Theorem imasgrp 18964

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgrp.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
imasgrp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasgrp.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasgrp	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasgrp.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasgrp.p	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
4		imasgrp.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
5		imasgrp.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6		imasgrp.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
10	8, 9	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
12	11, 9	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	13, 14	grpcl 18849	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 10, 12, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
17	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
18	17	oveqd 7386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
19	16, 18, 9	3eltr4d 2843	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
20	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21	10	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	12	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
25	23, 24	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
26	13, 14	grpass 18850	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
27	20, 21, 22, 25, 26	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
28	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → + = (+g‘𝑅))
29	18	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
30		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	oveq123d 7390	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧))
32		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
33	28	oveqd 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
34	28, 32, 33	oveq123d 7390	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36	35	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37		imasgrp.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	13, 37	grpidcl 18873	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
40	39, 2	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
41	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
42	41	oveqd 7386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g‘𝑅)𝑥))
43	2	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
44	43	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
45	13, 14, 37	grplid 18875	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
46	6, 44, 45	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
47	42, 46	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
48	47	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
49		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
50	13, 49	grpinvcl 18895	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
51	6, 44, 50	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
52	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
53	51, 52	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
54	41	oveqd 7386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥))
55	13, 14, 37, 49	grplinv 18897	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
56	6, 44, 55	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
57	54, 56	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
58	57	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹‘ 0 ))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 48, 53, 58	imasgrp2 18963	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   “_s cimas 17443  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17380  df-imas 17447  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845

This theorem is referenced by:  imasgrpf1  18965  imasabl  19782  imasring  20215  imaslmod  33297  imasghm  33299  imasgim  43062