Theorem ogrpinvlt 33009

Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpinvlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpinvlt	⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpgrp 32989	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6		ogrpinvlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ogrpinvlt.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
8	6, 7	grpinvcl 18955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ogrpinvlt.1	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	6, 10, 11	ogrpaddltbi 33004	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	6, 11, 14, 7	grprinv 18958	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
16	5, 3, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	breq2d 5128	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺)))
18		simp1r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
19	6, 11	grpcl 18909	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 2, 9, 19	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	6, 14	grpidcl 18933	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	6, 7	grpinvcl 18955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
25	6, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24	ogrpaddltrbid 33006	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺) ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
26	13, 17, 25	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
27	6, 11, 14, 7	grplinv 18957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
28	5, 2, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
29	28	oveq1d 7414	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)))
30	6, 11	grpass 18910	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
31	5, 24, 2, 9, 30	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
32	6, 11, 14	grplid 18935	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
33	5, 9, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) = (𝐼‘𝑌))
35	6, 11, 14	grprid 18936	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
36	5, 24, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
37	34, 36	breq12d 5129	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))
38	26, 37	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  0_gc0g 17438  ltcplt 18305  Grpcgrp 18901  inv_gcminusg 18902  opp_gcoppg 19313  oGrpcogrp 32984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-dec 12701  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-ple 17276  df-0g 17440  df-plt 18325  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-oppg 19314  df-omnd 32985  df-ogrp 32986

This theorem is referenced by:  archirngz  33105  archiabllem2c  33111