Theorem qusgrp 19125

Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then 𝐻 = 𝐺 / 𝑌 is a group, called the quotient of 𝐺 by 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
qusgrp	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem qusgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
5		nsgsubg 19097	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
8	6, 7	eqger 19117	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
10		subgrcl 19070	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11	5, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	6, 7, 12	eqgcpbl 19121	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝐺)𝑑)))
14	6, 12	grpcl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
15	11, 14	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
16	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
17	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
18		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐺))
20	17, 18, 19, 14	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
21		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))
22	6, 12	grpcl 18880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
23	17, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
24	16, 23	erref 8694	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤))
25	6, 12	grpass 18881	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤) = (𝑢(+g‘𝐺)(𝑣(+g‘𝐺)𝑤)))
26	11, 25	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤) = (𝑢(+g‘𝐺)(𝑣(+g‘𝐺)𝑤)))
27	24, 26	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g‘𝐺)𝑣)(+g‘𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑢(+g‘𝐺)(𝑣(+g‘𝐺)𝑤)))
28		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	6, 28	grpidcl 18904	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
30	11, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
31	6, 12, 28	grplid 18906	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑢) = 𝑢)
32	11, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑢) = 𝑢)
33	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
35	33, 34	erref 8694	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
36	32, 35	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
37		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
38	6, 37	grpinvcl 18926	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
39	11, 38	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
40	6, 12, 28, 37	grplinv 18928	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑢)(+g‘𝐺)𝑢) = (0g‘𝐺))
41	11, 40	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑢)(+g‘𝐺)𝑢) = (0g‘𝐺))
42	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
43	33, 42	erref 8694	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘𝐺)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g‘𝐺))
44	41, 43	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑢)(+g‘𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g‘𝐺))
45	2, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 27, 30, 36, 39, 44	qusgrp2 18997	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐻 ∈ Grp ∧ [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻)))
46	45	simpld 494	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Er wer 8671  [cec 8672  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409   /_s cqus 17475  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~_QG cqg 19061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064

This theorem is referenced by:  qus0  19128  qusinv  19129  qusghm  19194  ghmqusnsg  19221  ghmquskerlem3  19225  ghmqusker  19226  qusabl  19802  rzgrp  21539  qustgplem  24015  nsgqusf1olem1  33391