MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmmulg 24617
Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmmulg.1 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmmulg.2 βˆ™ = (.gβ€˜π‘Š)
clmmulg.3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmmulg ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡))
Proof of Theorem clmmulg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (0 βˆ™ 𝐡))
2 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ Β· 𝐡) = (0 Β· 𝐡))
31, 2eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (π‘₯ Β· 𝐡) ↔ (0 βˆ™ 𝐡) = (0 Β· 𝐡)))
4 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (𝑦 βˆ™ 𝐡))
5 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡))
64, 5eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (π‘₯ Β· 𝐡) ↔ (𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡)))
7 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡))
8 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ Β· 𝐡) = ((𝑦 + 1) Β· 𝐡))
97, 8eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (π‘₯ Β· 𝐡) ↔ ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 + 1) Β· 𝐡)))
10 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (-𝑦 βˆ™ 𝐡))
11 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐡) = (-𝑦 Β· 𝐡))
1210, 11eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = -𝑦 β†’ ((π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (π‘₯ Β· 𝐡) ↔ (-𝑦 βˆ™ 𝐡) = (-𝑦 Β· 𝐡)))
13 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (𝐴 βˆ™ 𝐡))
14 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ Β· 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡))
1513, 14eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ βˆ™ 𝐡) = (π‘₯ Β· 𝐡) ↔ (𝐴 βˆ™ 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡)))
16 clmmulg.1 . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
18 clmmulg.2 . . . . . . 7 βˆ™ = (.gβ€˜π‘Š)
1916, 17, 18mulg0 18957 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (0 βˆ™ 𝐡) = (0gβ€˜π‘Š))
2019adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (0 βˆ™ 𝐡) = (0gβ€˜π‘Š))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
22 clmmulg.3 . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2316, 21, 22, 17clm0vs 24611 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (0 Β· 𝐡) = (0gβ€˜π‘Š))
2420, 23eqtr4d 2776 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (0 βˆ™ 𝐡) = (0 Β· 𝐡))
25 oveq1 7416 . . . . . 6 ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ ((𝑦 βˆ™ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡))
26 clmgrp 24584 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Grp)
2726grpmndd 18832 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
29 simpr 486 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
30 simplr 768 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
31 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3216, 18, 31mulgnn0p1 18965 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 βˆ™ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡))
3328, 29, 30, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 βˆ™ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡))
34 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3621, 35clmzss 24594 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
38 nn0z 12583 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„€)
3938adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
4037, 39sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
41 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„€)
4237, 41sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4316, 21, 22, 35, 31clmvsdir 24607 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦 + 1) Β· 𝐡) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)(1 Β· 𝐡)))
4434, 40, 42, 30, 43syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 + 1) Β· 𝐡) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)(1 Β· 𝐡)))
4516, 22clmvs1 24609 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
4746oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)(1 Β· 𝐡)) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡))
4844, 47eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 + 1) Β· 𝐡) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡))
4933, 48eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 + 1) Β· 𝐡) ↔ ((𝑦 βˆ™ 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡) = ((𝑦 Β· 𝐡)(+gβ€˜π‘Š)𝐡)))
5025, 49imbitrrid 245 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 + 1) Β· 𝐡)))
5150ex 414 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ™ 𝐡) = ((𝑦 + 1) Β· 𝐡))))
52 fveq2 6892 . . . . . 6 ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 βˆ™ 𝐡)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 Β· 𝐡)))
5326ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Grp)
54 nnz 12579 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„€)
5554adantl 483 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
56 simplr 768 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
57 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
5816, 18, 57mulgneg 18972 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-𝑦 βˆ™ 𝐡) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 βˆ™ 𝐡)))
5953, 55, 56, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (-𝑦 βˆ™ 𝐡) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 βˆ™ 𝐡)))
60 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
6136ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6261, 55sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6316, 21, 22, 57, 35, 60, 56, 62clmvsneg 24616 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 Β· 𝐡)) = (-𝑦 Β· 𝐡))
6463eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (-𝑦 Β· 𝐡) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 Β· 𝐡)))
6559, 64eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((-𝑦 βˆ™ 𝐡) = (-𝑦 Β· 𝐡) ↔ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 βˆ™ 𝐡)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑦 Β· 𝐡))))
6652, 65imbitrrid 245 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ (-𝑦 βˆ™ 𝐡) = (-𝑦 Β· 𝐡)))
6766ex 414 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ β„• β†’ ((𝑦 βˆ™ 𝐡) = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ (-𝑦 βˆ™ 𝐡) = (-𝑦 Β· 𝐡))))
683, 6, 9, 12, 15, 24, 51, 67zindd 12663 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡)))
69683impia 1118 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡))
70693com23 1127 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝐡) = (𝐴 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  .gcmg 18950  β„‚Modcclm 24578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-cnfld 20945  df-clm 24579
This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  24629  minveclem2  24943
  Copyright terms: Public domain W3C validator