MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm 20987
Description: The sign is a homomorphism from the finitary permutation group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm.s ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgnghm.n ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
psgnghm.f ๐น = (๐‘† โ†พs dom ๐‘)
psgnghm.u ๐‘ˆ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐น GrpHom ๐‘ˆ))

Proof of Theorem psgnghm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm.s . . . . . 6 ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘†)
3 eqid 2737 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin} = {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
4 psgnghm.n . . . . . 6 ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
51, 2, 3, 4psgnfn 19284 . . . . 5 ๐‘ Fn {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
65fndmi 6607 . . . 4 dom ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
76ssrab3 4041 . . 3 dom ๐‘ โŠ† (Baseโ€˜๐‘†)
8 psgnghm.f . . . 4 ๐น = (๐‘† โ†พs dom ๐‘)
98, 2ressbas2 17121 . . 3 (dom ๐‘ โŠ† (Baseโ€˜๐‘†) โ†’ dom ๐‘ = (Baseโ€˜๐น))
107, 9ax-mp 5 . 2 dom ๐‘ = (Baseโ€˜๐น)
11 psgnghm.u . . 3 ๐‘ˆ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
1211cnmsgnbas 20985 . 2 {1, -1} = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
1310fvexi 6857 . . 3 dom ๐‘ โˆˆ V
14 eqid 2737 . . . 4 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐‘†)
158, 14ressplusg 17172 . . 3 (dom ๐‘ โˆˆ V โ†’ (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐น))
1613, 15ax-mp 5 . 2 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐น)
17 prex 5390 . . 3 {1, -1} โˆˆ V
18 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrpโ€˜โ„‚fld) = (mulGrpโ€˜โ„‚fld)
19 cnfldmul 20805 . . . . 5 ยท = (.rโ€˜โ„‚fld)
2018, 19mgpplusg 19901 . . . 4 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜โ„‚fld))
2111, 20ressplusg 17172 . . 3 ({1, -1} โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜๐‘ˆ))
2217, 21ax-mp 5 . 2 ยท = (+gโ€˜๐‘ˆ)
231, 4psgndmsubg 19285 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ dom ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘†))
248subggrp 18932 . . 3 (dom ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ Grp)
2523, 24syl 17 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐น โˆˆ Grp)
2611cnmsgngrp 20986 . . 3 ๐‘ˆ โˆˆ Grp
2726a1i 11 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Grp)
28 fnfun 6603 . . . . . 6 (๐‘ Fn {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin} โ†’ Fun ๐‘)
295, 28ax-mp 5 . . . . 5 Fun ๐‘
30 funfn 6532 . . . . 5 (Fun ๐‘ โ†” ๐‘ Fn dom ๐‘)
3129, 30mpbi 229 . . . 4 ๐‘ Fn dom ๐‘
3231a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ Fn dom ๐‘)
33 eqid 2737 . . . . . 6 ran (pmTrspโ€˜๐ท) = ran (pmTrspโ€˜๐ท)
341, 33, 4psgnvali 19291 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))))
35 lencl 14422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3635nn0zd 12526 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
37 m1expcl2 13992 . . . . . . . . . 10 ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {-1, 1})
38 prcom 4694 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
3937, 38eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {1, -1})
40 eleq1a 2833 . . . . . . . . 9 ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {1, -1} โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4136, 39, 403syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4241adantld 492 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4342rexlimiv 3146 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
4443a1i 11 . . . . 5 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4534, 44syl5 34 . . . 4 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4645ralrimiv 3143 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘(๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
47 ffnfv 7067 . . 3 (๐‘:dom ๐‘โŸถ{1, -1} โ†” (๐‘ Fn dom ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘(๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4832, 46, 47sylanbrc 584 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘:dom ๐‘โŸถ{1, -1})
49 ccatcl 14463 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ง ++ ๐‘ค) โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))
501, 33, 4psgnvalii 19292 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง ++ ๐‘ค) โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))))
5149, 50sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))))
521symggrp 19183 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
5352grpmndd 18761 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
5433, 1, 2symgtrf 19252 . . . . . . . . . . 11 ran (pmTrspโ€˜๐ท) โŠ† (Baseโ€˜๐‘†)
55 sswrd 14411 . . . . . . . . . . 11 (ran (pmTrspโ€˜๐ท) โŠ† (Baseโ€˜๐‘†) โ†’ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โŠ† Word (Baseโ€˜๐‘†))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โŠ† Word (Baseโ€˜๐‘†)
5756sseli 3941 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†))
5856sseli 3941 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ค โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†))
592, 14gsumccat 18652 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ง โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
6053, 57, 58, 59syl3an 1161 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
61603expb 1121 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
6261fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))))
63 ccatlen 14464 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค)))
6463adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค)))
6564oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
66 neg1cn 12268 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
68 lencl 14422 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
6968ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
7035ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
7167, 69, 70expaddd 14054 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7265, 71eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7351, 62, 723eqtr3d 2785 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
74 oveq12 7367 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
7574fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))))
76 oveq12 7367 . . . . . . 7 (((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7775, 76eqeqan12d 2751 . . . . . 6 (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
7877an4s 659 . . . . 5 (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
7973, 78syl5ibrcom 247 . . . 4 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ))))
8079rexlimdvva 3206 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ))))
811, 33, 4psgnvali 19291 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
8234, 81anim12i 614 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
83 reeanv 3218 . . . 4 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†” (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
8482, 83sylibr 233 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
8580, 84impel 507 . 2 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)))
8610, 12, 16, 22, 25, 27, 48, 85isghmd 19018 1 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐น GrpHom ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  {crab 3408  Vcvv 3446   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  {cpr 4589   I cid 5531  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057  -cneg 11387  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968  โ™ฏchash 14231  Word cword 14403   ++ cconcat 14459  Basecbs 17084   โ†พs cress 17113  +gcplusg 17134   ฮฃg cgsu 17323  Mndcmnd 18557  Grpcgrp 18749  SubGrpcsubg 18923   GrpHom cghm 19006  SymGrpcsymg 19149  pmTrspcpmtr 19224  pmSgncpsgn 19272  mulGrpcmgp 19897  โ„‚fldccnfld 20799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-concat 14460  df-s1 14485  df-substr 14530  df-pfx 14560  df-splice 14639  df-reverse 14648  df-s2 14738  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-efmnd 18680  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-gim 19050  df-oppg 19125  df-symg 19150  df-pmtr 19225  df-psgn 19274  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-cnfld 20800
This theorem is referenced by:  psgnghm2  20988  evpmss  20993
  Copyright terms: Public domain W3C validator