Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1chr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1chr 32935
Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1chr.1 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1chr (𝑅 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘ƒ) = (chrβ€˜π‘…))
Proof of Theorem ply1chr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (odβ€˜π‘ƒ) = (odβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2730 . . 3 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2730 . . 3 (chrβ€˜π‘ƒ) = (chrβ€˜π‘ƒ)
41, 2, 3chrval 21296 . 2 ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (chrβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (odβ€˜π‘…) = (odβ€˜π‘…)
6 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
7 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
85, 6, 7chrval 21296 . . . . . . . . 9 ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (chrβ€˜π‘…)
98eqcomi 2739 . . . . . . . 8 (chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1110crnggrpd 20141 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Grp)
12 crngring 20139 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1413, 6ringidcl 20154 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
167chrcl 21297 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
18 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
19 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2013, 5, 18, 19odeq 19459 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))))
229, 21mpbii 232 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…)))
2322r19.21bi 3246 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…)))
24 ply1chr.1 . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
25 eqid 2730 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
2612adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2711grpmndd 18868 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
29 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
3015adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3113, 18, 28, 29, 30mulgnn0cld 19011 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3313, 19ring0cl 20155 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3432, 12, 333syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3524, 13, 25, 26, 31, 34ply1scleq 32913 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…)))
3624ply1sca 21995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3837fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3938oveqd 7428 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (𝑛(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(1rβ€˜π‘…)))
4039fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(1rβ€˜π‘…))))
4124ply1assa 21942 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
4337fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4430, 43eleqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
45 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
46 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
47 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.gβ€˜π‘ƒ) = (.gβ€˜π‘ƒ)
48 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
4925, 45, 46, 47, 48asclmulg 32909 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(1rβ€˜π‘…))) = (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
5042, 29, 44, 49syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(1rβ€˜π‘…))) = (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
5140, 50eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
52 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
5324, 25, 19, 52ply1scl0 22032 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5432, 12, 533syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5551, 54eqeq12d 2746 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑛(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5623, 35, 553bitr2d 306 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5756ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5824ply1crng 21941 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
5958crnggrpd 20141 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Grp)
60 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6124, 25, 13, 60ply1sclcl 22028 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6212, 15, 61syl2anc 582 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6360, 1, 47, 52odeq 19459 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0) β†’ ((chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6459, 62, 17, 63syl3anc 1369 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛(.gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6557, 64mpbird 256 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘…) = ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
6624, 25, 6, 2ply1scl1 22035 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
6766fveq2d 6894 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
6812, 67syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
6965, 68eqtr2d 2771 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((odβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (chrβ€˜π‘…))
704, 69eqtr3id 2784 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘ƒ) = (chrβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„•0cn0 12476   βˆ₯ cdvds 16201  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  odcod 19433  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  chrcchr 21270  AssAlgcasa 21624  algSccascl 21626  Poly1cpl1 21920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-chr 21274  df-assa 21627  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926
This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  32936
  Copyright terms: Public domain W3C validator