Theorem deg1invg 26084

Description: The degree of the negated polynomial is the same as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1invg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1invg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
deg1invg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1invg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1invg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1addle.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1lmod 22228	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ LMod)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
5		deg1invg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1invg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		deg1invg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
8	2	ply1sca2 22230	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑌)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘( I ‘𝑅))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12	11	grpinvfvi 18952	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘( I ‘𝑅))
13	6, 7, 8, 9, 10, 12	lmodvneg1 20894	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
14	4, 5, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹) = (𝑁‘𝐹))
15	14	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘(𝑁‘𝐹)))
16		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
18		fvi 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
19	1, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	20	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	17, 22	unitrrg 20674	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	1, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26	22, 25	1unit 20348	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
27	22, 11	unitnegcl 20371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
28	1, 26, 27	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
29	24, 28	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (RLReg‘𝑅))
30	21, 29	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅))) ∈ (RLReg‘𝑅))
31	2, 16, 1, 6, 17, 9, 30, 5	deg1vsca 26083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((invg‘𝑅)‘(1r‘( I ‘𝑅)))( ·𝑠 ‘𝑌)𝐹)) = (𝐷‘𝐹))
32	15, 31	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑁‘𝐹)) = (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   I cid 5519  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ·_𝑠 cvsca 17218  inv_gcminusg 18904  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  Unitcui 20329  RLRegcrlreg 20662  LModclmod 20849  Poly₁cpl1 22153  deg₁cdg1 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rlreg 20665  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-psr 21902  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-ply1 22158  df-mdeg 26033  df-deg1 26034

This theorem is referenced by:  deg1suble  26085  deg1sub  26086