Theorem evpmodpmf1o 20713

Description: The function for performing an even permutation after a fixed odd permutation is one to one onto all odd permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmodpmf1o.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmodpmf1o.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evpmodpmf1o	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝐷,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐹

Proof of Theorem evpmodpmf1o

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		evpmodpmf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3	2	symggrp 18923	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ Grp)
4	3	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
5		eldifi 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
6	5	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
7		evpmodpmf1o.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
8	2, 7	evpmss 20703	. . . . . . 7 ⊢ (pmEven‘𝐷) ⊆ 𝑃
9	8	sseli 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) → 𝑓 ∈ 𝑃)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → 𝑓 ∈ 𝑃)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12	7, 11	grpcl 18500	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
13	4, 6, 10, 12	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃)
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	2, 14, 15	psgnghm2 20698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	16	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18		prex 5350	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ∈ V
19		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfldmul 20516	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
21	19, 20	mgpplusg 19639	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	15, 21	ressplusg 16926	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	18, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 11, 23	ghmlin 18754	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
25	17, 6, 10, 24	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)))
26	2, 7, 14	psgnodpm 20705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
28	2, 7, 14	psgnevpm 20706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
29	28	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓) = 1)
30	27, 29	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = (-1 · 1))
31		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	mulm1i 11350	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
33	30, 32	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑓)) = -1)
34	25, 33	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1)
35	2, 7, 14	psgnodpmr 20707	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = -1) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
36	1, 13, 34, 35	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
37	36	fmpttd 6971	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)⟶(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
38	3	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑆 ∈ Grp)
39		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
40	7, 39	grpinvcl 18542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
41	3, 5, 40	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
43		eldifi 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
45	7, 11	grpcl 18500	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
46	38, 42, 44, 45	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃)
47	16	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
48	7, 11, 23	ghmlin 18754	. . . . . 6 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
49	47, 42, 44, 48	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)))
50	2, 7, 39	symginv 18925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
52	51	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
53	52	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹))
54	2, 7, 14	psgnodpm 20705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
55	54	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔) = -1)
56	53, 55	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑔)) = (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1))
57		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐷 ∈ Fin)
58	5	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
59	2, 14, 7	psgninv 20699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
60	57, 58, 59	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹))
61	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝐹) = -1)
62	60, 61	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) = -1)
63	62	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = (-1 · -1))
64		neg1mulneg1e1 12116	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
65	63, 64	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((pmSgn‘𝐷)‘◡𝐹) · -1) = 1)
66	49, 56, 65	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)
67	2, 7, 14	psgnevpmb 20704	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
68	67	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ 𝑃 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 1)))
69	46, 66, 68	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) ∈ (pmEven‘𝐷))
70	69	fmpttd 6971	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)):(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))⟶(pmEven‘𝐷))
71		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
72		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
73		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
74	36, 71, 72, 73	fmptco 6983	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))))
75		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
76	7, 11, 75, 39	grplinv 18543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
77	4, 6, 76	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹) = (0g‘𝑆))
78	77	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓))
79	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃)
80	7, 11	grpass 18501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑃)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
81	4, 79, 6, 10, 80	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝐹)(+g‘𝑆)𝑓) = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)))
82	7, 11, 75	grplid 18524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
83	4, 10, 82	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑓) = 𝑓)
84	78, 81, 83	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) = 𝑓)
85	84	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)(𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
86	74, 85	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓))
87		mptresid 5947	. . 3 ⊢ ( I ↾ (pmEven‘𝐷)) = (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ 𝑓)
88	86, 87	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) ∘ (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓))) = ( I ↾ (pmEven‘𝐷)))
89		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔) → (𝐹(+g‘𝑆)𝑓) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
90	69, 72, 71, 89	fmptco 6983	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))))
91	7, 11, 75, 39	grprinv 18544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
92	3, 5, 91	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (0g‘𝑆))
93	92	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
94	93	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔))
95	7, 11	grpass 18501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝐹) ∈ 𝑃 ∧ 𝑔 ∈ 𝑃)) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
96	38, 58, 42, 44, 95	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝐹(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝐹))(+g‘𝑆)𝑔) = (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)))
97	7, 11, 75	grplid 18524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
98	38, 44, 97	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((0g‘𝑆)(+g‘𝑆)𝑔) = 𝑔)
99	94, 96, 98	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔)) = 𝑔)
100	99	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)(((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
101	90, 100	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔))
102		mptresid 5947	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) = (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ 𝑔)
103	101, 102	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)) ∘ (𝑔 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↦ (((invg‘𝑆)‘𝐹)(+g‘𝑆)𝑔))) = ( I ↾ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))))
104	37, 70, 88, 103	fcof1od 7146	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑓 ∈ (pmEven‘𝐷) ↦ (𝐹(+g‘𝑆)𝑓)):(pmEven‘𝐷)–1-1-onto→(𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803   · cmul 10807  -cneg 11136  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493   GrpHom cghm 18746  SymGrpcsymg 18889  pmSgncpsgn 19012  pmEvencevpm 19013  mulGrpcmgp 19635  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-evpm 19015  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  mdetralt  21665