MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2 19715
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmcntz.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmcntz.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 19682 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) ↔ ∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢)))
61, 2, 5syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) ↔ ∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢)))
7 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠𝑆)
8 subgrcl 19162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
111ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgss 19158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1514, 7sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐺))
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 = (0g𝐺)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1812, 3, 16, 17grplinv 19020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠) = 0 )
1910, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠) = 0 )
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = ( 0 (+g𝐺)𝑢))
2117subginvcl 19166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆)
2211, 7, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆)
2314, 22sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
242ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2512subgss 19158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢𝑈)
2826, 27sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
2912, 3grpass 18973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)))
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)))
3112, 3, 16grplid 18998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3210, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ( 0 (+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3320, 30, 323eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) = 𝑢)
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇)
373, 4lsmelvali 19683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆 ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇)) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) ∈ (𝑆 𝑇))
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) ∈ (𝑆 𝑇))
3933, 38eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ (𝑆 𝑇))
4039, 27elind 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
41 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
4340, 42eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ { 0 })
44 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ { 0 } → 𝑢 = 0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 = 0 )
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = (𝑠(+g𝐺) 0 ))
4712, 3, 16grprid 18999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺) 0 ) = 𝑠)
4810, 15, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺) 0 ) = 𝑠)
4946, 48eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 𝑠)
5049, 36eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠𝑇)
517, 50elind 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ (𝑆𝑇))
52 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑇) = { 0 })
5451, 53eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ { 0 })
55 elsni 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ { 0 } → 𝑠 = 0 )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 = 0 )
5756, 45oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = ( 0 (+g𝐺) 0 ))
5812, 16grpidcl 18996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
5912, 3, 16grplid 18998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
609, 58, 59syl2anc2 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
6257, 61eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 )
6362ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) → ((𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇 → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 ))
64 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇 ↔ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇))
65 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 ))
6664, 65imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → ((𝑥𝑇𝑥 = 0 ) ↔ ((𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇 → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 )))
6763, 66syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) → (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
6867rexlimdvva 3211 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
696, 68sylbid 240 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
7069impcomd 411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆 𝑈)) → 𝑥 = 0 ))
71 elin 3979 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) ↔ (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆 𝑈)))
72 velsn 4647 . . . 4 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
7370, 71, 723imtr4g 296 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
7473ssrdv 4001 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) ⊆ { 0 })
7516subg0cl 19165 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
7634, 75syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑇)
774lsmub1 19690 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑈))
781, 2, 77syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑈))
7916subg0cl 19165 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
801, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
8178, 80sseldd 3996 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑈))
8276, 81elind 4210 . . 3 (𝜑0 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)))
8382snssd 4814 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)))
8474, 83eqssd 4013 1 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  19716  lsmdisj2r  19718  lsmdisj2a  19720  dprd2da  20077
  Copyright terms: Public domain W3C validator