Theorem clmmulg 25225

Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmmulg.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmmulg.2	⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
clmmulg.3	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmulg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem clmmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (0 ∙ 𝐵))
2		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑦 ∙ 𝐵))
5		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵))
8		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (-𝑦 ∙ 𝐵))
11		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝐴 ∙ 𝐵))
14		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		clmmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18		clmmulg.2	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
19	16, 17, 18	mulg0 19136	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
20	19	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		clmmulg.3	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23	16, 21, 22, 17	clm0vs 25219	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 · 𝐵) = (0g‘𝑊))
24	20, 23	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵))
25		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
26		clmgrp 25192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
27	26	grpmndd 19009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Mnd)
28	27	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Mnd)
29		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
32	16, 18, 31	mulgnn0p1 19147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
34		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ ℂMod)
35		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
36	21, 35	clmzss 25202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38		nn0z 12611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
39	38	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	37, 39	sseldd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41		1zzd 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
42	37, 41	sseldd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	16, 21, 22, 35, 31	clmvsdir 25215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
44	34, 40, 42, 30, 43	syl13anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
45	16, 22	clmvs1 25217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
47	46	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
48	44, 47	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
49	33, 48	eqeq12d 2785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵)))
50	25, 49	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
51	50	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
52		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
53	26	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
54		nnz 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
55	54	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
56		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
57		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
58	16, 18, 57	mulgneg 19154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
59	53, 55, 56, 58	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
60		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂMod)
61	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
62	61, 55	sseldd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
63	16, 21, 22, 57, 35, 60, 56, 62	clmvsneg 25224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)) = (-𝑦 · 𝐵))
64	63	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
65	59, 64	eqeq12d 2785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵))))
66	52, 65	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
67	66	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
68	3, 6, 9, 12, 15, 24, 51, 67	zindd 12693	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
69	68	3impia 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
70	69	3com23 1142	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  -cneg 11438  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788  Grpcgrp 18996  inv_gcminusg 18997  ._gcmg 19129  ℂModcclm 25186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-cnfld 21488  df-clm 25187

This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  25237  minveclem2  25550