MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 18651
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 7914 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7290 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 678 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
54frmdmnd 17865 . . 3 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 18648 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17898 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
11 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
124, 11frmdbas 17858 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13 wrdexg 13682 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
14 fvi 6568 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1612, 15eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
173, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
1817eleq2d 2851 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
1918biimpa 469 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
21 eqid 2778 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
237, 20, 21, 22frgpeccl 18647 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
25 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2624, 25fmptd 6701 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2721, 20efger 18602 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
28 ereq2 8097 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
3027, 29mpbiri 250 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3130adantr 473 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
3211fvexi 6513 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3431, 33, 25divsfval 16676 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
35 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
364, 11, 35frmdadd 17861 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3736adantl 474 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3837fveq2d 6503 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
3931, 33, 25divsfval 16676 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
4031, 33, 25divsfval 16676 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4139, 40oveq12d 6994 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4217eleq2d 2851 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4317eleq2d 2851 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4442, 43anbi12d 621 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
4544biimpa 469 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
46 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4721, 7, 20, 46frgpadd 18649 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4845, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4941, 48eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5034, 38, 493eqtr4d 2824 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5150ralrimivva 3141 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5232a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5330, 52, 25divsfval 16676 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
547, 20frgp0 18646 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5554simprd 488 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5653, 55eqtrd 2814 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5726, 51, 563jca 1108 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
584frmd0 17866 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
59 eqid 2778 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6011, 22, 35, 46, 58, 59ismhm 17805 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
616, 10, 57, 60syl21anbrc 1324 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  Vcvv 3415  c0 4178  cmpt 5008   I cid 5311   × cxp 5405  Oncon0 6029  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  2oc2o 7899   Er wer 8086  [cec 8087  Word cword 13672   ++ cconcat 13733  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  0gc0g 16569  Mndcmnd 17762   MndHom cmhm 17801  freeMndcfrmd 17853  Grpcgrp 17891   ~FG cefg 18590  freeGrpcfrgp 18591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-ec 8091  df-qs 8095  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-splice 13960  df-reverse 13978  df-s2 14072  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-0g 16571  df-imas 16637  df-qus 16638  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-frmd 17855  df-grp 17894  df-efg 18593  df-frgp 18594
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18663
  Copyright terms: Public domain W3C validator