MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfzslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfzslem 20021
Description: Lemma for telgsumfzs 20022 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfzs.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfzs.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖   𝑦,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑘)   𝐺(𝑦,𝑘)   𝑀(𝑦)   (𝑦,𝑘)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 19820 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 fzfid 14011 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
9 ablgrp 19818 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1110ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
1211adantr 480 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝐺 ∈ Grp)
13 fzelp1 13613 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → 𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4444 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
1713, 15, 16syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
18 fzp1elp1 13614 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
19 rspcsbela 4444 . . . . . . 7 (((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
2018, 15, 19syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
221, 21grpsubcl 19051 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2312, 17, 20, 22syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
24 fzp1disj 13620 . . . . . 6 ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅)
26 fzsuc 13608 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 19963 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
2928adantr 480 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
30 simpr 484 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶))
3110grpmndd 18977 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3231ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) ∈ V)
34 peano2uz 12941 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13569 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
37 fzelp1 13613 . . . . . . . . 9 ((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
39 rspcsbela 4444 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4038, 14, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
41 peano2uz 12941 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
4234, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
43 eluzfz2 13569 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
45 rspcsbela 4444 . . . . . . . 8 ((((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4644, 14, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
471, 21grpsubcl 19051 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
4811, 40, 46, 47syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
49 csbeq1 3911 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)
50 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑦 + 1) + 1))
5150csbeq1d 3912 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)
5249, 51oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5352adantl 481 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 = (𝑦 + 1)) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
541, 32, 33, 48, 53gsumsnd 19985 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5554adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5630, 55oveq12d 7449 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))) = ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
57 eluzfz1 13568 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
5842, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
59 rspcsbela 4444 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
6058, 14, 59syl2an 596 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
611, 2, 21grpnpncan 19066 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 / 𝑘𝐶𝐵(𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6211, 60, 40, 46, 61syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6362adantr 480 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6429, 56, 633eqtrd 2779 . 2 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6564ex 412 1 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cuz 12876  ...cfz 13544  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  CMndccmn 19813  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  20022
  Copyright terms: Public domain W3C validator