MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm 21444
Description: The sign is a homomorphism from the finitary permutation group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm.s ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgnghm.n ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
psgnghm.f ๐น = (๐‘† โ†พs dom ๐‘)
psgnghm.u ๐‘ˆ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐น GrpHom ๐‘ˆ))

Proof of Theorem psgnghm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm.s . . . . . 6 ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
2 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘†)
3 eqid 2731 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin} = {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
4 psgnghm.n . . . . . 6 ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
51, 2, 3, 4psgnfn 19417 . . . . 5 ๐‘ Fn {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
65fndmi 6653 . . . 4 dom ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin}
76ssrab3 4080 . . 3 dom ๐‘ โІ (Baseโ€˜๐‘†)
8 psgnghm.f . . . 4 ๐น = (๐‘† โ†พs dom ๐‘)
98, 2ressbas2 17189 . . 3 (dom ๐‘ โІ (Baseโ€˜๐‘†) โ†’ dom ๐‘ = (Baseโ€˜๐น))
107, 9ax-mp 5 . 2 dom ๐‘ = (Baseโ€˜๐น)
11 psgnghm.u . . 3 ๐‘ˆ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
1211cnmsgnbas 21442 . 2 {1, -1} = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
1310fvexi 6905 . . 3 dom ๐‘ โˆˆ V
14 eqid 2731 . . . 4 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐‘†)
158, 14ressplusg 17242 . . 3 (dom ๐‘ โˆˆ V โ†’ (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐น))
1613, 15ax-mp 5 . 2 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐น)
17 prex 5432 . . 3 {1, -1} โˆˆ V
18 eqid 2731 . . . . 5 (mulGrpโ€˜โ„‚fld) = (mulGrpโ€˜โ„‚fld)
19 cnfldmul 21240 . . . . 5 ยท = (.rโ€˜โ„‚fld)
2018, 19mgpplusg 20039 . . . 4 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜โ„‚fld))
2111, 20ressplusg 17242 . . 3 ({1, -1} โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜๐‘ˆ))
2217, 21ax-mp 5 . 2 ยท = (+gโ€˜๐‘ˆ)
231, 4psgndmsubg 19418 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ dom ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘†))
248subggrp 19052 . . 3 (dom ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ Grp)
2523, 24syl 17 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐น โˆˆ Grp)
2611cnmsgngrp 21443 . . 3 ๐‘ˆ โˆˆ Grp
2726a1i 11 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Grp)
28 fnfun 6649 . . . . . 6 (๐‘ Fn {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†) โˆฃ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆˆ Fin} โ†’ Fun ๐‘)
295, 28ax-mp 5 . . . . 5 Fun ๐‘
30 funfn 6578 . . . . 5 (Fun ๐‘ โ†” ๐‘ Fn dom ๐‘)
3129, 30mpbi 229 . . . 4 ๐‘ Fn dom ๐‘
3231a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ Fn dom ๐‘)
33 eqid 2731 . . . . . 6 ran (pmTrspโ€˜๐ท) = ran (pmTrspโ€˜๐ท)
341, 33, 4psgnvali 19424 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))))
35 lencl 14490 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3635nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
37 m1expcl2 14058 . . . . . . . . . 10 ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {-1, 1})
38 prcom 4736 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
3937, 38eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {1, -1})
40 eleq1a 2827 . . . . . . . . 9 ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆˆ {1, -1} โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4136, 39, 403syl 18 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4241adantld 490 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4342rexlimiv 3147 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
4443a1i 11 . . . . 5 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4534, 44syl5 34 . . . 4 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4645ralrimiv 3144 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘(๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
47 ffnfv 7120 . . 3 (๐‘:dom ๐‘โŸถ{1, -1} โ†” (๐‘ Fn dom ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘(๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1}))
4832, 46, 47sylanbrc 582 . 2 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘:dom ๐‘โŸถ{1, -1})
49 ccatcl 14531 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ง ++ ๐‘ค) โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))
501, 33, 4psgnvalii 19425 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง ++ ๐‘ค) โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))))
5149, 50sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))))
521symggrp 19316 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
5352grpmndd 18874 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
5433, 1, 2symgtrf 19385 . . . . . . . . . . 11 ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ (Baseโ€˜๐‘†)
55 sswrd 14479 . . . . . . . . . . 11 (ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ (Baseโ€˜๐‘†) โ†’ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ Word (Baseโ€˜๐‘†))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ Word (Baseโ€˜๐‘†)
5756sseli 3978 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†))
5856sseli 3978 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ค โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†))
592, 14gsumccat 18764 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ง โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word (Baseโ€˜๐‘†)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
6053, 57, 58, 59syl3an 1159 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
61603expb 1119 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
6261fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘† ฮฃg (๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))))
63 ccatlen 14532 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค)))
6463adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค)))
6564oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))) = (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
66 neg1cn 12333 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
68 lencl 14490 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
6968ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
7035ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
7167, 69, 70expaddd 14120 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ง) + (โ™ฏโ€˜๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7265, 71eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ง ++ ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7351, 62, 723eqtr3d 2779 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
74 oveq12 7421 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ) = ((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค)))
7574fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))))
76 oveq12 7421 . . . . . . 7 (((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
7775, 76eqeqan12d 2745 . . . . . 6 (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค)) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
7877an4s 657 . . . . 5 (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘โ€˜((๐‘† ฮฃg ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘† ฮฃg ๐‘ค))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
7973, 78syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท))) โ†’ (((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ))))
8079rexlimdvva 3210 . . 3 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ))))
811, 33, 4psgnvali 19424 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค))))
8234, 81anim12i 612 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
83 reeanv 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))) โ†” (โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)(๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
8482, 83sylibr 233 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ Word ran (pmTrspโ€˜๐ท)((๐‘ฅ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ง) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘ฆ = (๐‘† ฮฃg ๐‘ค) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ค)))))
8580, 84impel 505 . 2 ((๐ท โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐‘)) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘†)๐‘ฆ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ) ยท (๐‘โ€˜๐‘ฆ)))
8610, 12, 16, 22, 25, 27, 48, 85isghmd 19146 1 (๐ท โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐น GrpHom ๐‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3945   โІ wss 3948  {cpr 4630   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  โ„‚cc 11114  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121  -cneg 11452  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  โ†‘cexp 14034  โ™ฏchash 14297  Word cword 14471   ++ cconcat 14527  Basecbs 17151   โ†พs cress 17180  +gcplusg 17204   ฮฃg cgsu 17393  Mndcmnd 18665  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19043   GrpHom cghm 19134  SymGrpcsymg 19282  pmTrspcpmtr 19357  pmSgncpsgn 19405  mulGrpcmgp 20035  โ„‚fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by:  psgnghm2  21445  evpmss  21450
  Copyright terms: Public domain W3C validator