MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2 19641
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmcntz.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmcntz.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 19608 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) ↔ ∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢)))
61, 2, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) ↔ ∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢)))
7 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠𝑆)
8 subgrcl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgss 19086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1514, 7sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐺))
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 = (0g𝐺)
17 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1812, 3, 16, 17grplinv 18950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠) = 0 )
1910, 15, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠) = 0 )
2019oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = ( 0 (+g𝐺)𝑢))
2117subginvcl 19094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆)
2211, 7, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆)
2314, 22sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((invg𝐺)‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
242ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2512subgss 19086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢𝑈)
2826, 27sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
2912, 3grpass 18903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)))
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)𝑠)(+g𝐺)𝑢) = (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)))
3112, 3, 16grplid 18928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3210, 28, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ( 0 (+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3320, 30, 323eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) = 𝑢)
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
36 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇)
373, 4lsmelvali 19609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((invg𝐺)‘𝑠) ∈ 𝑆 ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇)) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) ∈ (𝑆 𝑇))
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (((invg𝐺)‘𝑠)(+g𝐺)(𝑠(+g𝐺)𝑢)) ∈ (𝑆 𝑇))
3933, 38eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ (𝑆 𝑇))
4039, 27elind 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
41 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
4340, 42eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 ∈ { 0 })
44 elsni 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ { 0 } → 𝑢 = 0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑢 = 0 )
4645oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = (𝑠(+g𝐺) 0 ))
4712, 3, 16grprid 18929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g𝐺) 0 ) = 𝑠)
4810, 15, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺) 0 ) = 𝑠)
4946, 48eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 𝑠)
5049, 36eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠𝑇)
517, 50elind 4188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ (𝑆𝑇))
52 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑇) = { 0 })
5451, 53eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ { 0 })
55 elsni 4641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ { 0 } → 𝑠 = 0 )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → 𝑠 = 0 )
5756, 45oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = ( 0 (+g𝐺) 0 ))
5812, 16grpidcl 18926 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
5912, 3, 16grplid 18928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
609, 58, 59syl2anc2 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
6257, 61eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) ∧ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇) → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 )
6362ex 411 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) → ((𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇 → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 ))
64 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇 ↔ (𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇))
65 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 ))
6664, 65imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → ((𝑥𝑇𝑥 = 0 ) ↔ ((𝑠(+g𝐺)𝑢) ∈ 𝑇 → (𝑠(+g𝐺)𝑢) = 0 )))
6763, 66syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆𝑢𝑈)) → (𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
6867rexlimdvva 3202 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆𝑢𝑈 𝑥 = (𝑠(+g𝐺)𝑢) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
696, 68sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑈) → (𝑥𝑇𝑥 = 0 )))
7069impcomd 410 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆 𝑈)) → 𝑥 = 0 ))
71 elin 3955 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) ↔ (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆 𝑈)))
72 velsn 4640 . . . 4 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
7370, 71, 723imtr4g 295 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) → 𝑥 ∈ { 0 }))
7473ssrdv 3978 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) ⊆ { 0 })
7516subg0cl 19093 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
7634, 75syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑇)
774lsmub1 19616 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑈))
781, 2, 77syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑈))
7916subg0cl 19093 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
801, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
8178, 80sseldd 3973 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑈))
8276, 81elind 4188 . . 3 (𝜑0 ∈ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)))
8382snssd 4808 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)))
8474, 83eqssd 3990 1 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3060  cin 3938  wss 3939  {csn 4624  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  SubGrpcsubg 19079  LSSumclsm 19593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-lsm 19595
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  19642  lsmdisj2r  19644  lsmdisj2a  19646  dprd2da  20003
  Copyright terms: Public domain W3C validator