Theorem grpinvfvi 17923

Description: The group inverse function is compatible with identity-function protection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpinvfvi.t	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvfvi	⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem grpinvfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvfvi.t	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
2		fvi 6562	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	fveq2d 6497	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
4		base0 16382	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
6	4, 5	grpinvfn 17922	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
7		fn0 6303	. . . . 5 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
8	6, 7	mpbi 222	. . . 4 ⊢ (invg‘∅) = ∅
9		fvprc 6486	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
10	9	fveq2d 6497	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘∅))
11		fvprc 6486	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘𝐺) = ∅)
12	8, 10, 11	3eqtr4a 2834	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺))
13	3, 12	pm2.61i 177	. 2 ⊢ (invg‘( I ‘𝐺)) = (invg‘𝐺)
14	1, 13	eqtr4i 2799	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  ∅c0 4173   I cid 5304   Fn wfn 6177  ‘cfv 6182  inv_gcminusg 17882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-slot 16333  df-base 16335  df-minusg 17885

This theorem is referenced by:  deg1invg  24393