MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvfvi 18912
Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
grpinvfvi.t 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvfvi 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi
StepHypRef Expression
1 grpinvfvi.t . 2 𝑁 = (invg𝐺)
2 fvi 6961 . . . 4 (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
32fveq2d 6889 . . 3 (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺))
4 base0 17158 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (invg‘∅) = (invg‘∅)
64, 5grpinvfn 18911 . . . . 5 (invg‘∅) Fn ∅
7 fn0 6675 . . . . 5 ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
86, 7mpbi 229 . . . 4 (invg‘∅) = ∅
9 fvprc 6877 . . . . 5 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
109fveq2d 6889 . . . 4 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11 fvprc 6877 . . . 4 𝐺 ∈ V → (invg𝐺) = ∅)
128, 10, 113eqtr4a 2792 . . 3 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺))
133, 12pm2.61i 182 . 2 (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺)
141, 13eqtr4i 2757 1 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  c0 4317   I cid 5566   Fn wfn 6532  cfv 6537  invgcminusg 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-minusg 18867
This theorem is referenced by:  deg1invg  25997
  Copyright terms: Public domain W3C validator