MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpmhm 19757
Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r = ( ~FG𝐼)
frgpmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
Assertion
Ref Expression
frgpmhm (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 8500 . . . 4 2o ∈ On
2 xpexg 7748 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
31, 2mpan2 689 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4 frgpmhm.m . . . 4 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
54frmdmnd 18842 . . 3 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
7 frgpmhm.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
87frgpgrp 19754 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18934 . 2 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Mnd)
10 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑀)
114, 10frmdbas 18835 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12 wrdexg 14525 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
13 fvi 6968 . . . . . . . . . 10 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
1511, 14eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
1716eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑊𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
1817biimpa 475 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
19 frgpmhm.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
20 eqid 2726 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
21 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
227, 19, 20, 21frgpeccl 19753 . . . . 5 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
2318, 22syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥𝑊) → [𝑥] ∈ (Base‘𝐺))
24 frgpmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑊 ↦ [𝑥] )
2523, 24fmptd 7118 . . 3 (𝐼𝑉𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
2620, 19efger 19710 . . . . . . . 8 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
27 ereq2 8732 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ( Er 𝑊 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
2926, 28mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 Er 𝑊)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → Er 𝑊)
3110fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
3330, 32, 24divsfval 17555 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
34 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
354, 10, 34frmdadd 18838 . . . . . . 7 ((𝑎𝑊𝑏𝑊) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3635adantl 480 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
3736fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
3830, 32, 24divsfval 17555 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑎) = [𝑎] )
3930, 32, 24divsfval 17555 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹𝑏) = [𝑏] )
4038, 39oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ))
4116eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑎𝑊𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4216eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝑏𝑊𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
4341, 42anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → ((𝑎𝑊𝑏𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
4443biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
45 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4620, 7, 19, 45frgpadd 19755 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ([𝑎] (+g𝐺)[𝑏] ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4840, 47eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] )
4933, 37, 483eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑎𝑊𝑏𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5049ralrimivva 3191 . . 3 (𝐼𝑉 → ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)))
5131a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑊 ∈ V)
5229, 51, 24divsfval 17555 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] )
537, 19frgp0 19752 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
5453simprd 494 . . . 4 (𝐼𝑉 → [∅] = (0g𝐺))
5552, 54eqtrd 2766 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g𝐺))
5625, 50, 553jca 1125 . 2 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺)))
574frmd0 18843 . . 3 ∅ = (0g𝑀)
58 eqid 2726 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5910, 21, 34, 45, 57, 58ismhm 18768 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑊𝑏𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝐺)(𝐹𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g𝐺))))
606, 9, 56, 59syl21anbrc 1341 1 (𝐼𝑉𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3463  c0 4323  cmpt 5227   I cid 5570   × cxp 5671  Oncon0 6366  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  2oc2o 8480   Er wer 8721  [cec 8722  Word cword 14515   ++ cconcat 14571  Basecbs 17206  +gcplusg 17259  0gc0g 17447  Mndcmnd 18720   MndHom cmhm 18764  freeMndcfrmd 18830  Grpcgrp 18921   ~FG cefg 19698  freeGrpcfrgp 19699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-hash 14341  df-word 14516  df-lsw 14564  df-concat 14572  df-s1 14597  df-substr 14642  df-pfx 14672  df-splice 14751  df-reverse 14760  df-s2 14850  df-struct 17142  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-0g 17449  df-imas 17516  df-qus 17517  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-frmd 18832  df-grp 18924  df-efg 19701  df-frgp 19702
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19769
  Copyright terms: Public domain W3C validator