Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinvlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpinvlt 30657
Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpinvlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ogrpinvlt (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt
StepHypRef Expression
1 simp1l 1191 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2 simp2 1131 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1132 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 ogrpgrp 30637 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6 ogrpinvlt.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ogrpinvlt.2 . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
86, 7grpinvcl 18096 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
95, 3, 8syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
10 ogrpinvlt.1 . . . . 5 < = (lt‘𝐺)
11 eqid 2826 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
126, 10, 11ogrpaddltbi 30652 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
131, 2, 3, 9, 12syl13anc 1366 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
14 eqid 2826 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
156, 11, 14, 7grprinv 18098 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
165, 3, 15syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
1716breq2d 5075 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺)))
18 simp1r 1192 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
196, 11grpcl 18056 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
205, 2, 9, 19syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
216, 14grpidcl 18076 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
221, 4, 213syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
236, 7grpinvcl 18096 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
245, 2, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
256, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24ogrpaddltrbid 30654 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺) ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
2613, 17, 253bitrd 306 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
276, 11, 14, 7grplinv 18097 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
285, 2, 27syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
2928oveq1d 7165 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)))
306, 11grpass 18057 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
315, 24, 2, 9, 30syl13anc 1366 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
326, 11, 14grplid 18078 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
335, 9, 32syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
3429, 31, 333eqtr3d 2869 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) = (𝐼𝑌))
356, 11, 14grprid 18079 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
365, 24, 35syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
3734, 36breq12d 5076 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
3826, 37bitrd 280 1 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  0gc0g 16708  ltcplt 17546  Grpcgrp 18048  invgcminusg 18049  oppgcoppg 18418  oGrpcogrp 30632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-dec 12093  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-ple 16580  df-0g 16710  df-plt 17563  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-oppg 18419  df-omnd 30633  df-ogrp 30634
This theorem is referenced by:  archirngz  30751  archiabllem2c  30757
  Copyright terms: Public domain W3C validator