Theorem unitsubm 20386

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20376	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	1unit 20374	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
7		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	2, 8	unitgrp 20383	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10	9	grpmndd 18964	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
11	7	ringmgp 20236	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
12	7, 1	mgpbas 20142	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
13	7, 5	ringidval 20180	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
15	12, 13, 14	issubm2 18817	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
16	11, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	4, 6, 10, 16	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  Unitcui 20355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358

This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  21602  nrgtdrg  24714  amgmlem  27033  dchrfi  27299  dchrghm  27300  dchrabs  27304  lgseisenlem3  27421  lgseisenlem4  27422  unitscyglem5  42200  idomodle  43203  proot1ex  43208  amgmwlem  49321  amgmlemALT  49322