MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgrp 18512
Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgrp.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgrp.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p (𝜑+ = (+g𝑅))
imasgrp.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasgrp.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasgrp (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasgrp.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasgrp.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasgrp.p . 2 (𝜑+ = (+g𝑅))
4 imasgrp.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasgrp.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasgrp.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
763ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8 simp2 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2842 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1140 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2842 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2739 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2739 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1513, 14grpcl 18406 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
167, 10, 12, 15syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1733ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → + = (+g𝑅))
1817oveqd 7252 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
1916, 18, 93eltr4d 2855 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
206adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21103adant3r3 1186 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22123adant3r3 1186 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23 simpr3 1198 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
242adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2523, 24eleqtrd 2842 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2613, 14grpass 18407 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2720, 21, 22, 25, 26syl13anc 1374 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
283adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → + = (+g𝑅))
29183adant3r3 1186 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
30 eqidd 2740 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30oveq123d 7256 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑧))
32 eqidd 2740 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
3328oveqd 7252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
3428, 32, 33oveq123d 7256 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
3527, 31, 343eqtr4d 2789 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3635fveq2d 6743 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37 imasgrp.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
3813, 37grpidcl 18428 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
396, 38syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
4039, 2eleqtrrd 2843 . 2 (𝜑0𝑉)
413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → + = (+g𝑅))
4241oveqd 7252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g𝑅)𝑥))
432eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
4443biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4513, 14, 37grplid 18430 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
466, 44, 45syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
4742, 46eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
4847fveq2d 6743 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
49 eqid 2739 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
5013, 49grpinvcl 18448 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
516, 44, 50syl2an2r 685 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
522adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5351, 52eleqtrrd 2843 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
5441oveqd 7252 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥))
5513, 14, 37, 49grplinv 18449 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
566, 44, 55syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥)(+g𝑅)𝑥) = 0 )
5754, 56eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
5857fveq2d 6743 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(((invg𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹0 ))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 48, 53, 58imasgrp2 18511 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  ontowfo 6399  cfv 6401  (class class class)co 7235  Basecbs 16793  +gcplusg 16835  0gc0g 16977  s cimas 17042  Grpcgrp 18398  invgcminusg 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-sup 9088  df-inf 9089  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-n0 12121  df-z 12207  df-dec 12324  df-uz 12469  df-fz 13126  df-struct 16733  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-plusg 16848  df-mulr 16849  df-sca 16851  df-vsca 16852  df-ip 16853  df-tset 16854  df-ple 16855  df-ds 16857  df-0g 16979  df-imas 17046  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-grp 18401  df-minusg 18402
This theorem is referenced by:  imasgrpf1  18513  imasring  19670  imaslmod  31299  imasgim  40676
  Copyright terms: Public domain W3C validator