MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgrp 18939
Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgrp.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p (𝜑+ = (+g𝑅))
imasgrp.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasgrp.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasgrp (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasgrp.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasgrp.p . 2 (𝜑+ = (+g𝑅))
4 imasgrp.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasgrp.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasgrp.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2733 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1513, 14grpcl 18827 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
167, 10, 12, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1733ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → + = (+g𝑅))
1817oveqd 7426 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
1916, 18, 93eltr4d 2849 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
206adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21103adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22123adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23 simpr3 1197 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
242adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2523, 24eleqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2613, 14grpass 18828 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2720, 21, 22, 25, 26syl13anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
283adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → + = (+g𝑅))
29183adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
30 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30oveq123d 7430 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧))
32 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
3328oveqd 7426 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
3428, 32, 33oveq123d 7430 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
3527, 31, 343eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3635fveq2d 6896 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37 imasgrp.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
3813, 37grpidcl 18850 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
396, 38syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
4039, 2eleqtrrd 2837 . 2 (𝜑0𝑉)
413adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → + = (+g𝑅))
4241oveqd 7426 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g𝑅)𝑥))
432eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
4443biimpa 478 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4513, 14, 37grplid 18852 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
466, 44, 45syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
4742, 46eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
4847fveq2d 6896 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
49 eqid 2733 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
5013, 49grpinvcl 18872 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
516, 44, 50syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
522adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5351, 52eleqtrrd 2837 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
5441oveqd 7426 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥))
5513, 14, 37, 49grplinv 18874 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
566, 44, 55syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
5754, 56eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
5857fveq2d 6896 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹0 ))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 48, 53, 58imasgrp2 18938 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ontowfo 6542  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  s cimas 17450  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-imas 17454  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823
This theorem is referenced by:  imasgrpf1  18940  imasabl  19744  imasring  20143  imaslmod  32499  imasgim  41890
  Copyright terms: Public domain W3C validator