Theorem ogrpinvlt 33010

Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpinvlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpinvlt	⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpgrp 32990	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6		ogrpinvlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ogrpinvlt.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
8	6, 7	grpinvcl 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ogrpinvlt.1	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	6, 10, 11	ogrpaddltbi 33005	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	6, 11, 14, 7	grprinv 18898	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
16	5, 3, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺)))
18		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
19	6, 11	grpcl 18849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 2, 9, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	6, 14	grpidcl 18873	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	6, 7	grpinvcl 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
25	6, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24	ogrpaddltrbid 33007	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺) ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
26	13, 17, 25	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
27	6, 11, 14, 7	grplinv 18897	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
28	5, 2, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
29	28	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)))
30	6, 11	grpass 18850	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
31	5, 24, 2, 9, 30	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
32	6, 11, 14	grplid 18875	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
33	5, 9, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) = (𝐼‘𝑌))
35	6, 11, 14	grprid 18876	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
36	5, 24, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
37	34, 36	breq12d 5115	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))
38	26, 37	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378  ltcplt 18245  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  opp_gcoppg 19253  oGrpcogrp 32985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-ple 17216  df-0g 17380  df-plt 18265  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-oppg 19254  df-omnd 32986  df-ogrp 32987

This theorem is referenced by:  archirngz  33116  archiabllem2c  33122