MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmmulg 23685
Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmmulg.1 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmmulg.2 = (.g𝑊)
clmmulg.3 · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmmulg ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem clmmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐵) = (0 𝐵))
2 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
31, 2eqeq12d 2836 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0 𝐵) = (0 · 𝐵)))
4 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐵) = (𝑦 𝐵))
5 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
64, 5eqeq12d 2836 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐵) = ((𝑦 + 1) 𝐵))
8 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
97, 8eqeq12d 2836 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 𝐵) = (-𝑦 𝐵))
11 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2836 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 𝐵) = (𝐴 𝐵))
14 oveq1 7140 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2836 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16 clmmulg.1 . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
17 eqid 2820 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
18 clmmulg.2 . . . . . . 7 = (.g𝑊)
1916, 17, 18mulg0 18210 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (0 𝐵) = (0g𝑊))
2019adantl 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (0 𝐵) = (0g𝑊))
21 eqid 2820 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22 clmmulg.3 . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
2316, 21, 22, 17clm0vs 23679 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (0 · 𝐵) = (0g𝑊))
2420, 23eqtr4d 2858 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (0 𝐵) = (0 · 𝐵))
25 oveq1 7140 . . . . . 6 ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)𝐵))
26 clmgrp 23652 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
27 grpmnd 18089 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Mnd)
30 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
31 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵𝑉)
32 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3316, 18, 32mulgnn0p1 18218 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵𝑉) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵)(+g𝑊)𝐵))
3429, 30, 31, 33syl3anc 1367 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 𝐵)(+g𝑊)𝐵))
35 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ ℂMod)
36 eqid 2820 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3721, 36clmzss 23662 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
39 nn0z 11984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
4039adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
4138, 40sseldd 3947 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42 1zzd 11992 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
4338, 42sseldd 3947 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4416, 21, 22, 36, 32clmvsdir 23675 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑉)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)(1 · 𝐵)))
4535, 41, 43, 31, 44syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)(1 · 𝐵)))
4616, 22clmvs1 23677 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4746adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4847oveq2d 7149 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)(1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)𝐵))
4945, 48eqtrd 2855 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)𝐵))
5034, 49eqeq12d 2836 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g𝑊)𝐵)))
5125, 50syl5ibr 248 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
5251ex 415 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
53 fveq2 6646 . . . . . 6 ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg𝑊)‘(𝑦 𝐵)) = ((invg𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
5426ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
55 nnz 11983 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
5655adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
57 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵𝑉)
58 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (invg𝑊) = (invg𝑊)
5916, 18, 58mulgneg 18225 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉) → (-𝑦 𝐵) = ((invg𝑊)‘(𝑦 𝐵)))
6054, 56, 57, 59syl3anc 1367 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 𝐵) = ((invg𝑊)‘(𝑦 𝐵)))
61 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂMod)
6237ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6362, 56sseldd 3947 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6416, 21, 22, 58, 36, 61, 57, 63clmvsneg 23684 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((invg𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)) = (-𝑦 · 𝐵))
6564eqcomd 2826 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
6660, 65eqeq12d 2836 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑦 𝐵)) = ((invg𝑊)‘(𝑦 · 𝐵))))
6753, 66syl5ibr 248 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
6867ex 415 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
693, 6, 9, 12, 15, 24, 52, 68zindd 12062 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
70693impia 1113 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
71703com23 1122 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518  -cneg 10849  cn 11616  0cn0 11876  cz 11960  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  Mndcmnd 17890  Grpcgrp 18082  invgcminusg 18083  .gcmg 18203  ℂModcclm 23646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-seq 13354  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-cnfld 20522  df-clm 23647
This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  23697  minveclem2  24009
  Copyright terms: Public domain W3C validator