Theorem psgneldm2 19679

Description: The finitary permutations are the span of the transpositions. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgneldm2	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑇   𝑤,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem psgneldm2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		psgnval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	1, 2, 3, 4	psgnfn 19676	. . . . 5 ⊢ 𝑁 Fn {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
6	5	fndmi 6631	. . . 4 ⊢ dom 𝑁 = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
7		psgnval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
9	7, 1, 2, 8	symggen 19645	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
10	1	symggrp 19575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 19118	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
12	7, 1, 2	symgtrf 19644	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
13	2, 8	gsumwspan 19003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
14	11, 12, 13	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
15	9, 14	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑝 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
16	6, 15	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → dom 𝑁 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
17	16	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ 𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
19		ovex 7441	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5940	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤))
21	17, 20	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑃 = (𝐺 Σg 𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5185   I cid 5541  dom cdm 5647  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  Word cword 14625  Basecbs 17348   Σ_g cgsu 17572  mrClscmrc 17714  Mndcmnd 18884  SubMndcsubmnd 18938  SymGrpcsymg 19544  pmTrspcpmtr 19616  pmSgncpsgn 19664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-tset 17408  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-efmnd 19026  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-symg 19545  df-pmtr 19617  df-psgn 19666

This theorem is used by:  psgneldm2i  19680  psgneu  19681