Theorem clmmulg 23319

Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmmulg.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmmulg.2	⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
clmmulg.3	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmulg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem clmmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (0 ∙ 𝐵))
2		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑦 ∙ 𝐵))
5		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵))
8		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (-𝑦 ∙ 𝐵))
11		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝐴 ∙ 𝐵))
14		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		clmmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18		clmmulg.2	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
19	16, 17, 18	mulg0 17944	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
20	19	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
21		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		clmmulg.3	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23	16, 21, 22, 17	clm0vs 23313	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 · 𝐵) = (0g‘𝑊))
24	20, 23	eqtr4d 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵))
25		oveq1 6931	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
26		clmgrp 23286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
27		grpmnd 17827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Mnd)
29	28	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Mnd)
30		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
31		simplr 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑉)
32		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
33	16, 18, 32	mulgnn0p1 17950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
34	29, 30, 31, 33	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
35		simpll 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ ℂMod)
36		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
37	21, 36	clmzss 23296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
39		nn0z 11757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
41	38, 40	sseldd 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42		1zzd 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
43	38, 42	sseldd 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
44	16, 21, 22, 36, 32	clmvsdir 23309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
45	35, 41, 43, 31, 44	syl13anc 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
46	16, 22	clmvs1 23311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
47	46	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
48	47	oveq2d 6940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
49	45, 48	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
50	34, 49	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵)))
51	25, 50	syl5ibr 238	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
52	51	ex 403	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
53		fveq2 6448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
54	26	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
55		nnz 11756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
56	55	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
57		simplr 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
58		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
59	16, 18, 58	mulgneg 17957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
60	54, 56, 57, 59	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
61		simpll 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂMod)
62	37	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
63	62, 56	sseldd 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64	16, 21, 22, 58, 36, 61, 57, 63	clmvsneg 23318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)) = (-𝑦 · 𝐵))
65	64	eqcomd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
66	60, 65	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵))))
67	53, 66	syl5ibr 238	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
68	67	ex 403	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
69	3, 6, 9, 12, 15, 24, 52, 68	zindd 11835	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
70	69	3impia 1106	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
71	70	3com23 1117	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  -cneg 10609  ℕcn 11379  ℕ₀cn0 11647  ℤcz 11733  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  Scalarcsca 16352   ·_𝑠 cvsca 16353  0_gc0g 16497  Mndcmnd 17691  Grpcgrp 17820  inv_gcminusg 17821  ._gcmg 17938  ℂModcclm 23280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-seq 13125  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-cmn 18592  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-cnfld 20154  df-clm 23281

This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  23331  minveclem2  23643