MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtrinv 19464
Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgtrinv ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
21symggrp 19392 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2726 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
4 symgtrinv.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
53, 4invoppggim 19351 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
6 gimghm 19252 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
7 ghmmhm 19214 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
82, 5, 6, 74syl 19 . . 3 (𝐷𝑉𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
9 symgtrinv.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
119, 1, 10symgtrf 19461 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12 sswrd 14523 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
1413sseli 3975 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
1510gsumwmhm 18828 . . 3 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
168, 14, 15syl2an 594 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
1710, 4grpinvf 18974 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
182, 17syl 17 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19 wrdf 14520 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
2019adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21 fss 6734 . . . . . . 7 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2220, 11, 21sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23 fco 6742 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2418, 22, 23syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2524ffnd 6719 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2620ffnd 6719 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27 fvco2 6989 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2826, 27sylan 578 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2920ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
3011, 29sselid 3977 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
311, 10, 4symginv 19394 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
3433, 9pmtrfcnv 19456 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇(𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3529, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3628, 32, 353eqtrd 2770 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
3725, 26, 36eqfnfvd 7037 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) = 𝑊)
3837oveq2d 7430 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg 𝑊))
392grpmndd 18934 . . 3 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4010, 3gsumwrev 19357 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4139, 14, 40syl2an 594 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4216, 38, 413eqtrd 2770 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  ccnv 5672  ran crn 5674  ccom 5677   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  ..^cfzo 13673  chash 14340  Word cword 14515  reversecreverse 14759  Basecbs 17206   Σg cgsu 17448  Mndcmnd 18720   MndHom cmhm 18764  Grpcgrp 18921  invgcminusg 18922   GrpHom cghm 19200   GrpIso cgim 19245  oppgcoppg 19333  SymGrpcsymg 19358  pmTrspcpmtr 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-hash 14341  df-word 14516  df-lsw 14564  df-concat 14572  df-s1 14597  df-substr 14642  df-pfx 14672  df-reverse 14760  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-tset 17278  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-efmnd 18852  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-oppg 19334  df-symg 19359  df-pmtr 19434
This theorem is referenced by:  psgnuni  19491
  Copyright terms: Public domain W3C validator