Theorem clmmulg 25052

Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmmulg.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmmulg.2	⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
clmmulg.3	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmulg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem clmmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (0 ∙ 𝐵))
2		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑦 ∙ 𝐵))
5		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵))
8		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (-𝑦 ∙ 𝐵))
11		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝐴 ∙ 𝐵))
14		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		clmmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18		clmmulg.2	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
19	16, 17, 18	mulg0 19057	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		clmmulg.3	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23	16, 21, 22, 17	clm0vs 25046	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 · 𝐵) = (0g‘𝑊))
24	20, 23	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵))
25		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
26		clmgrp 25019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
27	26	grpmndd 18929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Mnd)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Mnd)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
32	16, 18, 31	mulgnn0p1 19068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
34		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ ℂMod)
35		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
36	21, 35	clmzss 25029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38		nn0z 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	37, 39	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41		1zzd 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
42	37, 41	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	16, 21, 22, 35, 31	clmvsdir 25042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
44	34, 40, 42, 30, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
45	16, 22	clmvs1 25044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
47	46	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
48	44, 47	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
49	33, 48	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵)))
50	25, 49	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
52		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
53	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
54		nnz 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
56		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
57		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
58	16, 18, 57	mulgneg 19075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
59	53, 55, 56, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
60		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂMod)
61	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
62	61, 55	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
63	16, 21, 22, 57, 35, 60, 56, 62	clmvsneg 25051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)) = (-𝑦 · 𝐵))
64	63	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
65	59, 64	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵))))
66	52, 65	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
68	3, 6, 9, 12, 15, 24, 51, 67	zindd 12694	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
69	68	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
70	69	3com23 1126	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  -cneg 11467  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  ._gcmg 19050  ℂModcclm 25013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-cnfld 21316  df-clm 25014

This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  25064  minveclem2  25378