MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtrinv 19490
Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgtrinv ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
21symggrp 19418 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2737 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
4 symgtrinv.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
53, 4invoppggim 19379 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
6 gimghm 19282 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
7 ghmmhm 19244 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
82, 5, 6, 74syl 19 . . 3 (𝐷𝑉𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
9 symgtrinv.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
119, 1, 10symgtrf 19487 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12 sswrd 14560 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
1413sseli 3979 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
1510gsumwmhm 18858 . . 3 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
168, 14, 15syl2an 596 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
1710, 4grpinvf 19004 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
182, 17syl 17 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19 wrdf 14557 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21 fss 6752 . . . . . . 7 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2220, 11, 21sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23 fco 6760 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2418, 22, 23syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2524ffnd 6737 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2620ffnd 6737 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27 fvco2 7006 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2826, 27sylan 580 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2920ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
3011, 29sselid 3981 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
311, 10, 4symginv 19420 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
33 eqid 2737 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
3433, 9pmtrfcnv 19482 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇(𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3529, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3628, 32, 353eqtrd 2781 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
3725, 26, 36eqfnfvd 7054 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) = 𝑊)
3837oveq2d 7447 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg 𝑊))
392grpmndd 18964 . . 3 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4010, 3gsumwrev 19385 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4139, 14, 40syl2an 596 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4216, 38, 413eqtrd 2781 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  ccnv 5684  ran crn 5686  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  reversecreverse 14796  Basecbs 17247   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   GrpHom cghm 19230   GrpIso cgim 19275  oppgcoppg 19363  SymGrpcsymg 19386  pmTrspcpmtr 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-reverse 14797  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  psgnuni  19517
  Copyright terms: Public domain W3C validator