MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitabl 20316
Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
unitabl (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl
StepHypRef Expression
1 crngring 20178 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 unitmulcl.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 unitgrp.2 . . . 4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
42, 3unitgrp 20315 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6 eqid 2727 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
76crngmgp 20174 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
85grpmndd 18896 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
93subcmn 19785 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
107, 8, 9syl2anc 583 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
11 isabl 19732 . 2 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
125, 10, 11sylanbrc 582 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  s cress 17202  Mndcmnd 18687  Grpcgrp 18883  CMndccmn 19728  Abelcabl 19729  mulGrpcmgp 20067  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167  Unitcui 20287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290
This theorem is referenced by:  cnmgpabl  21354  dchrpt  27193
  Copyright terms: Public domain W3C validator