Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | telgsumfzs.f |
. 2
β’ (π β βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) |
2 | | telgsumfzs.n |
. . 3
β’ (π β π β (β€β₯βπ)) |
3 | | oveq1 7422 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (π₯ + 1) = (π + 1)) |
4 | 3 | oveq2d 7431 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π...(π₯ + 1)) = (π...(π + 1))) |
5 | 4 | raleqdv 3315 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅)) |
6 | 5 | anbi2d 628 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅))) |
7 | | oveq2 7423 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (π...π₯) = (π...π)) |
8 | 7 | mpteq1d 5238 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) = (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
9 | 8 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
10 | 3 | csbeq1d 3889 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β β¦(π₯ + 1) / πβ¦πΆ = β¦(π + 1) / πβ¦πΆ) |
11 | 10 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
12 | 9, 11 | eqeq12d 2741 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
13 | 6, 12 | imbi12d 343 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ)) β ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
14 | | oveq1 7422 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ + 1) = (π¦ + 1)) |
15 | 14 | oveq2d 7431 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π¦ β (π...(π₯ + 1)) = (π...(π¦ + 1))) |
16 | 15 | raleqdv 3315 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π¦ β (βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅)) |
17 | 16 | anbi2d 628 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π¦ β ((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (π β§ βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅))) |
18 | | oveq2 7423 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π¦ β (π...π₯) = (π...π¦)) |
19 | 18 | mpteq1d 5238 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π¦ β (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) = (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
20 | 19 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π¦ β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
21 | 14 | csbeq1d 3889 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π¦ β β¦(π₯ + 1) / πβ¦πΆ = β¦(π¦ + 1) / πβ¦πΆ) |
22 | 21 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π¦ β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ)) |
23 | 20, 22 | eqeq12d 2741 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π¦ β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ))) |
24 | 17, 23 | imbi12d 343 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π¦ β (((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ)) β ((π β§ βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
25 | | oveq1 7422 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (π₯ + 1) = ((π¦ + 1) + 1)) |
26 | 25 | oveq2d 7431 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (π...(π₯ + 1)) = (π...((π¦ + 1) + 1))) |
27 | 26 | raleqdv 3315 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅)) |
28 | 27 | anbi2d 628 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β ((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅))) |
29 | | oveq2 7423 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (π...π₯) = (π...(π¦ + 1))) |
30 | 29 | mpteq1d 5238 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) = (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
31 | 30 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
32 | 25 | csbeq1d 3889 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β β¦(π₯ + 1) / πβ¦πΆ = β¦((π¦ + 1) + 1) / πβ¦πΆ) |
33 | 32 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ)) |
34 | 31, 33 | eqeq12d 2741 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ))) |
35 | 28, 34 | imbi12d 343 |
. . . . 5
β’ (π₯ = (π¦ + 1) β (((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ)) β ((π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ)))) |
36 | | oveq1 7422 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (π₯ + 1) = (π + 1)) |
37 | 36 | oveq2d 7431 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π...(π₯ + 1)) = (π...(π + 1))) |
38 | 37 | raleqdv 3315 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅)) |
39 | 38 | anbi2d 628 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅))) |
40 | | oveq2 7423 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ = π β (π...π₯) = (π...π)) |
41 | 40 | mpteq1d 5238 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) = (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
42 | 41 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
43 | 36 | csbeq1d 3889 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π β β¦(π₯ + 1) / πβ¦πΆ = β¦(π + 1) / πβ¦πΆ) |
44 | 43 | oveq2d 7431 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
45 | 42, 44 | eqeq12d 2741 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
46 | 39, 45 | imbi12d 343 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π β (((π β§ βπ β (π...(π₯ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π₯) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π₯ + 1) /
πβ¦πΆ)) β ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
47 | | eluzel2 12855 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
48 | 2, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β€) |
49 | 48 | adantr 479 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β π β β€) |
50 | | fzsn 13573 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β€ β (π...π) = {π}) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (π...π) = {π}) |
52 | 51 | mpteq1d 5238 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) = (π β {π} β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
53 | 52 | oveq2d 7431 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (πΊ Ξ£g (π β {π} β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
54 | | telgsumfzs.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΊ) |
55 | | telgsumfzs.g |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΊ β Abel) |
