Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc0scn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc0scn0 43058
Description: If a set contains the zero element of a module, there is a linear combination being 0 where not all scalars are 0. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc0scn0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc0scn0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc0scn0.0 0 = (0g𝑆)
linc0scn0.1 1 = (1r𝑆)
linc0scn0.z 𝑍 = (0g𝑀)
linc0scn0.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc0scn0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc0scn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc0scn0.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 19226 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2833 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6435 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc0scn0.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 18921 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc0scn0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 18922 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 509 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1211ad2antrr 719 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
13 ifcl 4349 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
15 linc0scn0.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ))
1614, 15fmptd 6632 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
17 fvex 6445 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
19 elmapg 8134 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2018, 19sylan 577 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2116, 20mpbird 249 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
22 linc0scn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322pweqi 4381 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2423eleq2i 2897 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2524biimpi 208 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625adantl 475 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27 lincval 43044 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
281, 21, 26, 27syl3anc 1496 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
29 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
306fvexi 6446 . . . . . . . 8 1 ∈ V
318fvexi 6446 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3230, 31ifex 4353 . . . . . . 7 if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V
33 eqeq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑍𝑣 = 𝑍))
3433ifbid 4327 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑍, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3534, 15fvmptg 6526 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3629, 32, 35sylancl 582 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 ))
3736oveq1d 6919 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣))
38 ovif 6996 . . . . . 6 (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
3938a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑍, 1 , 0 )( ·𝑠𝑀)𝑣) = if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)))
40 oveq2 6912 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑍 → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
4140adantl 475 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍))
42 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
432, 42, 6lmod1cl 19245 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4443ancli 546 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4544adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
4645ad2antrr 719 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)))
47 eqid 2824 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
48 linc0scn0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝑀)
492, 47, 42, 48lmodvs0 19252 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑍) = 𝑍)
5141, 50eqtrd 2860 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑍) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
521adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
53 elelpwi 4390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
5453expcom 404 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5554adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
5655imp 397 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
5722, 2, 47, 8, 48lmod0vs 19251 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5852, 56, 57syl2anc 581 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
5958adantr 474 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) ∧ ¬ 𝑣 = 𝑍) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6051, 59ifeqda 4340 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → if(𝑣 = 𝑍, ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑣), ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣)) = 𝑍)
6137, 39, 603eqtrd 2864 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = 𝑍)
6261mpteq2dva 4966 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉𝑍))
6362oveq2d 6920 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)))
64 lmodgrp 19225 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
65 grpmnd 17782 . . . 4 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
6664, 65syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
6748gsumz 17726 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6866, 67sylan 577 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉𝑍)) = 𝑍)
6928, 63, 683eqtrd 2864 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3413  ifcif 4305  𝒫 cpw 4377  cmpt 4951  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  𝑚 cmap 8121  Basecbs 16221  Scalarcsca 16307   ·𝑠 cvsca 16308  0gc0g 16452   Σg cgsu 16453  Mndcmnd 17646  Grpcgrp 17775  1rcur 18854  Ringcrg 18900  LModclmod 19218   linC clinc 43039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-seq 13095  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-lmod 19220  df-linc 43041
This theorem is referenced by:  el0ldep  43101
  Copyright terms: Public domain W3C validator