Theorem symgtrinv 19698

Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrinv.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgtrinv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrinv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symggrp 19626	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
4		symgtrinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	invoppggim 19586	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
6		gimghm 19490	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
7		ghmmhm 19452	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
8	2, 5, 6, 7	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
9		symgtrinv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	9, 1, 10	symgtrf 19695	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12		sswrd 14677	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
14	13	sseli 3908	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
15	10	gsumwmhm 19053	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
16	8, 14, 15	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
17	10, 4	grpinvf 19209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
18	2, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19		wrdf 14673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21		fss 6734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
22	20, 11, 21	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23		fco 6742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
24	18, 22, 23	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
25	24	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26	20	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27		fvco2 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
28	26, 27	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
29	20	ffvelcdmda 7092	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
30	11, 29	sselid 3910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
31	1, 10, 4	symginv 19628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
32	30, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
33		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
34	33, 9	pmtrfcnv 19690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
35	29, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
36	28, 32, 35	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
37	25, 26, 36	eqfnfvd 7040	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) = 𝑊)
38	37	oveq2d 7443	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊))
39	2	grpmndd 19169	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
40	10, 3	gsumwrev 19592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
41	39, 14, 40	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
42	16, 38, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  ..^cfzo 13798  ♯chash 14484  Word cword 14668  reversecreverse 14918  Basecbs 17399   Σ_g cgsu 17623  Mndcmnd 18935   MndHom cmhm 18988  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157   GrpHom cghm 19439   GrpIso cgim 19483  opp_gcoppg 19571  SymGrpcsymg 19595  pmTrspcpmtr 19667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-word 14669  df-lsw 14718  df-concat 14726  df-s1 14753  df-substr 14800  df-pfx 14832  df-reverse 14919  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-tset 17459  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-efmnd 19077  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-ghm 19440  df-gim 19485  df-oppg 19572  df-symg 19596  df-pmtr 19668

This theorem is used by:  psgnuni  19725