MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg2 19057
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg2.p + = (+g𝐺)
issubg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 19043 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2732 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subgbas 19046 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
53subggrp 19045 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
76grpbn0 18887 . . . . 5 ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
94, 8eqnetrd 3008 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
10 issubg2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1110subgcl 19052 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12113expa 1118 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1312ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14 issubg2.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
1514subginvcl 19051 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
1613, 15jca 512 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1716ralrimiva 3146 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
182, 9, 173jca 1128 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
19 simpl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆𝐵)
213, 1ressbas2 17186 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
23 fvex 6904 . . . . . . 7 (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∈ V
2422, 23eqeltrdi 2841 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ V)
253, 10ressplusg 17239 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
27 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
28 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2928ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
3231eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆))
33 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
3433eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3532, 34rspc2v 3622 . . . . . . 7 ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3630, 35syl5com 31 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
37363impib 1116 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
3820sseld 3981 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3920sseld 3981 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
4020sseld 3981 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
4138, 39, 403anim123d 1443 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
4241imp 407 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
431, 10grpass 18864 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4443adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4542, 44syldan 591 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
46 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
47 n0 4346 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝑆)
4846, 47sylib 217 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∃𝑢 𝑢𝑆)
4920sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
50 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
511, 10, 50, 14grplinv 18910 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5251adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5349, 52syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5554ralimi 3083 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
57 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑢))
5857eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼𝑢) ∈ 𝑆))
5958rspccva 3611 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
6056, 59sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
61 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝑆)
6230adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
63 ovrspc2v 7437 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑢) ∈ 𝑆𝑢𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6460, 61, 62, 63syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6553, 64eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
6648, 65exlimddv 1938 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
671, 10, 50grplid 18888 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6867adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6949, 68syldan 591 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 18880 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
711issubg 19042 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7372ex 413 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
7418, 73impbid2 225 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  s cress 17177  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  19058  issubg3  19060  issubg4  19061  grpissubg  19062  subgint  19066  0subgOLD  19068  nmzsubg  19081  cycsubgcl  19121  ghmrn  19143  ghmpreima  19152  gastacl  19214  torsubg  19763  oddvdssubg  19764  cntzsubrng  20455  subrgugrp  20481  cntzsubr  20496  lsssubg  20712  lidlsubg  20987  cnsubglem  21194  cnmsubglem  21208  pzriprnglem4  21253  mplsubglem  21777  mplind  21850  mhpsubg  21915  cpmatsubgpmat  22442  nsgqusf1olem1  32786
  Copyright terms: Public domain W3C validator