Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grptcepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grptcepi 47203
Description: All morphisms in a category converted from a group are epimorphisms. (Contributed by Zhi Wang, 23-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grptcmon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
grptcmon.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
grptcmon.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
grptcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
grptcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
grptcmon.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
grptcepi.e (πœ‘ β†’ 𝐸 = (Epiβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
grptcepi (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))

Proof of Theorem grptcepi
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Epiβ€˜πΆ) = (Epiβ€˜πΆ)
5 grptcmon.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
6 grptcmon.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
76grpmndd 18765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
85, 7mndtccat 47200 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
9 grptcmon.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 grptcmon.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
119, 10eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 grptcmon.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1312, 10eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 17629 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)βˆ€β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
155ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
167ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1710ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
189ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1912ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2120, 17eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
22 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
23 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧))
2415, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23mndtcco2 47198 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓))
2515, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23mndtcco2 47198 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓))
2624, 25eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓)))
276ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
28 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))
29 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3015, 16, 17, 19, 21, 29mndtchom 47196 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜πΊ))
3128, 30eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
32 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3332, 30eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
34 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
3515, 16, 17, 18, 19, 29mndtchom 47196 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ))
3634, 35eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3937, 38grprcan 18789 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4027, 31, 33, 36, 39syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4126, 40bitrd 279 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4241biimpd 228 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342ralrimivvva 3197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)βˆ€β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4414, 43mpbiran3d 46968 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)))
4544eqrdv 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
46 grptcepi.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (Epiβ€˜πΆ))
4746oveqd 7375 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ))
48 grptcmon.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
4948oveqd 7375 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
5045, 47, 493eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Hom chom 17149  compcco 17150  Epicepi 17617  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  MndToCatcmndtc 47189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-cat 17553  df-cid 17554  df-oppc 17597  df-mon 17618  df-epi 17619  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mndtc 47190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator