Theorem frgpmhm 19834

Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpmhm.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
frgpmhm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8466	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
2		xpexg 7748	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4		frgpmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
5	4	frmdmnd 18917	. . 3 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		frgpmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8	7	frgpgrp 19831	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 19012	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		frgpmhm.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
11	4, 10	frmdbas 18910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		wrdexg 14560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
13		fvi 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	11, 14	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
16	3, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
17	16	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
18	17	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
19		frgpmhm.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 19, 20, 21	frgpeccl 19830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
24		frgpmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )
25	23, 24	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
26	20, 19	efger 19787	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
27		ereq2 8702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
28	16, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
29	26, 28	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∼ Er 𝑊)
30	29	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ∼ Er 𝑊)
31	10	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
33	30, 32, 24	divsfval 17600	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
34		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
35	4, 10, 34	frmdadd 18913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
36	35	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
37	36	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
38	30, 32, 24	divsfval 17600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎] ∼ )
39	30, 32, 24	divsfval 17600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏] ∼ )
40	38, 39	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ))
41	16	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑊 ↔ 𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
42	16	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑏 ∈ 𝑊 ↔ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
43	41, 42	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
44	43	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
45		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	20, 7, 19, 45	frgpadd 19832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
47	44, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
48	40, 47	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
49	33, 37, 48	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
50	49	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
51	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
52	29, 51, 24	divsfval 17600	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] ∼ )
53	7, 19	frgp0 19829	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
54	53	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
55	52, 54	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))
56	25, 50, 55	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺)))
57	4	frmd0 18918	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
58		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
59	10, 21, 34, 45, 57, 58	ismhm 18842	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))))
60	6, 9, 56, 59	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5191   I cid 5555   × cxp 5659  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  2_oc2o 8446   Er wer 8690  [cec 8691  Word cword 14549   ++ cconcat 14606  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791   MndHom cmhm 18838  freeMndcfrmd 18905  Grpcgrp 18999   ~_FG cefg 19775  freeGrpcfrgp 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-splice 14786  df-reverse 14795  df-s2 14884  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-0g 17493  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-frmd 18907  df-grp 19002  df-efg 19778  df-frgp 19779

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19846