Theorem unitsubm 20616

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20606	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	1unit 20604	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
7		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	2, 8	unitgrp 20613	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10	9	grpmndd 19157	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
11	7	ringmgp 20465	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
12	7, 1	mgpbas 20365	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
13	7, 5	ringidval 20409	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
15	12, 13, 14	issubm2 18999	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
16	11, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	4, 6, 10, 16	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Mndcmnd 18923  SubMndcsubmnd 18977  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  Unitcui 20585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588

This theorem is used by:  zrhpsgnmhm  21890  nrgtdrg  25012  amgmlem  27317  dchrfi  27582  dchrghm  27583  dchrabs  27587  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  unitscyglem5  43250  idomodle  44193  proot1ex  44198  amgmwlem  50987  amgmlemALT  50988