MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgtrinv 18335
Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrinv.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgtrinv ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
21symggrp 18263 . . . 4 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2797 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
4 symgtrinv.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
53, 4invoppggim 18233 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
6 gimghm 18149 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
7 ghmmhm 18113 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
82, 5, 6, 74syl 19 . . 3 (𝐷𝑉𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
9 symgtrinv.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10 eqid 2797 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
119, 1, 10symgtrf 18332 . . . . 5 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
12 sswrd 13719 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
1413sseli 3891 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
1510gsumwmhm 17825 . . 3 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
168, 14, 15syl2an 595 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)))
1710, 4grpinvf 17911 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
182, 17syl 17 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
19 wrdf 13716 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
21 fss 6402 . . . . . . 7 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2220, 11, 21sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
23 fco 6406 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺)) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2418, 22, 23syl2an2r 681 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶(Base‘𝐺))
2524ffnd 6390 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2620ffnd 6390 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
27 fvco2 6632 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2826, 27sylan 580 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝐼‘(𝑊𝑥)))
2920ffvelrnda 6723 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑇)
3011, 29sseldi 3893 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
311, 10, 4symginv 18265 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼‘(𝑊𝑥)) = (𝑊𝑥))
33 eqid 2797 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
3433, 9pmtrfcnv 18327 . . . . . 6 ((𝑊𝑥) ∈ 𝑇(𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3529, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑥))
3628, 32, 353eqtrd 2837 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑊)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
3725, 26, 36eqfnfvd 6677 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼𝑊) = 𝑊)
3837oveq2d 7039 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝑊)) = ((oppg𝐺) Σg 𝑊))
39 grpmnd 17872 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
402, 39syl 17 . . 3 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Mnd)
4110, 3gsumwrev 18239 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4240, 14, 41syl2an 595 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((oppg𝐺) Σg 𝑊) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
4316, 38, 423eqtrd 2837 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐼‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wss 3865  ccnv 5449  ran crn 5451  ccom 5454   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  0cc0 10390  ..^cfzo 12887  chash 13544  Word cword 13711  reversecreverse 13960  Basecbs 16316   Σg cgsu 16547  Mndcmnd 17737   MndHom cmhm 17776  Grpcgrp 17865  invgcminusg 17866   GrpHom cghm 18100   GrpIso cgim 18142  oppgcoppg 18218  SymGrpcsymg 18240  pmTrspcpmtr 18304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-word 13712  df-lsw 13765  df-concat 13773  df-s1 13798  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-reverse 13961  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-tset 16417  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-ghm 18101  df-gim 18144  df-oppg 18219  df-symg 18241  df-pmtr 18305
This theorem is referenced by:  psgnuni  18362
  Copyright terms: Public domain W3C validator