MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 19632
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
frgpmhm.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpmhm.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯, ∼
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8479 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7736 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
54frmdmnd 18739 . . 3 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
87frgpgrp 19629 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18831 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
114, 10frmdbas 18732 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
12 wrdexg 14473 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
13 fvi 6967 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1511, 14eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
1716eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
1817biimpa 477 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
19 frgpmhm.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
20 eqid 2732 . . . . . 6 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
21 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
227, 19, 20, 21frgpeccl 19628 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2318, 22syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
24 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
2523, 24fmptd 7113 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
2620, 19efger 19585 . . . . . . . 8 ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
27 ereq2 8710 . . . . . . . . 9 (π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2926, 28mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ∼ Er π‘Š)
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ∼ Er π‘Š)
3110fvexi 6905 . . . . . . 7 π‘Š ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
3330, 32, 24divsfval 17492 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
34 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
354, 10, 34frmdadd 18735 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3635adantl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3736fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)))
3830, 32, 24divsfval 17492 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = [π‘Ž] ∼ )
3930, 32, 24divsfval 17492 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = [𝑏] ∼ )
4038, 39oveq12d 7426 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ))
4116eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž ∈ π‘Š ↔ π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4216eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑏 ∈ π‘Š ↔ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4341, 42anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) ↔ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))))
4443biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
45 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4620, 7, 19, 45frgpadd 19630 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4840, 47eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4933, 37, 483eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5049ralrimivva 3200 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5131a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š ∈ V)
5229, 51, 24divsfval 17492 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = [βˆ…] ∼ )
537, 19frgp0 19627 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ)))
5453simprd 496 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ))
5552, 54eqtrd 2772 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))
5625, 50, 553jca 1128 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)))
574frmd0 18740 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
58 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5910, 21, 34, 45, 57, 58ismhm 18672 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))))
606, 9, 56, 59syl21anbrc 1344 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  2oc2o 8459   Er wer 8699  [cec 8700  Word cword 14463   ++ cconcat 14519  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  freeMndcfrmd 18727  Grpcgrp 18818   ~FG cefg 19573  freeGrpcfrgp 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-frmd 18729  df-grp 18821  df-efg 19576  df-frgp 19577
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19644
  Copyright terms: Public domain W3C validator