MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfzslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfzslem 19765
Description: Lemma for telgsumfzs 19766 (induction step). (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfzs.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfzs.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
telgsumfzslem ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖   𝑦,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑘)   𝐺(𝑦,𝑘)   𝑀(𝑦)   (𝑦,𝑘)

Proof of Theorem telgsumfzslem
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 telgsumfzs.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 19569 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 fzfid 13878 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
9 ablgrp 19567 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1110ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
1211adantr 481 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝐺 ∈ Grp)
13 fzelp1 13493 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → 𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4395 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
1713, 15, 16syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
18 fzp1elp1 13494 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
19 rspcsbela 4395 . . . . . . 7 (((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
2018, 15, 19syl2anr 597 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
21 telgsumfzs.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
221, 21grpsubcl 18827 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2312, 17, 20, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
24 fzp1disj 13500 . . . . . 6 ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀...𝑦) ∩ {(𝑦 + 1)}) = ∅)
26 fzsuc 13488 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑀...(𝑦 + 1)) = ((𝑀...𝑦) ∪ {(𝑦 + 1)}))
281, 2, 7, 8, 23, 25, 27gsummptfidmsplit 19707 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
2928adantr 481 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))))
30 simpr 485 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶))
3110grpmndd 18760 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3231ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) ∈ V)
34 peano2uz 12826 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13449 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)))
37 fzelp1 13493 . . . . . . . . 9 ((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
39 rspcsbela 4395 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4038, 14, 39syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
41 peano2uz 12826 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
4234, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
43 eluzfz2 13449 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
45 rspcsbela 4395 . . . . . . . 8 ((((𝑦 + 1) + 1) ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
4644, 14, 45syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
471, 21grpsubcl 18827 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
4811, 40, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
49 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)
50 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑦 + 1) + 1))
5150csbeq1d 3859 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)
5249, 51oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑦 + 1) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5352adantl 482 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ 𝑖 = (𝑦 + 1)) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
541, 32, 33, 48, 53gsumsnd 19729 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5554adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = ((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
5630, 55oveq12d 7375 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑖 ∈ {(𝑦 + 1)} ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶)))) = ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
57 eluzfz1 13448 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
5842, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
59 rspcsbela 4395 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
6058, 14, 59syl2an 596 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → 𝑀 / 𝑘𝐶𝐵)
611, 2, 21grpnpncan 18842 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 / 𝑘𝐶𝐵(𝑦 + 1) / 𝑘𝐶𝐵((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6211, 60, 40, 46, 61syl13anc 1372 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6362adantr 481 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → ((𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)(+g𝐺)((𝑦 + 1) / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6429, 56, 633eqtrd 2780 . 2 (((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) ∧ (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶)) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶))
6564ex 413 1 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐶𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 (𝑦 + 1) / 𝑘𝐶) → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝑀 / 𝑘𝐶 ((𝑦 + 1) + 1) / 𝑘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  cun 3908  cin 3909  c0 4282  {csn 4586  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  cuz 12763  ...cfz 13424  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565
This theorem is referenced by:  telgsumfzs  19766
  Copyright terms: Public domain W3C validator