Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneldm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgneldm2 18627
 Description: The finitary permutations are the span of the transpositions. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgneldm2 (𝐷𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem psgneldm2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnval.g . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2798 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4 psgnval.n . . . . . 6 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
51, 2, 3, 4psgnfn 18624 . . . . 5 𝑁 Fn {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
65fndmi 6426 . . . 4 dom 𝑁 = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
7 psgnval.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
97, 1, 2, 8symggen 18593 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
101symggrp 18523 . . . . . . 7 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
11 grpmnd 18104 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
137, 1, 2symgtrf 18592 . . . . . 6 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
142, 8gsumwspan 18005 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
1512, 13, 14sylancl 589 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
169, 15eqtr3d 2835 . . . 4 (𝐷𝑉 → {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
176, 16syl5eq 2845 . . 3 (𝐷𝑉 → dom 𝑁 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
1817eleq2d 2875 . 2 (𝐷𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
19 eqid 2798 . . 3 (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
20 ovex 7168 . . 3 (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
2119, 20elrnmpti 5796 . 2 (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
2218, 21syl6bb 290 1 (𝐷𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110   I cid 5424  dom cdm 5519  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8494  Word cword 13859  Basecbs 16477   Σg cgsu 16708  mrClscmrc 16848  Mndcmnd 17905  SubMndcsubmnd 17949  Grpcgrp 18097  SymGrpcsymg 18490  pmTrspcpmtr 18564  pmSgncpsgn 18612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13916  df-s1 13943  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-efmnd 18028  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18271  df-symg 18491  df-pmtr 18565  df-psgn 18614 This theorem is referenced by:  psgneldm2i  18628  psgneu  18629
 Copyright terms: Public domain W3C validator