MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfzslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfzslem 18698
Description: Lemma for telgsumfzs 18699 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfzs.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfzs.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖   𝑦,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑘)   𝐺(𝑦,𝑘)   𝑀(𝑦)   (𝑦,𝑘)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2797 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
43adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 18511 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantl 474 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 fzfid 13023 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
9 ablgrp 18510 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1110ad2antrl 720 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
1211adantr 473 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝐺 ∈ Grp)
13 fzelp1 12643 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → 𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
14 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
1514adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4200 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
1713, 15, 16syl2anr 591 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
18 fzp1elp1 12644 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
19 rspcsbela 4200 . . . . . . 7 (((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
2018, 15, 19syl2anr 591 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
221, 21grpsubcl 17808 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2312, 17, 20, 22syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
24 fzp1disj 12649 . . . . . 6 ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅)
26 fzsuc 12638 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
2726adantr 473 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 18642 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
2928adantr 473 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
30 simpr 478 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶))
31 grpmnd 17742 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3332ad2antrl 720 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 ovexd 6910 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) ∈ V)
35 peano2uz 11981 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
36 eluzfz2 12599 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
38 fzelp1 12643 . . . . . . . . 9 ((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
40 rspcsbela 4200 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4139, 14, 40syl2an 590 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
42 peano2uz 11981 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
4335, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
44 eluzfz2 12599 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
46 rspcsbela 4200 . . . . . . . 8 ((((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4745, 14, 46syl2an 590 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
481, 21grpsubcl 17808 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
4911, 41, 47, 48syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
50 csbeq1 3729 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)
51 oveq1 6883 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑦 + 1) + 1))
5251csbeq1d 3733 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)
5350, 52oveq12d 6894 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5453adantl 474 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 = (𝑦 + 1)) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
551, 33, 34, 49, 54gsumsnd 18664 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5655adantr 473 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5730, 56oveq12d 6894 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))) = ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
58 eluzfz1 12598 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
5943, 58syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
60 rspcsbela 4200 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
6159, 14, 60syl2an 590 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
621, 2, 21grpnpncan 17823 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 / 𝑘𝐶𝐵(𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6311, 61, 41, 47, 62syl13anc 1492 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6463adantr 473 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6529, 57, 643eqtrd 2835 . 2 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6665ex 402 1 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383  csb 3726  cun 3765  cin 3766  c0 4113  {csn 4366  cmpt 4920  cfv 6099  (class class class)co 6876  1c1 10223   + caddc 10225  cuz 11926  ...cfz 12576  Basecbs 16181  +gcplusg 16264   Σg cgsu 16413  Mndcmnd 17606  Grpcgrp 17735  -gcsg 17737  CMndccmn 18505  Abelcabl 18506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  18699
  Copyright terms: Public domain W3C validator