MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitsubm 18874
Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitsubm.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitsubm (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 unitsubm.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 18864 . . 3 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2771 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 51unit 18862 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
7 unitsubm.2 . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
87oveq1i 6802 . . . 4 (𝑀s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
92, 8unitgrp 18871 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀s 𝑈) ∈ Grp)
10 grpmnd 17633 . . 3 ((𝑀s 𝑈) ∈ Grp → (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)
119, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)
127ringmgp 18757 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
137, 1mgpbas 18699 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
147, 5ringidval 18707 . . . 4 (1r𝑅) = (0g𝑀)
15 eqid 2771 . . . 4 (𝑀s 𝑈) = (𝑀s 𝑈)
1613, 14, 15issubm2 17552 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)))
1712, 16syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀s 𝑈) ∈ Mnd)))
184, 6, 11, 17mpbir3and 1427 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6029  (class class class)co 6792  Basecbs 16060  s cress 16061  Mndcmnd 17498  SubMndcsubmnd 17538  Grpcgrp 17626  mulGrpcmgp 18693  1rcur 18705  Ringcrg 18751  Unitcui 18843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-0g 16306  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846
This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  20141  nrgtdrg  22713  amgmlem  24933  dchrfi  25197  dchrghm  25198  dchrabs  25202  lgseisenlem3  25319  lgseisenlem4  25320  idomodle  38297  proot1ex  38302  amgmwlem  43076  amgmlemALT  43077
  Copyright terms: Public domain W3C validator