MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 19555
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
frgpmhm.w π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpmhm.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯, ∼
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8430 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7688 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
54frmdmnd 18677 . . 3 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
87frgpgrp 19552 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18768 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (Baseβ€˜π‘€)
114, 10frmdbas 18670 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
12 wrdexg 14421 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
13 fvi 6921 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1511, 14eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
1716eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
1817biimpa 478 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
19 frgpmhm.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
20 eqid 2733 . . . . . 6 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
227, 19, 20, 21frgpeccl 19551 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2318, 22syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
24 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ [π‘₯] ∼ )
2523, 24fmptd 7066 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
2620, 19efger 19508 . . . . . . . 8 ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
27 ereq2 8662 . . . . . . . . 9 (π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ( ∼ Er π‘Š ↔ ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
2926, 28mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ∼ Er π‘Š)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ∼ Er π‘Š)
3110fvexi 6860 . . . . . . 7 π‘Š ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
3330, 32, 24divsfval 17437 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
354, 10, 34frmdadd 18673 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3635adantl 483 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ++ 𝑏))
3736fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = (πΉβ€˜(π‘Ž ++ 𝑏)))
3830, 32, 24divsfval 17437 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = [π‘Ž] ∼ )
3930, 32, 24divsfval 17437 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = [𝑏] ∼ )
4038, 39oveq12d 7379 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ))
4116eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž ∈ π‘Š ↔ π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4216eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑏 ∈ π‘Š ↔ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
4341, 42anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š) ↔ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))))
4443biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))))
45 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4620, 7, 19, 45frgpadd 19553 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4840, 47eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) = [(π‘Ž ++ 𝑏)] ∼ )
4933, 37, 483eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5049ralrimivva 3194 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)))
5131a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘Š ∈ V)
5229, 51, 24divsfval 17437 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = [βˆ…] ∼ )
537, 19frgp0 19550 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ)))
5453simprd 497 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ))
5552, 54eqtrd 2773 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))
5625, 50, 553jca 1129 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)))
574frmd0 18678 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
58 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5910, 21, 34, 45, 57, 58ismhm 18611 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ π‘Š βˆ€π‘ ∈ π‘Š (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ (πΉβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))))
606, 9, 56, 59syl21anbrc 1345 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635  Oncon0 6321  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  2oc2o 8410   Er wer 8651  [cec 8652  Word cword 14411   ++ cconcat 14467  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564   MndHom cmhm 18607  freeMndcfrmd 18665  Grpcgrp 18756   ~FG cefg 19496  freeGrpcfrgp 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-frmd 18667  df-grp 18759  df-efg 19499  df-frgp 19500
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19567
  Copyright terms: Public domain W3C validator