Theorem ply1chr 22532

Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1chr.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1chr	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
4	1, 2, 3	chrval 21737	. 2 ⊢ ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑃)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
8	5, 6, 7	chrval 21737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
9	8	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))
10		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crnggrpd 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12		crngring 20385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 6	ringidcl 20407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	7	chrcl 21738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
19		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	13, 5, 18, 19	odeq 19678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
22	9, 21	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
23	22	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
24		ply1chr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
25		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	grpmndd 19071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	13, 18, 28, 29, 30	mulgnn0cld 19219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
33	13, 19	ring0cl 20409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
34	32, 12, 33	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	24, 13, 25, 26, 31, 34	ply1scleq 22531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
36	24	ply1sca 22478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
38	37	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
39	38	oveqd 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))))
41	24	ply1assa 22425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
43	37	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
44	30, 43	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
46		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑃) = (.g‘𝑃)
48		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
49	25, 45, 46, 47, 48	asclmulg 22118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
50	42, 29, 44, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
51	40, 50	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
52		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
53	24, 25, 19, 52	ply1scl0 22517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
54	32, 12, 53	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
55	51, 54	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
56	23, 35, 55	3bitr2d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
57	56	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
58	24	ply1crng 22424	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
59	58	crnggrpd 20387	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
60		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	24, 25, 13, 60	ply1sclcl 22513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
62	12, 15, 61	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
63	60, 1, 47, 52	odeq 19678	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
64	59, 62, 17, 63	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
65	57, 64	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
66	24, 25, 6, 2	ply1scl1 22519	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
67	66	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
68	12, 67	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
69	65, 68	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑅))
70	4, 69	eqtr3id 2809	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℕ₀cn0 12529   ∥ cdvds 16343  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346  0_gc0g 17525  Mndcmnd 18837  Grpcgrp 19058  ._gcmg 19191  odcod 19652  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  chrcchr 21715  AssAlgcasa 22066  algSccascl 22068  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-dvds 16344  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-od 19656  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-chr 21719  df-assa 22069  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409

This theorem is used by:  ply1fermltlchr  22538