Theorem grpinvfvi 18863

Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpinvfvi.t	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfvi	⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfvi.t	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
2		fvi 6963	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
4		base0 17145	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
6	4, 5	grpinvfn 18862	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
7		fn0 6678	. . . . 5 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
8	6, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (invg‘∅) = ∅
9		fvprc 6880	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
10	9	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11		fvprc 6880	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘𝐺) = ∅)
12	8, 10, 11	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
13	3, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺)
14	1, 13	eqtr4i 2764	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4321   I cid 5572   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  inv_gcminusg 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-nn 12209  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-minusg 18819

This theorem is referenced by:  deg1invg  25606