Theorem evpmodpmf1o 20558

Description: The function for performing an even permutation after a fixed odd permutation is one to one onto all odd permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmodpmf1o.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmodpmf1o.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmodpmf1o	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝐷,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐹

Proof of Theorem evpmodpmf1o

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		evpmodpmf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3	2	symggrp 18792	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ Grp)
4	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
5		eldifi 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
6	5	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
7		evpmodpmf1o.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
8	2, 7	evpmss 20548	. . . . . . 7 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃
9	8	sseli 3896	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) → 𝑓 ∈ 𝑃)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑓 ∈ 𝑃)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12	7, 11	grpcl 18373	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	2, 14, 15	psgnghm2 20543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		prex 5325	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ∈ V
19		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfldmul 20369	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
21	19, 20	mgpplusg 19508	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	15, 21	ressplusg 16834	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 11, 23	ghmlin 18627	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
25	17, 6, 10, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
26	2, 7, 14	psgnodpm 20550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
27	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
28	2, 7, 14	psgnevpm 20551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
29	28	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
30	27, 29	oveq12d 7231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = (-1 · 1))
31		ax-1cn 10787	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	mulm1i 11277	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
33	30, 32	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = -1)
34	25, 33	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1)
35	2, 7, 14	psgnodpmr 20552	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
36	1, 13, 34, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
37	36	fmpttd 6932	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)⟶(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
38	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑆 ∈ Grp)
39		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
40	7, 39	grpinvcl 18415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
41	3, 5, 40	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
42	41	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
43		eldifi 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
44	43	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
45	7, 11	grpcl 18373	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
46	38, 42, 44, 45	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
47	16	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
48	7, 11, 23	ghmlin 18627	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
49	47, 42, 44, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
50	2, 7, 39	symginv 18794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
53	52	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹))
54	2, 7, 14	psgnodpm 20550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
55	54	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
56	53, 55	oveq12d 7231	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1))
57		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐷 ∈ Fin)
58	5	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
59	2, 14, 7	psgninv 20544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
60	57, 58, 59	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
61	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
62	60, 61	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = -1)
63	62	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = (-1 · -1))
64		neg1mulneg1e1 12043	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = 1)
66	49, 56, 65	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)
67	2, 7, 14	psgnevpmb 20549	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
68	67	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
69	46, 66, 68	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷))
70	69	fmpttd 6932	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)):(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))⟶(pmEven‘𝐷))
71		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
72		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
73		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
74	36, 71, 72, 73	fmptco 6944	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))))
75		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
76	7, 11, 75, 39	grplinv 18416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
77	4, 6, 76	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓))
79	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
80	7, 11	grpass 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
81	4, 79, 6, 10, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
82	7, 11, 75	grplid 18397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
83	4, 10, 82	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
84	78, 81, 83	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = 𝑓)
85	84	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
86	74, 85	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
87		mptresid 5918	. . 3 ⊢ ( I ↾ (pmEven‘𝐷)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓)
88	86, 87	eqtr4di 2796	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = ( I ↾ (pmEven‘𝐷)))
89		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
90	69, 72, 71, 89	fmptco 6944	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))))
91	7, 11, 75, 39	grprinv 18417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
92	3, 5, 91	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
93	92	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
94	93	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
95	7, 11	grpass 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃)) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
96	38, 58, 42, 44, 95	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
97	7, 11, 75	grplid 18397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
98	38, 44, 97	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
99	94, 96, 98	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 𝑔)
100	99	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
101	90, 100	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
102		mptresid 5918	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔)
103	101, 102	eqtr4di 2796	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))))
104	37, 70, 88, 103	fcof1od 7104	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863  {cpr 4543   ↦ cmpt 5135   I cid 5454  ^◡ccnv 5550   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  –1-1-onto→wf1o 6379  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  1c1 10730   · cmul 10734  -cneg 11063  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366   GrpHom cghm 18619  SymGrpcsymg 18759  pmSgncpsgn 18881  pmEvencevpm 18882  mulGrpcmgp 19504  ℂ_fldccnfld 20363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-lsw 14118  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-reverse 14324  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-efmnd 18296  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-oppg 18738  df-symg 18760  df-pmtr 18834  df-psgn 18883  df-evpm 18884  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-cnfld 20364

This theorem is referenced by:  mdetralt  21505