Theorem deg1invg 26263

Description: The degree of the negated polynomial is the same as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1invg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1invg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
deg1invg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1invg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1invg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1lmod 22411	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ LMod)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
5		deg1invg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1invg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		deg1invg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
8	2	ply1sca2 22413	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑌)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘( I ‘𝑅))
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	11	grpinvfvi 19044	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘( I ‘𝑅))
13	6, 7, 8, 9, 10, 12	lmodvneg1 21026	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
14	4, 5, 13	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
15	14	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘(𝑁‘𝐹)))
16		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
18		fvi 6957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
19	1, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	17, 22	unitrrg 20802	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	1, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	22, 25	1unit 20452	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
27	22, 11	unitnegcl 20475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	1, 26, 27	syl2anc2 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
29	24, 28	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (RLReg‘𝑅))
30	21, 29	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) ∈ (RLReg‘𝑅))
31	2, 16, 1, 6, 17, 9, 30, 5	deg1vsca 26262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
32	15, 31	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   I cid 5555  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ·_𝑠 cvsca 17309  inv_gcminusg 18996  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  Unitcui 20433  RLRegcrlreg 20790  LModclmod 20981  Poly₁cpl1 22337  deg₁cdg1 26211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rlreg 20793  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-psr 22059  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-mdeg 26212  df-deg1 26213

This theorem is referenced by:  deg1suble  26264  deg1sub  26265