Theorem frgpmhm 19807

Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpmhm.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
frgpmhm.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
frgpmhm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8453	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
2		xpexg 7735	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3	1, 2	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4		frgpmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
5	4	frmdmnd 18895	. . 3 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		frgpmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8	7	frgpgrp 19804	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 18990	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
10		frgpmhm.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
11	4, 10	frmdbas 18888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		wrdexg 14539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
13		fvi 6945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
15	11, 14	eqtr4d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
16	3, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
17	16	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
18	17	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
19		frgpmhm.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
21		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 19, 20, 21	frgpeccl 19803	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
24		frgpmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )
25	23, 24	fmptd 7097	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
26	20, 19	efger 19760	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
27		ereq2 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
29	26, 28	mpbiri 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∼ Er 𝑊)
30	29	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ∼ Er 𝑊)
31	10	fvexi 6883	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
33	30, 32, 24	divsfval 17579	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
34		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
35	4, 10, 34	frmdadd 18891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
36	35	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
37	36	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
38	30, 32, 24	divsfval 17579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎] ∼ )
39	30, 32, 24	divsfval 17579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏] ∼ )
40	38, 39	oveq12d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ))
41	16	eleq2d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑊 ↔ 𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
42	16	eleq2d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑏 ∈ 𝑊 ↔ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
43	41, 42	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))))
44	43	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))))
45		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	20, 7, 19, 45	frgpadd 19805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
47	44, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
48	40, 47	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
49	33, 37, 48	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
50	49	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
51	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
52	29, 51, 24	divsfval 17579	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] ∼ )
53	7, 19	frgp0 19802	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
54	53	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
55	52, 54	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))
56	25, 50, 55	3jca 1142	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺)))
57	4	frmd0 18896	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
58		eqid 2764	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
59	10, 21, 34, 45, 57, 58	ismhm 18821	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))))
60	6, 9, 56, 59	syl21anbrc 1359	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  Vcvv 3456  ∅c0 4287   ↦ cmpt 5183   I cid 5543   × cxp 5647  Oncon0 6348  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  2_oc2o 8433   Er wer 8677  [cec 8678  Word cword 14528   ++ cconcat 14585  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  0_gc0g 17470  Mndcmnd 18770   MndHom cmhm 18817  freeMndcfrmd 18883  Grpcgrp 18977   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-ec 8682  df-qs 8686  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-splice 14765  df-reverse 14774  df-s2 14863  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-0g 17472  df-imas 17540  df-qus 17541  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-frmd 18885  df-grp 18980  df-efg 19751  df-frgp 19752

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19819