Theorem ogrpinvlt 20359

Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpinvlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpinvlt	⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpgrp 20340	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6		ogrpinvlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ogrpinvlt.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
8	6, 7	grpinvcl 19199	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ogrpinvlt.1	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	6, 10, 11	ogrpaddltbi 20354	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	6, 11, 14, 7	grprinv 19202	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
16	5, 3, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺)))
18		simp1r 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
19	6, 11	grpcl 19153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 2, 9, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	6, 14	grpidcl 19177	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	1, 4, 21	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	6, 7	grpinvcl 19199	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
25	6, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24	ogrpaddltrbid 20356	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺) ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
26	13, 17, 25	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
27	6, 11, 14, 7	grplinv 19201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
28	5, 2, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
29	28	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)))
30	6, 11	grpass 19154	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
31	5, 24, 2, 9, 30	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
32	6, 11, 14	grplid 19179	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
33	5, 9, 32	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) = (𝐼‘𝑌))
35	6, 11, 14	grprid 19180	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
36	5, 24, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
37	34, 36	breq12d 5115	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))
38	26, 37	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  0_gc0g 17611  ltcplt 18483  Grpcgrp 19145  inv_gcminusg 19146  opp_gcoppg 19560  oGrpcogrp 20335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-ple 17449  df-0g 17613  df-plt 18503  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-oppg 19561  df-omnd 20336  df-ogrp 20337

This theorem is used by:  archirngz  33793  archiabllem2c  33799