MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfzs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfzs 19946
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfzs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
telgsumfzs.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfzs.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
telgsumfzs.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
telgsumfzs.f (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
telgsumfzs (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,π‘˜   𝐢,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀,π‘˜   βˆ’ ,𝑖   πœ‘,𝑖   𝑖,𝑁,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   βˆ’ (π‘˜)

Proof of Theorem telgsumfzs
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 telgsumfzs.f . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡)
2 telgsumfzs.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ + 1) = (𝑀 + 1))
43oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑀...(π‘₯ + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 1)))
54raleqdv 3315 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
65anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡)))
7 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑀...π‘₯) = (𝑀...𝑀))
87mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
98oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
103csbeq1d 3889 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)
1110oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
129, 11eqeq12d 2741 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
136, 12imbi12d 343 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
14 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + 1) = (𝑦 + 1))
1514oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀...(π‘₯ + 1)) = (𝑀...(𝑦 + 1)))
1615raleqdv 3315 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
1716anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡)))
18 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀...π‘₯) = (𝑀...𝑦))
1918mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
2019oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
2114csbeq1d 3889 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)
2221oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
2320, 22eqeq12d 2741 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
2417, 23imbi12d 343 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
25 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ + 1) = ((𝑦 + 1) + 1))
2625oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀...(π‘₯ + 1)) = (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
2726raleqdv 3315 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
2827anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡)))
29 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀...π‘₯) = (𝑀...(𝑦 + 1)))
3029mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) = (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
3130oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
3225csbeq1d 3889 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)
3332oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
3431, 33eqeq12d 2741 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
3528, 34imbi12d 343 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
36 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ + 1) = (𝑁 + 1))
3736oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀...(π‘₯ + 1)) = (𝑀...(𝑁 + 1)))
3837raleqdv 3315 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
3938anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡)))
40 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀...π‘₯) = (𝑀...𝑁))
4140mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
4241oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
4336csbeq1d 3889 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)
4443oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
4542, 44eqeq12d 2741 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
4639, 45imbi12d 343 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...π‘₯) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(π‘₯ + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
47 eluzel2 12855 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
482, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4948adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
50 fzsn 13573 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀...𝑀) = {𝑀})
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀...𝑀) = {𝑀})
5251mpteq1d 5238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) = (𝑖 ∈ {𝑀} ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
5352oveq2d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ {𝑀} ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
54 telgsumfzs.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
55 telgsumfzs.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
56 ablgrp 19742 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5857grpmndd 18905 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5958adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6057adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
61 uzid 12865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
63 peano2uz 12913 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
65 eluzfz1 13538 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)))
67 rspcsbela 4431 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡)
6866, 67sylancom 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡)
69 eluzfz2 13539 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)))
7064, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)))
71 rspcsbela 4431 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡)
7270, 71sylancom 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡)
73 telgsumfzs.m . . . . . . . . 9 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
7454, 73grpsubcl 18978 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡 ∧ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ 𝐡) β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ 𝐡)
7560, 68, 72, 74syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ 𝐡)
76 csbeq1 3888 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 β†’ ⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ)
77 oveq1 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑀 β†’ (𝑖 + 1) = (𝑀 + 1))
7877csbeq1d 3889 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 β†’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ = ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)
7976, 78oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
8079adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
8154, 59, 49, 75, 80gsumsnd 19909 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ {𝑀} ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
8253, 81eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑀 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
8354, 55, 73telgsumfzslem 19945 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
8483ex 411 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
85 eluzelz 12860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
8685peano2zd 12697 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„€)
8786peano2zd 12697 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑦 + 1) + 1) ∈ β„€)
88 peano2z 12631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„€)
8988zred 12694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
9085, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
9190lep1d 12173 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑦 + 1) ≀ ((𝑦 + 1) + 1))
92 eluz2 12856 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦 + 1) ∈ β„€ ∧ ((𝑦 + 1) + 1) ∈ β„€ ∧ (𝑦 + 1) ≀ ((𝑦 + 1) + 1)))
9386, 87, 91, 92syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑦 + 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑦 + 1)))
94 fzss2 13571 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑦 + 1)) β†’ (𝑀...(𝑦 + 1)) βŠ† (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑀...(𝑦 + 1)) βŠ† (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)))
96 ssralv 4041 . . . . . . . 8 ((𝑀...(𝑦 + 1)) βŠ† (𝑀...((𝑦 + 1) + 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
9795, 96syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
9897adantld 489 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡))
9984, 98a2and 843 . . . . 5 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑦 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑦) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑦 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑦 + 1) + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑦 + 1)) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋((𝑦 + 1) + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
10013, 24, 35, 46, 82, 99uzind4i 12922 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
101100expd 414 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))))
1022, 101mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ)))
1031, 102mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑖 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))) = (⦋𝑀 / π‘˜β¦ŒπΆ βˆ’ ⦋(𝑁 + 1) / π‘˜β¦ŒπΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β¦‹csb 3885   βŠ† wss 3940  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ≀ cle 11277  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514  Basecbs 17177   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18892  -gcsg 18894  Abelcabl 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740
This theorem is referenced by:  telgsumfz  19947  telgsumfz0s  19948
  Copyright terms: Public domain W3C validator