Theorem psgneldm2 19522

Description: The finitary permutations are the span of the transpositions. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneldm2	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem psgneldm2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		psgnval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 19519	. . . . 5 ⊢ 𝑁 Fn {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6	5	fndmi 6672	. . . 4 ⊢ dom 𝑁 = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
7		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
9	7, 1, 2, 8	symggen 19488	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
10	1	symggrp 19418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 18964	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
12	7, 1, 2	symgtrf 19487	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
13	2, 8	gsumwspan 18859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
15	9, 14	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
16	6, 15	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom 𝑁 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
17	16	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ 𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
19		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5973	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
21	17, 20	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225   I cid 5577  dom cdm 5685  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Word cword 14552  Basecbs 17247   Σ_g cgsu 17485  mrClscmrc 17626  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  SymGrpcsymg 19386  pmTrspcpmtr 19459  pmSgncpsgn 19507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509

This theorem is referenced by:  psgneldm2i  19523  psgneu  19524