Theorem clmmulg 25134

Description: The group multiple function matches the scalar multiplication function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmmulg.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmmulg.2	⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
clmmulg.3	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmulg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem clmmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (0 ∙ 𝐵))
2		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑦 ∙ 𝐵))
5		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵))
8		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (-𝑦 ∙ 𝐵))
11		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∙ 𝐵) = (𝐴 ∙ 𝐵))
14		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∙ 𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		clmmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18		clmmulg.2	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = (.g‘𝑊)
19	16, 17, 18	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0g‘𝑊))
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		clmmulg.3	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
23	16, 21, 22, 17	clm0vs 25128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 · 𝐵) = (0g‘𝑊))
24	20, 23	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0 ∙ 𝐵) = (0 · 𝐵))
25		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
26		clmgrp 25101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
27	26	grpmndd 18964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Mnd)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Mnd)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
32	16, 18, 31	mulgnn0p1 19103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
34		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ ℂMod)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
36	21, 35	clmzss 25111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38		nn0z 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	37, 39	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41		1zzd 12648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
42	37, 41	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	16, 21, 22, 35, 31	clmvsdir 25124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
44	34, 40, 42, 30, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)))
45	16, 22	clmvs1 25126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
47	46	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)(1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
48	44, 47	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵))
49	33, 48	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦 ∙ 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵) = ((𝑦 · 𝐵)(+g‘𝑊)𝐵)))
50	25, 49	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1) ∙ 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
52		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
53	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
54		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
56		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑉)
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
58	16, 18, 57	mulgneg 19110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
59	53, 55, 56, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)))
60		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂMod)
61	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
62	61, 55	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
63	16, 21, 22, 57, 35, 60, 56, 62	clmvsneg 25133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)) = (-𝑦 · 𝐵))
64	63	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵)))
65	59, 64	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑦 ∙ 𝐵)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑦 · 𝐵))))
66	52, 65	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∙ 𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦 ∙ 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
68	3, 6, 9, 12, 15, 24, 51, 67	zindd 12719	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
69	68	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
70	69	3com23 1127	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∙ 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  ._gcmg 19085  ℂModcclm 25095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-cnfld 21365  df-clm 25096

This theorem is referenced by:  clmzlmvsca  25146  minveclem2  25460