Theorem issubg2 19080

Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issubg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubg2

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19066	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subgbas 19069	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
5	3	subggrp 19068	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
7	6	grpbn0 18905	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ≠ ∅)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ≠ ∅)
9	4, 8	eqnetrd 2993	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
10		issubg2.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	10	subgcl 19075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	11	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
13	12	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14		issubg2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
15	14	subginvcl 19074	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	13, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17	16	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
18	2, 9, 17	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
19		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
21	3, 1	ressbas2 17215	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
23		fvex 6874	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ V
24	22, 23	eqeltrdi 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ V)
25	3, 10	ressplusg 17261	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
28		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralimi 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
32	31	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆))
33		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
35	32, 34	rspc2v 3602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
36	30, 35	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
37	36	3impib 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
38	20	sseld 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ 𝐵))
39	20	sseld 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ 𝐵))
40	20	sseld 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ 𝐵))
41	38, 39, 40	3anim123d 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)))
42	41	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
43	1, 10	grpass 18881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
44	43	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
45	42, 44	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
46		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
47		n0 4319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝑆)
48	46, 47	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝑆)
49	20	sselda 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
50		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
51	1, 10, 50, 14	grplinv 18928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
52	51	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
53	49, 52	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
55	54	ralimi 3067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
56	27, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
57		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑢))
58	57	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆))
59	58	rspccva 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆)
60	56, 59	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝑆)
62	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
63		ovrspc2v 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
64	60, 61, 62, 63	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
65	53, 64	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
66	48, 65	exlimddv 1935	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
67	1, 10, 50	grplid 18906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
68	67	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
69	49, 68	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
70	22, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53	isgrpd 18897	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
71	1	issubg 19065	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
72	19, 20, 70, 71	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
73	72	ex 412	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
74	18, 73	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062

This theorem is referenced by:  issubgrpd2  19081  issubg3  19083  issubg4  19084  grpissubg  19085  subgint  19089  0subgOLD  19091  nmzsubg  19104  cycsubgcl  19145  ghmrn  19168  ghmpreima  19177  gastacl  19248  torsubg  19791  oddvdssubg  19792  cntzsubrng  20483  subrgugrp  20507  cntzsubr  20522  lsssubg  20870  lidlsubg  21140  cnsubglem  21339  cnmsubglem  21354  pzriprnglem4  21401  mplsubglem  21915  mplind  21984  mhpsubg  22047  cpmatsubgpmat  22614  elrgspnlem1  33200  nsgqusf1olem1  33391  constrsdrg  33772