Theorem psgneldm2 19474

Description: The finitary permutations are the span of the transpositions. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneldm2	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem psgneldm2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		psgnval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 19471	. . . . 5 ⊢ 𝑁 Fn {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6	5	fndmi 6593	. . . 4 ⊢ dom 𝑁 = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
7		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
8		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
9	7, 1, 2, 8	symggen 19440	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
10	1	symggrp 19370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 18917	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
12	7, 1, 2	symgtrf 19439	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
13	2, 8	gsumwspan 18809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
14	11, 12, 13	sylancl 593	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
15	9, 14	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
16	6, 15	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom 𝑁 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
17	16	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ 𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
18		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
19		ovex 7393	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5911	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
21	17, 20	bitrdi 289	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  {crab 3393   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156   I cid 5515  dom cdm 5621  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  Word cword 14470  Basecbs 17174   Σ_g cgsu 17398  mrClscmrc 17540  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18745  SymGrpcsymg 19339  pmTrspcpmtr 19411  pmSgncpsgn 19459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-efmnd 18832  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-symg 19340  df-pmtr 19412  df-psgn 19461

This theorem is referenced by:  psgneldm2i  19475  psgneu  19476