Theorem frgpmhm 19807

Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpmhm.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
frgpmhm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8536	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
2		xpexg 7785	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4		frgpmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
5	4	frmdmnd 18894	. . 3 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		frgpmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8	7	frgpgrp 19804	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 18986	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		frgpmhm.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
11	4, 10	frmdbas 18887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		wrdexg 14572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
13		fvi 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	11, 14	eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
16	3, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
17	16	eleq2d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
18	17	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
19		frgpmhm.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 19, 20, 21	frgpeccl 19803	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
24		frgpmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )
25	23, 24	fmptd 7148	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
26	20, 19	efger 19760	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
27		ereq2 8771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
29	26, 28	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∼ Er 𝑊)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ∼ Er 𝑊)
31	10	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
33	30, 32, 24	divsfval 17607	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
34		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
35	4, 10, 34	frmdadd 18890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
36	35	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
37	36	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
38	30, 32, 24	divsfval 17607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎] ∼ )
39	30, 32, 24	divsfval 17607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏] ∼ )
40	38, 39	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ))
41	16	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑊 ↔ 𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
42	16	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑏 ∈ 𝑊 ↔ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
43	41, 42	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
44	43	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
45		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	20, 7, 19, 45	frgpadd 19805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
47	44, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
48	40, 47	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
49	33, 37, 48	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
50	49	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
51	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
52	29, 51, 24	divsfval 17607	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] ∼ )
53	7, 19	frgp0 19802	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
54	53	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
55	52, 54	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))
56	25, 50, 55	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺)))
57	4	frmd0 18895	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
58		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
59	10, 21, 34, 45, 57, 58	ismhm 18820	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))))
60	6, 9, 56, 59	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ∅c0 4352   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2_oc2o 8516   Er wer 8760  [cec 8761  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816  freeMndcfrmd 18882  Grpcgrp 18973   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-frmd 18884  df-grp 18976  df-efg 19751  df-frgp 19752

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19819