Theorem evpmodpmf1o 21542

Description: The function for performing an even permutation after a fixed odd permutation is one to one onto all odd permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmodpmf1o.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmodpmf1o.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmodpmf1o	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝐷,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐹

Proof of Theorem evpmodpmf1o

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		evpmodpmf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3	2	symggrp 19320	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ Grp)
4	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
5		eldifi 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
6	5	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
7		evpmodpmf1o.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
8	2, 7	evpmss 21532	. . . . . . 7 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃
9	8	sseli 3926	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) → 𝑓 ∈ 𝑃)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑓 ∈ 𝑃)
11		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12	7, 11	grpcl 18862	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
14		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	2, 14, 15	psgnghm2 21527	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		prex 5379	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ∈ V
19		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfldmul 21308	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
21	19, 20	mgpplusg 20070	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	15, 21	ressplusg 17202	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 11, 23	ghmlin 19141	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
25	17, 6, 10, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
26	2, 7, 14	psgnodpm 21534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
28	2, 7, 14	psgnevpm 21535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
29	28	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
30	27, 29	oveq12d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = (-1 · 1))
31		ax-1cn 11075	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	mulm1i 11573	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
33	30, 32	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = -1)
34	25, 33	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1)
35	2, 7, 14	psgnodpmr 21536	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
36	1, 13, 34, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
37	36	fmpttd 7057	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)⟶(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
38	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑆 ∈ Grp)
39		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
40	7, 39	grpinvcl 18908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
41	3, 5, 40	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
43		eldifi 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
45	7, 11	grpcl 18862	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
46	38, 42, 44, 45	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
47	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
48	7, 11, 23	ghmlin 19141	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
49	47, 42, 44, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
50	2, 7, 39	symginv 19322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
53	52	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹))
54	2, 7, 14	psgnodpm 21534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
55	54	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
56	53, 55	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1))
57		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐷 ∈ Fin)
58	5	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
59	2, 14, 7	psgninv 21528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
61	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
62	60, 61	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = -1)
63	62	oveq1d 7370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = (-1 · -1))
64		neg1mulneg1e1 12344	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = 1)
66	49, 56, 65	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)
67	2, 7, 14	psgnevpmb 21533	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
68	67	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
69	46, 66, 68	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷))
70	69	fmpttd 7057	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)):(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))⟶(pmEven‘𝐷))
71		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
72		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
73		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
74	36, 71, 72, 73	fmptco 7071	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))))
75		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
76	7, 11, 75, 39	grplinv 18910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
77	4, 6, 76	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓))
79	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
80	7, 11	grpass 18863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
81	4, 79, 6, 10, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
82	7, 11, 75	grplid 18888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
83	4, 10, 82	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
84	78, 81, 83	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = 𝑓)
85	84	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
86	74, 85	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
87		mptresid 6007	. . 3 ⊢ ( I ↾ (pmEven‘𝐷)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓)
88	86, 87	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = ( I ↾ (pmEven‘𝐷)))
89		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
90	69, 72, 71, 89	fmptco 7071	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))))
91	7, 11, 75, 39	grprinv 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
92	3, 5, 91	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
93	92	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
94	93	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
95	7, 11	grpass 18863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃)) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
96	38, 58, 42, 44, 95	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
97	7, 11, 75	grplid 18888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
98	38, 44, 97	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
99	94, 96, 98	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 𝑔)
100	99	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
101	90, 100	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
102		mptresid 6007	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔)
103	101, 102	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))))
104	37, 70, 88, 103	fcof1od 7237	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  {cpr 4579   ↦ cmpt 5176   I cid 5515  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  1c1 11018   · cmul 11022  -cneg 11356  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  +_gcplusg 17168  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18854  inv_gcminusg 18855   GrpHom cghm 19132  SymGrpcsymg 19289  pmSgncpsgn 19409  pmEvencevpm 19410  mulGrpcmgp 20066  ℂ_fldccnfld 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-word 14428  df-lsw 14477  df-concat 14485  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-splice 14664  df-reverse 14673  df-s2 14762  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-efmnd 18785  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-gim 19179  df-oppg 19266  df-symg 19290  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-evpm 19412  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-drng 20655  df-cnfld 21301

This theorem is referenced by:  mdetralt  22543