Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grptcepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grptcepi 48199
Description: All morphisms in a category converted from a group are epimorphisms. (Contributed by Zhi Wang, 23-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
grptcmon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
grptcmon.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
grptcmon.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
grptcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
grptcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
grptcmon.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
grptcepi.e (πœ‘ β†’ 𝐸 = (Epiβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
grptcepi (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))

Proof of Theorem grptcepi
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2728 . . . . 5 (Epiβ€˜πΆ) = (Epiβ€˜πΆ)
5 grptcmon.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
6 grptcmon.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
76grpmndd 18917 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
85, 7mndtccat 48196 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
9 grptcmon.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 grptcmon.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
119, 10eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 grptcmon.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1312, 10eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 17733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)βˆ€β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
155ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜πΊ))
167ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1710ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
189ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1912ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2120, 17eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
22 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
23 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧))
2415, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23mndtcco2 48194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓))
2515, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23mndtcco2 48194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓))
2624, 25eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓)))
276ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
28 simpr2 1192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))
29 eqidd 2729 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3015, 16, 17, 19, 21, 29mndtchom 48192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜πΊ))
3128, 30eleqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
32 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3332, 30eleqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
34 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
3515, 16, 17, 18, 19, 29mndtchom 48192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ))
3634, 35eleqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
38 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3937, 38grprcan 18944 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑔 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4027, 31, 33, 36, 39syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (β„Ž(+gβ€˜πΊ)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4126, 40bitrd 278 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ↔ 𝑔 = β„Ž))
4241biimpd 228 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑔 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ ((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342ralrimivvva 3201 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘” ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)βˆ€β„Ž ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑧)((𝑔(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4414, 43mpbiran3d 47965 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)))
4544eqrdv 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
46 grptcepi.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (Epiβ€˜πΆ))
4746oveqd 7443 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (𝑋(Epiβ€˜πΆ)π‘Œ))
48 grptcmon.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
4948oveqd 7443 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
5045, 47, 493eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βŸ¨cop 4638  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Hom chom 17253  compcco 17254  Epicepi 17721  Mndcmnd 18703  Grpcgrp 18904  MndToCatcmndtc 48185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-cat 17657  df-cid 17658  df-oppc 17701  df-mon 17722  df-epi 17723  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-mndtc 48186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator