MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg2 18286
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg2.p + = (+g𝐺)
issubg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 18272 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2798 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subgbas 18275 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
53subggrp 18274 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
76grpbn0 18124 . . . . 5 ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
94, 8eqnetrd 3054 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
10 issubg2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1110subgcl 18281 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12113expa 1115 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1312ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14 issubg2.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
1514subginvcl 18280 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
1613, 15jca 515 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1716ralrimiva 3149 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
182, 9, 173jca 1125 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
19 simpl 486 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆𝐵)
213, 1ressbas2 16547 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
23 fvex 6658 . . . . . . 7 (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∈ V
2422, 23eqeltrdi 2898 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ V)
253, 10ressplusg 16604 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
27 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
28 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2928ralimi 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31 oveq1 7142 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
3231eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆))
33 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
3433eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3532, 34rspc2v 3581 . . . . . . 7 ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3630, 35syl5com 31 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
37363impib 1113 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
3820sseld 3914 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3920sseld 3914 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
4020sseld 3914 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
4138, 39, 403anim123d 1440 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
4241imp 410 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
431, 10grpass 18104 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4443adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4542, 44syldan 594 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
46 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
47 n0 4260 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝑆)
4846, 47sylib 221 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∃𝑢 𝑢𝑆)
4920sselda 3915 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
50 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
511, 10, 50, 14grplinv 18144 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5251adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5349, 52syldan 594 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
54 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5554ralimi 3128 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
57 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑢))
5857eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼𝑢) ∈ 𝑆))
5958rspccva 3570 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
6056, 59sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
61 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝑆)
6230adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
63 ovrspc2v 7161 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑢) ∈ 𝑆𝑢𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6460, 61, 62, 63syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6553, 64eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
6648, 65exlimddv 1936 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
671, 10, 50grplid 18125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6867adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6949, 68syldan 594 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 18117 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
711issubg 18271 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7372ex 416 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
7418, 73impbid2 229 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  Vcvv 3441  wss 3881  c0 4243  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  invgcminusg 18096  SubGrpcsubg 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  18287  issubg3  18289  issubg4  18290  grpissubg  18291  subgint  18295  0subg  18296  nmzsubg  18309  cycsubgcl  18341  ghmrn  18363  ghmpreima  18372  gastacl  18431  torsubg  18967  oddvdssubg  18968  subrgugrp  19547  cntzsubr  19561  lsssubg  19722  lidlsubg  19981  cnsubglem  20140  cnmsubglem  20154  mplsubglem  20672  mplind  20741  mhpsubg  20801  cpmatsubgpmat  21325
  Copyright terms: Public domain W3C validator