Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 18886
 Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8098 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7457 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
54frmdmnd 18019 . . 3 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 18883 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 18105 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
11 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
124, 11frmdbas 18012 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13 wrdexg 13871 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
14 fvi 6719 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1612, 15eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
173, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
1817eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
1918biimpa 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
21 eqid 2801 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
237, 20, 21, 22frgpeccl 18882 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
25 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2624, 25fmptd 6859 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2721, 20efger 18839 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
28 ereq2 8284 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
3027, 29mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3130adantr 484 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
3211fvexi 6663 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3431, 33, 25divsfval 16815 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
35 eqid 2801 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
364, 11, 35frmdadd 18015 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3736adantl 485 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3837fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
3931, 33, 25divsfval 16815 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
4031, 33, 25divsfval 16815 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4139, 40oveq12d 7157 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4217eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4317eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4442, 43anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
4544biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
46 eqid 2801 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4721, 7, 20, 46frgpadd 18884 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4845, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4941, 48eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
5034, 38, 493eqtr4d 2846 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5150ralrimivva 3159 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5232a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5330, 52, 25divsfval 16815 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
547, 20frgp0 18881 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5554simprd 499 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5653, 55eqtrd 2836 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5726, 51, 563jca 1125 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
584frmd0 18020 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
59 eqid 2801 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6011, 22, 35, 46, 58, 59ismhm 17953 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
616, 10, 57, 60syl21anbrc 1341 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  Oncon0 6163  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  2oc2o 8083   Er wer 8273  [cec 8274  Word cword 13861   ++ cconcat 13917  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  0gc0g 16708  Mndcmnd 17906   MndHom cmhm 17949  freeMndcfrmd 18007  Grpcgrp 18098   ~FG cefg 18827  freeGrpcfrgp 18828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-imas 16776  df-qus 16777  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-frmd 18009  df-grp 18101  df-efg 18830  df-frgp 18831 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18898
 Copyright terms: Public domain W3C validator