 34erref 8722 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
3632, 35eqbrtrd 5163 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
37 eqid 2726 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 37grpinvcl 18915 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
3911, 38sylan 579 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
406, 12, 28, 37grplinv 18917 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4111, 40sylan 579 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4230adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
4333, 42erref 8722 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
4441, 43eqbrtrd 5163 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
452, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 27, 30, 36, 39, 44qusgrp2 18984 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐻 ∈ Grp ∧ [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻)))
4645simpld 494 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392   /s cqus 17458  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  SubGrpcsubg 19045  NrmSGrpcnsg 19046   ~QG cqg 19047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050
This theorem is referenced by:  qus0  19113  qusinv  19114  qusghm  19178  qusabl  19783  rzgrp  21512  qustgplem  23976  nsgqusf1olem1  33030  ghmquskerlem3  33037  ghmqusker  33038
  Copyright terms: Public domain W3C validator