Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 46594
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
linc0scn0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
linc0scn0.1 1 = (1rβ€˜π‘†)
linc0scn0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
linc0scn0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑍   π‘₯, 0   π‘₯, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
32lmodring 20373 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜π‘€) = 𝑆
54fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜π‘†)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
75, 6ringidcl 19997 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
95, 8ring0cl 19998 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
107, 9jca 513 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
1211ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
13 ifcl 4535 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 7066 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
17 fvex 6859 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
19 elmapg 8784 . . . . 5 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2018, 19sylan 581 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2116, 20mpbird 257 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2322pweqi 4580 . . . . . 6 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2423eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2524biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2625adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
27 lincval 46580 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
29 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
306fvexi 6860 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6860 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4540 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ = 𝑍 ↔ 𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4513 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 6950 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 587 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 7376 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
38 ovif 7458 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)))
40 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
4140adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
432, 42, 6lmod1cl 20393 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4443ancli 550 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4544adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
4645ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
47 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
492, 47, 42, 48lmodvs0 20400 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
521adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5453expcom 415 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5554adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
5655imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 20399 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑣 = 𝑍) β†’ ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4526 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣), ( 0 ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2777 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 5209 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍))
6362oveq2d 7377 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)))
64 lmodgrp 20372 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
6564grpmndd 18768 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
6648gsumz 18654 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6765, 66sylan 581 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
6828, 63, 673eqtrd 2777 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  ifcif 4490  π’« cpw 4564   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LModclmod 20365   linC clinc 46575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-linc 46577
This theorem is referenced by:  el0ldep  46637
  Copyright terms: Public domain W3C validator