Theorem grpinvfvi 19059

Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpinvfvi.t	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfvi	⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfvi.t	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
2		fvi 6961	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
4		base0 17284	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
6	4, 5	grpinvfn 19058	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
7		fn0 6670	. . . . 5 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (invg‘∅) = ∅
9		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
10	9	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘𝐺) = ∅)
12	8, 10, 11	3eqtr4a 2827	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
13	3, 12	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺)
14	1, 13	eqtr4i 2792	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289   I cid 5558   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  inv_gcminusg 19011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12244  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-minusg 19014

This theorem is used by:  deg1invg  26278