Theorem symgtrinv 19351

Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrinv.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgtrinv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrinv.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symggrp 19279	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
4		symgtrinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	invoppggim 19239	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
6		gimghm 19143	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
7		ghmmhm 19105	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
8	2, 5, 6, 7	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
9		symgtrinv.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	9, 1, 10	symgtrf 19348	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12		sswrd 14429	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
14	13	sseli 3931	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
15	10	gsumwmhm 18719	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
16	8, 14, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)))
17	10, 4	grpinvf 18865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19		wrdf 14425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21		fss 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
22	20, 11, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23		fco 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
24	18, 22, 23	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
25	24	ffnd 6653	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26	20	ffnd 6653	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27		fvco2 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
28	26, 27	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊‘𝑥)))
29	20	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇)
30	11, 29	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
31	1, 10, 4	symginv 19281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊‘𝑥)) = ◡(𝑊‘𝑥))
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
34	33, 9	pmtrfcnv 19343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑥) ∈ 𝑇 → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
35	29, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ◡(𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
36	28, 32, 35	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
37	25, 26, 36	eqfnfvd 6968	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑊) = 𝑊)
38	37	oveq2d 7365	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝑊)) = ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊))
39	2	grpmndd 18825	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
40	10, 3	gsumwrev 19245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
41	39, 14, 40	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg‘𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
42	16, 38, 41	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  reversecreverse 14664  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608   MndHom cmhm 18655  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813   GrpHom cghm 19091   GrpIso cgim 19136  opp_gcoppg 19224  SymGrpcsymg 19248  pmTrspcpmtr 19320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-reverse 14665  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-efmnd 18743  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-oppg 19225  df-symg 19249  df-pmtr 19321

This theorem is referenced by:  psgnuni  19378