Theorem symgtrinv 19505

Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrinv.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgtrinv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrinv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symggrp 19433	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
4		symgtrinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	invoppggim 19394	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
6		gimghm 19295	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
7		ghmmhm 19257	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
8	2, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
9		symgtrinv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	9, 1, 10	symgtrf 19502	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12		sswrd 14557	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
14	13	sseli 3991	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
15	10	gsumwmhm 18871	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
16	8, 14, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
17	10, 4	grpinvf 19017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19		wrdf 14554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21		fss 6753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
22	20, 11, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23		fco 6761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
24	18, 22, 23	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
25	24	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26	20	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27		fvco2 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
28	26, 27	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
29	20	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
30	11, 29	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
31	1, 10, 4	symginv 19435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
33		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
34	33, 9	pmtrfcnv 19497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
35	29, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
36	28, 32, 35	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
37	25, 26, 36	eqfnfvd 7054	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) = 𝑊)
38	37	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊))
39	2	grpmndd 18977	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
40	10, 3	gsumwrev 19400	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
41	39, 14, 40	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
42	16, 38, 41	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ^◡ccnv 5688  ran crn 5690   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  reversecreverse 14793  Basecbs 17245   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965   GrpHom cghm 19243   GrpIso cgim 19288  opp_gcoppg 19376  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-reverse 14794  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475

This theorem is referenced by:  psgnuni  19532