Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 48340
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc0scn0.0 0 = (0g𝑆)
linc0scn0.1 1 = (1r𝑆)
linc0scn0.z 𝑍 = (0g𝑀)
linc0scn0.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 20866 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 20262 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 20264 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 511 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
13 ifcl 4571 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 7134 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
17 fvex 6919 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
19 elmapg 8879 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2116, 20mpbird 257 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322pweqi 4616 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2423eleq2i 2833 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2524biimpi 216 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27 lincval 48326 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1373 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
29 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
306fvexi 6920 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6920 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4576 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑍𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4549 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 7014 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣))
38 ovif 7531 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
432, 42, 6lmod1cl 20887 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4443ancli 548 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4645ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
47 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝑀)
492, 47, 42, 48lmodvs0 20894 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
521adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
5453expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5655imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 20893 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ ¬ 𝑣 = 𝑍) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4562 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2781 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
6362oveq2d 7447 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
64 lmodgrp 20865 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
6564grpmndd 18964 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
6648gsumz 18849 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6765, 66sylan 580 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6828, 63, 673eqtrd 2781 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  1rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858   linC clinc 48321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-linc 48323
This theorem is referenced by:  el0ldep  48383
  Copyright terms: Public domain W3C validator