Theorem imasgrp 19275

Description: The image structure of a group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgrp.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgrp.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
imasgrp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasgrp.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
imasgrp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasgrp	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑅,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   + ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎, 𝑏)   + (𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑎, 𝑏)   0 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem imasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrp.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasgrp.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasgrp.p	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
4		imasgrp.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
5		imasgrp.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6		imasgrp.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	2	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
10	8, 9	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
12	11, 9	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	13, 14	grpcl 19161	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 10, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
17	3	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
18	17	oveqd 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
19	16, 18, 9	3eltr4d 2875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
20	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Grp)
21	10	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	12	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
24	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
25	23, 24	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
26	13, 14	grpass 19162	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
27	20, 21, 22, 25, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
28	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → + = (+g‘𝑅))
29	18	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
30		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	oveq123d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧))
32		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 = 𝑥)
33	28	oveqd 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
34	28, 32, 33	oveq123d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36	35	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
37		imasgrp.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	13, 37	grpidcl 19185	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
39	6, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
40	39, 2	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
41	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → + = (+g‘𝑅))
42	41	oveqd 7441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = ( 0 (+g‘𝑅)𝑥))
43	2	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
44	43	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
45	13, 14, 37	grplid 19187	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
46	6, 44, 45	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
47	42, 46	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
48	47	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
49		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
50	13, 49	grpinvcl 19207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
51	6, 44, 50	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
52	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
53	51, 52	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
54	41	oveqd 7441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥))
55	13, 14, 37, 49	grplinv 19209	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
56	6, 44, 55	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑥) = 0 )
57	54, 56	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥) = 0 )
58	57	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(((invg‘𝑅)‘𝑥) + 𝑥)) = (𝐹‘ 0 ))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 36, 40, 48, 53, 58	imasgrp2 19274	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619   “_s cimas 17685  Grpcgrp 19153  inv_gcminusg 19154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-0g 17621  df-imas 17689  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157

This theorem is used by:  imasgrpf1  19276  imasabl  20099  imasring  20569  imaslmod  33964  imasghm  33966  imasgim  44239