MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfzslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfzslem 19897
Description: Lemma for telgsumfzs 19898 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfzs.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfzs.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖   𝑦,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑘)   𝐺(𝑦,𝑘)   𝑀(𝑦)   (𝑦,𝑘)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2730 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 19696 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantl 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 fzfid 13942 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
9 ablgrp 19694 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1110ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
1211adantr 479 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝐺 ∈ Grp)
13 fzelp1 13557 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → 𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
14 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4434 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
1713, 15, 16syl2anr 595 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
18 fzp1elp1 13558 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
19 rspcsbela 4434 . . . . . . 7 (((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
2018, 15, 19syl2anr 595 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
221, 21grpsubcl 18939 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2312, 17, 20, 22syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
24 fzp1disj 13564 . . . . . 6 ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅)
26 fzsuc 13552 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
2726adantr 479 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 19839 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
2928adantr 479 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
30 simpr 483 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶))
3110grpmndd 18868 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3231ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33 ovexd 7446 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) ∈ V)
34 peano2uz 12889 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13513 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
37 fzelp1 13557 . . . . . . . . 9 ((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
39 rspcsbela 4434 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4038, 14, 39syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
41 peano2uz 12889 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
4234, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
43 eluzfz2 13513 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
45 rspcsbela 4434 . . . . . . . 8 ((((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4644, 14, 45syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
471, 21grpsubcl 18939 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
4811, 40, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
49 csbeq1 3895 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)
50 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑦 + 1) + 1))
5150csbeq1d 3896 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)
5249, 51oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5352adantl 480 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 = (𝑦 + 1)) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
541, 32, 33, 48, 53gsumsnd 19861 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5554adantr 479 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5630, 55oveq12d 7429 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))) = ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
57 eluzfz1 13512 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
5842, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
59 rspcsbela 4434 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
6058, 14, 59syl2an 594 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
611, 2, 21grpnpncan 18954 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 / 𝑘𝐶𝐵(𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6211, 60, 40, 46, 61syl13anc 1370 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6362adantr 479 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6429, 56, 633eqtrd 2774 . 2 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6564ex 411 1 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  Vcvv 3472  csb 3892  cun 3945  cin 3946  c0 4321  {csn 4627  cmpt 5230  cfv 6542  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115  cuz 12826  ...cfz 13488  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   Σg cgsu 17390  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  CMndccmn 19689  Abelcabl 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  19898
  Copyright terms: Public domain W3C validator