MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 19674
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
frgpmhm.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpmhm.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯, ∼
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8482 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7739 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 687 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
54frmdmnd 18776 . . 3 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
87frgpgrp 19671 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18868 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
114, 10frmdbas 18769 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
12 wrdexg 14478 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
13 fvi 6966 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1511, 14eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
1716eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
1817biimpa 475 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
19 frgpmhm.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
20 eqid 2730 . . . . . 6 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
21 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
227, 19, 20, 21frgpeccl 19670 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2318, 22syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
24 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
2523, 24fmptd 7114 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
2620, 19efger 19627 . . . . . . . 8 ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
27 ereq2 8713 . . . . . . . . 9 (π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2926, 28mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ∼ Er π‘Š)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ∼ Er π‘Š)
3110fvexi 6904 . . . . . . 7 π‘Š ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
3330, 32, 24divsfval 17497 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
34 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
354, 10, 34frmdadd 18772 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3635adantl 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3736fveq2d 6894 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)))
3830, 32, 24divsfval 17497 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = [π‘Ž] ∼ )
3930, 32, 24divsfval 17497 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = [𝑏] ∼ )
4038, 39oveq12d 7429 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ))
4116eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž ∈ π‘Š ↔ π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4216eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑏 ∈ π‘Š ↔ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4341, 42anbi12d 629 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) ↔ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))))
4443biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
45 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4620, 7, 19, 45frgpadd 19672 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4840, 47eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4933, 37, 483eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5049ralrimivva 3198 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5131a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š ∈ V)
5229, 51, 24divsfval 17497 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = [βˆ…] ∼ )
537, 19frgp0 19669 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ)))
5453simprd 494 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ))
5552, 54eqtrd 2770 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))
5625, 50, 553jca 1126 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)))
574frmd0 18777 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
58 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5910, 21, 34, 45, 57, 58ismhm 18707 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))))
606, 9, 56, 59syl21anbrc 1342 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  2oc2o 8462   Er wer 8702  [cec 8703  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  freeMndcfrmd 18764  Grpcgrp 18855   ~FG cefg 19615  freeGrpcfrgp 19616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-frmd 18766  df-grp 18858  df-efg 19618  df-frgp 19619
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19686
  Copyright terms: Public domain W3C validator