Theorem unitabl 19154

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19044	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitmulcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 19153	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6		eqid 2773	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7	6	crngmgp 19041	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
8		grpmnd 17911	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10	3	subcmn 18728	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
11	7, 9, 10	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
12		isabl 18683	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
13	5, 11, 12	sylanbrc 575	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975   ↾_s cress 16339  Mndcmnd 17775  Grpcgrp 17904  CMndccmn 18679  Abelcabl 18680  mulGrpcmgp 18975  Ringcrg 19033  CRingccrg 19034  Unitcui 19125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-tpos 7694  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-cring 19036  df-oppr 19109  df-dvdsr 19127  df-unit 19128

This theorem is referenced by:  cnmgpabl  20324  dchrpt  25561