Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinvlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpinvlt 30918
Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpinvlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ogrpinvlt (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2 simp2 1138 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1139 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 ogrpgrp 30898 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6 ogrpinvlt.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ogrpinvlt.2 . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
86, 7grpinvcl 18262 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
95, 3, 8syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
10 ogrpinvlt.1 . . . . 5 < = (lt‘𝐺)
11 eqid 2738 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
126, 10, 11ogrpaddltbi 30913 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
131, 2, 3, 9, 12syl13anc 1373 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
14 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
156, 11, 14, 7grprinv 18264 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
165, 3, 15syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
1716breq2d 5039 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺)))
18 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
196, 11grpcl 18220 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
205, 2, 9, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
216, 14grpidcl 18242 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
221, 4, 213syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
236, 7grpinvcl 18262 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
245, 2, 23syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
256, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24ogrpaddltrbid 30915 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺) ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
2613, 17, 253bitrd 308 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
276, 11, 14, 7grplinv 18263 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
285, 2, 27syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
2928oveq1d 7179 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)))
306, 11grpass 18221 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
315, 24, 2, 9, 30syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
326, 11, 14grplid 18244 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
335, 9, 32syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
3429, 31, 333eqtr3d 2781 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) = (𝐼𝑌))
356, 11, 14grprid 18245 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
365, 24, 35syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
3734, 36breq12d 5040 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
3826, 37bitrd 282 1 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  ltcplt 17660  Grpcgrp 18212  invgcminusg 18213  oppgcoppg 18584  oGrpcogrp 30893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-dec 12173  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-plusg 16674  df-ple 16681  df-0g 16811  df-plt 17677  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-oppg 18585  df-omnd 30894  df-ogrp 30895
This theorem is referenced by:  archirngz  31012  archiabllem2c  31018
  Copyright terms: Public domain W3C validator