Theorem deg1invg 26228

Description: The degree of the negated polynomial is the same as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1invg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1invg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
deg1invg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1invg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1invg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1lmod 22376	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ LMod)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
5		deg1invg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1invg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		deg1invg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
8	2	ply1sca2 22378	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑌)
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘( I ‘𝑅))
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	11	grpinvfvi 19045	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘( I ‘𝑅))
13	6, 7, 8, 9, 10, 12	lmodvneg1 21000	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
14	4, 5, 13	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
15	14	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘(𝑁‘𝐹)))
16		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2769	. . 3 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
18		fvi 6955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
19	1, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
22		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	17, 22	unitrrg 20784	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	1, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	22, 25	1unit 20452	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
27	22, 11	unitnegcl 20475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	1, 26, 27	syl2anc2 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
29	24, 28	sseldd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (RLReg‘𝑅))
30	21, 29	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) ∈ (RLReg‘𝑅))
31	2, 16, 1, 6, 17, 9, 30, 5	deg1vsca 26227	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
32	15, 31	eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   I cid 5553  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ·_𝑠 cvsca 17310  inv_gcminusg 18997  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  Unitcui 20433  RLRegcrlreg 20772  LModclmod 20955  Poly₁cpl1 22302  deg₁cdg1 26176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rlreg 20775  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-psr1 22305  df-ply1 22307  df-mdeg 26177  df-deg1 26178

This theorem is referenced by:  deg1suble  26229  deg1sub  26230