MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 19352
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8289 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7591 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 687 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
54frmdmnd 18479 . . 3 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 19349 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18570 . 2 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
10 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
114, 10frmdbas 18472 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12 wrdexg 14208 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
13 fvi 6838 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1511, 14eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
1716eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
1817biimpa 476 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
19 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
20 eqid 2739 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
21 eqid 2739 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
227, 19, 20, 21frgpeccl 19348 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2318, 22syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
24 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2523, 24fmptd 6982 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2620, 19efger 19305 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
27 ereq2 8480 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2926, 28mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
3110fvexi 6782 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3330, 32, 24divsfval 17239 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
34 eqid 2739 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
354, 10, 34frmdadd 18475 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3635adantl 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3736fveq2d 6772 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
3830, 32, 24divsfval 17239 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
3930, 32, 24divsfval 17239 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4038, 39oveq12d 7286 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4116eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4216eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4341, 42anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
4443biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
45 eqid 2739 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4620, 7, 19, 45frgpadd 19350 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4840, 47eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4933, 37, 483eqtr4d 2789 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5049ralrimivva 3116 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5131a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5229, 51, 24divsfval 17239 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
537, 19frgp0 19347 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5453simprd 495 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5552, 54eqtrd 2779 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5625, 50, 553jca 1126 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
574frmd0 18480 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
58 eqid 2739 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5910, 21, 34, 45, 57, 58ismhm 18413 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
606, 9, 56, 59syl21anbrc 1342 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065  Vcvv 3430  c0 4261  cmpt 5161   I cid 5487   × cxp 5586  Oncon0 6263  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  2oc2o 8275   Er wer 8469  [cec 8470  Word cword 14198   ++ cconcat 14254  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  0gc0g 17131  Mndcmnd 18366   MndHom cmhm 18409  freeMndcfrmd 18467  Grpcgrp 18558   ~FG cefg 19293  freeGrpcfrgp 19294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-ec 8474  df-qs 8478  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-concat 14255  df-s1 14282  df-substr 14335  df-pfx 14365  df-splice 14444  df-reverse 14453  df-s2 14542  df-struct 16829  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-0g 17133  df-imas 17200  df-qus 17201  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-frmd 18469  df-grp 18561  df-efg 19296  df-frgp 19297
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator