Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1chr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1chr 32282
Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1chr.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1chr (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2 eqid 2736 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2736 . . 3 (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
41, 2, 3chrval 20928 . 2 ((od‘𝑃)‘(1r𝑃)) = (chr‘𝑃)
5 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
85, 6, 7chrval 20928 . . . . . . . . 9 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
98eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r𝑅))
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
1110crnggrpd 19978 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12 crngring 19976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413, 6ringidcl 19989 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
167chrcl 20929 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.g𝑅) = (.g𝑅)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2013, 5, 18, 19odeq 19332 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (0g𝑅))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (0g𝑅))))
229, 21mpbii 232 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (0g𝑅)))
2322r19.21bi 3234 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (0g𝑅)))
24 ply1chr.1 . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
2612adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2711grpmndd 18760 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3015adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3113, 18, 28, 29, 30mulgnn0cld 18897 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
3313, 19ring0cl 19990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3432, 12, 333syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3524, 13, 25, 26, 31, 34ply1scleq 32266 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) ↔ (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (0g𝑅)))
3624ply1sca 21624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3837fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
3938oveqd 7374 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g𝑅)(1r𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r𝑅)))
4039fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r𝑅))))
4124ply1assa 21570 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
4337fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4430, 43eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
46 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.g𝑃) = (.g𝑃)
48 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
4925, 45, 46, 47, 48asclmulg 32263 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r𝑅))) = (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
5042, 29, 44, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r𝑅))) = (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
5140, 50eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g𝑅)(1r𝑅))) = (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
52 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5324, 25, 19, 52ply1scl0 21661 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
5432, 12, 533syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
5551, 54eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g𝑅)(1r𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) ↔ (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (0g𝑃)))
5623, 35, 553bitr2d 306 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (0g𝑃)))
5756ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (0g𝑃)))
5824ply1crng 21569 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
5958crnggrpd 19978 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6124, 25, 13, 60ply1sclcl 21657 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
6212, 15, 61syl2anc 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
6360, 1, 47, 52odeq 19332 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (0g𝑃))))
6459, 62, 17, 63syl3anc 1371 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = (0g𝑃))))
6557, 64mpbird 256 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
6624, 25, 6, 2ply1scl1 21663 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
6766fveq2d 6846 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r𝑃)))
6812, 67syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r𝑃)))
6965, 68eqtr2d 2777 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r𝑃)) = (chr‘𝑅))
704, 69eqtr3id 2790 1 (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cn0 12413  cdvds 16136  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  odcod 19306  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  chrcchr 20902  AssAlgcasa 21256  algSccascl 21258  Poly1cpl1 21548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-chr 20906  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554
This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  32283
  Copyright terms: Public domain W3C validator