Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 47842
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc0scn0.0 0 = (0g𝑆)
linc0scn0.1 1 = (1r𝑆)
linc0scn0.z 𝑍 = (0g𝑀)
linc0scn0.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 20840 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2735 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6896 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 20241 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 20242 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 510 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1211ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
13 ifcl 4568 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 7120 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
17 fvex 6906 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
19 elmapg 8860 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2018, 19sylan 578 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2116, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322pweqi 4613 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2423eleq2i 2818 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2524biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625adantl 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27 lincval 47828 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
29 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
306fvexi 6907 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6907 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4573 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2730 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑍𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4546 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 6999 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 584 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 7431 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣))
38 ovif 7515 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)))
40 oveq2 7424 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
4140adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
42 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
432, 42, 6lmod1cl 20861 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4443ancli 547 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4645ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
47 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝑀)
492, 47, 42, 48lmodvs0 20868 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
521adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
5453expcom 412 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5554adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5655imp 405 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 20867 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ ¬ 𝑣 = 𝑍) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4559 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 5245 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
6362oveq2d 7432 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
64 lmodgrp 20839 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
6564grpmndd 18936 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
6648gsumz 18821 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6765, 66sylan 578 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6828, 63, 673eqtrd 2770 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  cmpt 5228  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  m cmap 8847  Basecbs 17208  Scalarcsca 17264   ·𝑠 cvsca 17265  0gc0g 17449   Σg cgsu 17450  Mndcmnd 18722  1rcur 20160  Ringcrg 20212  LModclmod 20832   linC clinc 47823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-seq 14016  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20834  df-linc 47825
This theorem is referenced by:  el0ldep  47885
  Copyright terms: Public domain W3C validator