MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvfvi 18943
Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
grpinvfvi.t 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvfvi 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi
StepHypRef Expression
1 grpinvfvi.t . 2 𝑁 = (invg𝐺)
2 fvi 6969 . . . 4 (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
32fveq2d 6896 . . 3 (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺))
4 base0 17184 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
5 eqid 2725 . . . . . 6 (invg‘∅) = (invg‘∅)
64, 5grpinvfn 18942 . . . . 5 (invg‘∅) Fn ∅
7 fn0 6681 . . . . 5 ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
86, 7mpbi 229 . . . 4 (invg‘∅) = ∅
9 fvprc 6884 . . . . 5 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
109fveq2d 6896 . . . 4 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11 fvprc 6884 . . . 4 𝐺 ∈ V → (invg𝐺) = ∅)
128, 10, 113eqtr4a 2791 . . 3 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺))
133, 12pm2.61i 182 . 2 (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg𝐺)
141, 13eqtr4i 2756 1 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  c0 4318   I cid 5569   Fn wfn 6538  cfv 6543  invgcminusg 18895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-minusg 18898
This theorem is referenced by:  deg1invg  26060
  Copyright terms: Public domain W3C validator