Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 47094
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
linc0scn0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
linc0scn0.1 1 = (1rβ€˜π‘†)
linc0scn0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
linc0scn0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑍   π‘₯, 0   π‘₯, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
32lmodring 20478 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜π‘€) = 𝑆
54fveq2i 6894 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜π‘†)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
75, 6ringidcl 20082 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
95, 8ring0cl 20083 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
107, 9jca 512 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
1211ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
13 ifcl 4573 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 7113 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
17 fvex 6904 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
19 elmapg 8832 . . . . 5 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2116, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2322pweqi 4618 . . . . . 6 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2423eleq2i 2825 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2524biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2625adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
27 lincval 47080 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
29 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
306fvexi 6905 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6905 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4578 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ = 𝑍 ↔ 𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4551 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 6996 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 7423 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
38 ovif 7505 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)))
40 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
4140adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
42 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
432, 42, 6lmod1cl 20498 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4443ancli 549 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4645ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
47 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
492, 47, 42, 48lmodvs0 20505 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
521adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5453expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5655imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 20504 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4564 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍))
6362oveq2d 7424 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)))
64 lmodgrp 20477 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
6564grpmndd 18831 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
6648gsumz 18716 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6765, 66sylan 580 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6828, 63, 673eqtrd 2776 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470   linC clinc 47075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-seq 13966  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-linc 47077
This theorem is referenced by:  el0ldep  47137
  Copyright terms: Public domain W3C validator