Theorem issubg2 19183

Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issubg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubg2

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19169	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subgbas 19172	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
5	3	subggrp 19171	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
7	6	grpbn0 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ≠ ∅)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ≠ ∅)
9	4, 8	eqnetrd 3024	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
10		issubg2.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	10	subgcl 19178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	11	3expa 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
13	12	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14		issubg2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
15	14	subginvcl 19177	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	13, 15	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17	16	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
18	2, 9, 17	3jca 1141	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
19		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpr1 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
21	3, 1	ressbas2 17274	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
23		fvex 6880	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ V
24	22, 23	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ V)
25	3, 10	ressplusg 17320	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27		simpr3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
28		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	ralimi 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31		oveq1 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
32	31	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆))
33		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
35	32, 34	rspc2v 3592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
36	30, 35	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
37	36	3impib 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
38	20	sseld 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ 𝐵))
39	20	sseld 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ 𝐵))
40	20	sseld 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ 𝐵))
41	38, 39, 40	3anim123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)))
42	41	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
43	1, 10	grpass 18984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
44	43	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
45	42, 44	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
46		simpr2 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
47		n0 4305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝑆)
48	46, 47	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝑆)
49	20	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
50		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
51	1, 10, 50, 14	grplinv 19031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
52	51	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
53	49, 52	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) = (0g‘𝐺))
54		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
55	54	ralimi 3099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
56	27, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
57		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑢))
58	57	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆))
59	58	rspccva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆)
60	56, 59	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆)
61		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝑆)
62	30	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
63		ovrspc2v 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼‘𝑢) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
64	60, 61, 62, 63	syl21anc 848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
65	53, 64	eqeltrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
66	48, 65	exlimddv 1955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
67	1, 10, 50	grplid 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
68	67	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
69	49, 68	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
70	22, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53	isgrpd 19000	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
71	1	issubg 19168	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
72	19, 20, 70, 71	syl3anbrc 1357	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
73	72	ex 416	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
74	18, 73	impbid2 228	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  SubGrpcsubg 19162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-subg 19165

This theorem is referenced by:  issubgrpd2  19184  issubg3  19186  issubg4  19187  grpissubg  19188  subgint  19192  nmzsubg  19206  cycsubgcl  19247  ghmrn  19269  ghmpreima  19278  gastacl  19349  torsubg  19894  oddvdssubg  19895  cntzsubrng  20617  subrgugrp  20641  cntzsubr  20656  lsssubg  21024  lidlsubg  21293  cnsubglem  21468  cnmsubglem  21482  pzriprnglem4  21536  mplsubglem  22050  mplind  22123  mhpsubg  22218  cpmatsubgpmat  22780  elrgspnlem1  33423  nsgqusf1olem1  33599  constrsdrg  34072