Theorem grpinvfvi 18897

Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpinvfvi.t	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfvi	⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfvi.t	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
2		fvi 6904	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
4		base0 17127	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
6	4, 5	grpinvfn 18896	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
7		fn0 6617	. . . . 5 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (invg‘∅) = ∅
9		fvprc 6820	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
10	9	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11		fvprc 6820	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘𝐺) = ∅)
12	8, 10, 11	3eqtr4a 2794	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
13	3, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺)
14	1, 13	eqtr4i 2759	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282   I cid 5513   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  inv_gcminusg 18849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12133  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-minusg 18852

This theorem is referenced by:  deg1invg  26039