Theorem ogrpinvlt 32229

Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpinvlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpinvlt	⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpgrp 32209	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6		ogrpinvlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ogrpinvlt.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
8	6, 7	grpinvcl 18869	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ogrpinvlt.1	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	6, 10, 11	ogrpaddltbi 32224	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	6, 11, 14, 7	grprinv 18872	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
16	5, 3, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	breq2d 5160	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺)))
18		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
19	6, 11	grpcl 18824	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 2, 9, 19	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	6, 14	grpidcl 18847	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	6, 7	grpinvcl 18869	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
25	6, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24	ogrpaddltrbid 32226	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺) ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
26	13, 17, 25	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
27	6, 11, 14, 7	grplinv 18871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
28	5, 2, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
29	28	oveq1d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)))
30	6, 11	grpass 18825	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
31	5, 24, 2, 9, 30	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
32	6, 11, 14	grplid 18849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
33	5, 9, 32	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) = (𝐼‘𝑌))
35	6, 11, 14	grprid 18850	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
36	5, 24, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
37	34, 36	breq12d 5161	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))
38	26, 37	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  0_gc0g 17382  ltcplt 18258  Grpcgrp 18816  inv_gcminusg 18817  opp_gcoppg 19204  oGrpcogrp 32204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-dec 12675  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-ple 17214  df-0g 17384  df-plt 18280  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-oppg 19205  df-omnd 32205  df-ogrp 32206

This theorem is referenced by:  archirngz  32323  archiabllem2c  32329