56 | | ablgrp 19742 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΊ β Abel β πΊ β Grp) |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΊ β Grp) |
58 | 57 | grpmndd 18905 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΊ β Mnd) |
59 | 58 | adantr 479 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β πΊ β Mnd) |
60 | 57 | adantr 479 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β πΊ β Grp) |
61 | | uzid 12865 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β€ β π β
(β€β₯βπ)) |
62 | 49, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β π β (β€β₯βπ)) |
63 | | peano2uz 12913 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
64 | 62, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
65 | | eluzfz1 13538 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π + 1) β
(β€β₯βπ) β π β (π...(π + 1))) |
66 | 64, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β π β (π...(π + 1))) |
67 | | rspcsbela 4431 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β (π...(π + 1)) β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β β¦π / πβ¦πΆ β π΅) |
68 | 66, 67 | sylancom 586 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β β¦π / πβ¦πΆ β π΅) |
69 | | eluzfz2 13539 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π + 1) β
(β€β₯βπ) β (π + 1) β (π...(π + 1))) |
70 | 64, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (π + 1) β (π...(π + 1))) |
71 | | rspcsbela 4431 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π + 1) β (π...(π + 1)) β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β β¦(π + 1) / πβ¦πΆ β π΅) |
72 | 70, 71 | sylancom 586 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β β¦(π + 1) / πβ¦πΆ β π΅) |
73 | | telgsumfzs.m |
. . . . . . . . 9
β’ β =
(-gβπΊ) |
74 | 54, 73 | grpsubcl 18978 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β Grp β§
β¦π / πβ¦πΆ β π΅ β§ β¦(π + 1) / πβ¦πΆ β π΅) β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ) β π΅) |
75 | 60, 68, 72, 74 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ) β π΅) |
76 | | csbeq1 3888 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β β¦π / πβ¦πΆ = β¦π / πβ¦πΆ) |
77 | | oveq1 7422 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
78 | 77 | csbeq1d 3889 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β β¦(π + 1) / πβ¦πΆ = β¦(π + 1) / πβ¦πΆ) |
79 | 76, 78 | oveq12d 7433 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
80 | 79 | adantl 480 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β§ π = π) β (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
81 | 54, 59, 49, 75, 80 | gsumsnd 19909 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β {π} β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
82 | 53, 81 | eqtrd 2765 |
. . . . 5
β’ ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |
83 | 54, 55, 73 | telgsumfzslem 19945 |
. . . . . . 7
β’ ((π¦ β
(β€β₯βπ) β§ (π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅)) β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ))) |
84 | 83 | ex 411 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β ((π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅) β ((πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ) β (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ)))) |
85 | | eluzelz 12860 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β π¦ β β€) |
86 | 85 | peano2zd 12697 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (π¦ + 1) β β€) |
87 | 86 | peano2zd 12697 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β ((π¦ + 1) + 1) β β€) |
88 | | peano2z 12631 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ β β€ β (π¦ + 1) β
β€) |
89 | 88 | zred 12694 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π¦ β β€ β (π¦ + 1) β
β) |
90 | 85, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (π¦ + 1) β β) |
91 | 90 | lep1d 12173 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (π¦ + 1) β€ ((π¦ + 1) + 1)) |
92 | | eluz2 12856 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π¦ + 1) + 1) β
(β€β₯β(π¦ + 1)) β ((π¦ + 1) β β€ β§ ((π¦ + 1) + 1) β β€ β§
(π¦ + 1) β€ ((π¦ + 1) + 1))) |
93 | 86, 87, 91, 92 | syl3anbrc 1340 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β ((π¦ + 1) + 1) β
(β€β₯β(π¦ + 1))) |
94 | | fzss2 13571 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π¦ + 1) + 1) β
(β€β₯β(π¦ + 1)) β (π...(π¦ + 1)) β (π...((π¦ + 1) + 1))) |
95 | 93, 94 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (π...(π¦ + 1)) β (π...((π¦ + 1) + 1))) |
96 | | ssralv 4041 |
. . . . . . . 8
β’ ((π...(π¦ + 1)) β (π...((π¦ + 1) + 1)) β (βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅)) |
97 | 95, 96 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅ β βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅)) |
98 | 97 | adantld 489 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β ((π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅) β βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅)) |
99 | 84, 98 | a2and 843 |
. . . . 5
β’ (π¦ β
(β€β₯βπ) β (((π β§ βπ β (π...(π¦ + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π¦) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π¦ + 1) /
πβ¦πΆ)) β ((π β§ βπ β (π...((π¦ + 1) + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...(π¦ + 1)) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦((π¦ + 1) +
1) / πβ¦πΆ)))) |
100 | 13, 24, 35, 46, 82, 99 | uzind4i 12922 |
. . . 4
β’ (π β
(β€β₯βπ) β ((π β§ βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅) β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
101 | 100 | expd 414 |
. . 3
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π β (βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅ β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)))) |
102 | 2, 101 | mpcom 38 |
. 2
β’ (π β (βπ β (π...(π + 1))πΆ β π΅ β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) |
103 | 1, 102 | mpd 15 |
1
β’ (π β (πΊ Ξ£g (π β (π...π) β¦ (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ))) = (β¦π / πβ¦πΆ β
β¦(π + 1) /
πβ¦πΆ)) |