Theorem imasgrp 19086

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgrp.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
imasgrp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasgrp.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasgrp	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasgrp.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasgrp.p	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
4		imasgrp.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
5		imasgrp.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6		imasgrp.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	2	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
10	8, 9	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
12	11, 9	eleqtrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	13, 14	grpcl 18971	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 10, 12, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
17	3	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
18	17	oveqd 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
19	16, 18, 9	3eltr4d 2853	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
20	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21	10	3adant3r3 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	12	3adant3r3 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23		simpr3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
25	23, 24	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
26	13, 14	grpass 18972	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
27	20, 21, 22, 25, 26	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
28	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → + = (+g‘𝑅))
29	18	3adant3r3 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
30		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	oveq123d 7451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧))
32		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
33	28	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
34	28, 32, 33	oveq123d 7451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36	35	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37		imasgrp.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	13, 37	grpidcl 18995	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
40	39, 2	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
41	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
42	41	oveqd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g‘𝑅)𝑥))
43	2	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
44	43	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
45	13, 14, 37	grplid 18997	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
46	6, 44, 45	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
47	42, 46	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
48	47	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
49		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
50	13, 49	grpinvcl 19017	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
51	6, 44, 50	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
52	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
53	51, 52	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
54	41	oveqd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥))
55	13, 14, 37, 49	grplinv 19019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
56	6, 44, 55	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
57	54, 56	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
58	57	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹‘ 0 ))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 48, 53, 58	imasgrp2 19085	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  –onto→wfo 6560  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485   “_s cimas 17550  Grpcgrp 18963  inv_gcminusg 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17487  df-imas 17554  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967

This theorem is referenced by:  imasgrpf1  19087  imasabl  19908  imasring  20343  imaslmod  33360  imasghm  33362  imasgim  43088