Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 47193
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
linc0scn0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
linc0scn0.1 1 = (1rβ€˜π‘†)
linc0scn0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
linc0scn0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑍   π‘₯, 0   π‘₯, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
32lmodring 20623 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2740 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜π‘€) = 𝑆
54fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜π‘†)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
75, 6ringidcl 20155 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
95, 8ring0cl 20156 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
107, 9jca 511 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
1211ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
13 ifcl 4574 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 7116 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
17 fvex 6905 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
19 elmapg 8836 . . . . 5 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2018, 19sylan 579 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2116, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2322pweqi 4619 . . . . . 6 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2423eleq2i 2824 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2524biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2625adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
27 lincval 47179 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1370 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
29 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
306fvexi 6906 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6906 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4579 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ = 𝑍 ↔ 𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4552 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 6997 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 585 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 7427 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
38 ovif 7509 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)))
40 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
42 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
432, 42, 6lmod1cl 20644 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4443ancli 548 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4645ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
47 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
492, 47, 42, 48lmodvs0 20651 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2771 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
521adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5453expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5655imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 20650 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4565 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2775 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 5249 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍))
6362oveq2d 7428 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)))
64 lmodgrp 20622 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
6564grpmndd 18869 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
6648gsumz 18754 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6765, 66sylan 579 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6828, 63, 673eqtrd 2775 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ifcif 4529  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Mndcmnd 18660  1rcur 20076  Ringcrg 20128  LModclmod 20615   linC clinc 47174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-seq 13972  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-linc 47176
This theorem is referenced by:  el0ldep  47236
  Copyright terms: Public domain W3C validator