Theorem ply1chr 31669

Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1chr.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1chr	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
4	1, 2, 3	chrval 20729	. 2 ⊢ ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑃)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
8	5, 6, 7	chrval 20729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
9	8	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crnggrpd 19797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12		crngring 19795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 6	ringidcl 19807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	7	chrcl 20730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	13, 5, 18, 19	odeq 19158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
22	9, 21	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
23	22	r19.21bi 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
24		ply1chr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	grpmndd 18589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	13, 18	mulgnn0cl 18720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
33		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13, 19	ring0cl 19808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	33, 12, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	24, 13, 25, 26, 32, 35	ply1scleq 31668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
37	24	ply1sca 21424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
39	38	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	oveqd 7292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅)))
41	40	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))))
42	24	ply1assa 21370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
44	38	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45	30, 44	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
47		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
48		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑃) = (.g‘𝑃)
49		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
50	25, 46, 47, 48, 49	asclmulg 31666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
51	43, 29, 45, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
52	41, 51	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
53		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
54	24, 25, 19, 53	ply1scl0 21461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
55	33, 12, 54	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	52, 55	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
57	23, 36, 56	3bitr2d 307	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
58	57	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
59	24	ply1crng 21369	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
60	59	crnggrpd 19797	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
61		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62	24, 25, 13, 61	ply1sclcl 21457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
63	12, 15, 62	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
64	61, 1, 48, 53	odeq 19158	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
65	60, 63, 17, 64	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
66	58, 65	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
67	24, 25, 6, 2	ply1scl1 21463	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
68	67	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
69	12, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
70	66, 69	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑅))
71	4, 70	eqtr3id 2792	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℕ₀cn0 12233   ∥ cdvds 15963  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700  odcod 19132  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  chrcchr 20703  AssAlgcasa 21057  algSccascl 21059  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-od 19136  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-chr 20707  df-assa 21060  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354

This theorem is referenced by:  ply1fermltl  31670