MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitsubm 20327
Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitsubm.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitsubm.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitsubm (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem unitsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 unitsubm.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitss 20317 . . 3 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5 eqid 2725 . . 3 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
62, 51unit 20315 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
7 unitsubm.2 . . . . 5 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
87oveq1i 7424 . . . 4 (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
92, 8unitgrp 20324 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
109grpmndd 18905 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) ∈ Mnd)
117ringmgp 20181 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
127, 1mgpbas 20082 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
137, 5ringidval 20125 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘€)
14 eqid 2725 . . . 4 (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) = (𝑀 β†Ύs π‘ˆ)
1512, 13, 14issubm2 18758 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) ∈ Mnd)))
1611, 15syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ ∧ (𝑀 β†Ύs π‘ˆ) ∈ Mnd)))
174, 6, 10, 16mpbir3and 1339 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  Mndcmnd 18691  SubMndcsubmnd 18736  mulGrpcmgp 20076  1rcur 20123  Ringcrg 20175  Unitcui 20296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299
This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  21518  nrgtdrg  24626  amgmlem  26938  dchrfi  27204  dchrghm  27205  dchrabs  27209  lgseisenlem3  27326  lgseisenlem4  27327  idomodle  42656  proot1ex  42661  amgmwlem  48319  amgmlemALT  48320
  Copyright terms: Public domain W3C validator