Theorem grpinvfvi 18956

Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpinvfvi.t	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfvi	⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfvi.t	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
2		fvi 6910	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
4		base0 17182	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
6	4, 5	grpinvfn 18955	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
7		fn0 6623	. . . . 5 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
8	6, 7	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (invg‘∅) = ∅
9		fvprc 6826	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘𝐺) = ∅)
12	8, 10, 11	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
13	3, 12	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺)
14	1, 13	eqtr4i 2766	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∅c0 4268   I cid 5519   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  inv_gcminusg 18908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-minusg 18911

This theorem is referenced by:  deg1invg  26096