Theorem ply1chr 32282

Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1chr.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1chr	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
4	1, 2, 3	chrval 20928	. 2 ⊢ ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
8	5, 6, 7	chrval 20928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
9	8	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crnggrpd 19978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12		crngring 19976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 6	ringidcl 19989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	7	chrcl 20929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	13, 5, 18, 19	odeq 19332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
22	9, 21	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
23	22	r19.21bi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
24		ply1chr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
25		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	grpmndd 18760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	13, 18, 28, 29, 30	mulgnn0cld 18897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
33	13, 19	ring0cl 19990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
34	32, 12, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	24, 13, 25, 26, 31, 34	ply1scleq 32266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
36	24	ply1sca 21624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
38	37	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
39	38	oveqd 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))))
41	24	ply1assa 21570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
43	37	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
44	30, 43	eleqtrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
46		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑃) = (.g‘𝑃)
48		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
49	25, 45, 46, 47, 48	asclmulg 32263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
50	42, 29, 44, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
51	40, 50	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
52		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
53	24, 25, 19, 52	ply1scl0 21661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
54	32, 12, 53	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
55	51, 54	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
56	23, 35, 55	3bitr2d 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
57	56	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
58	24	ply1crng 21569	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
59	58	crnggrpd 19978	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
60		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	24, 25, 13, 60	ply1sclcl 21657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
62	12, 15, 61	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
63	60, 1, 47, 52	odeq 19332	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
64	59, 62, 17, 63	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
65	57, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
66	24, 25, 6, 2	ply1scl1 21663	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
67	66	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
68	12, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
69	65, 68	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑅))
70	4, 69	eqtr3id 2790	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℕ₀cn0 12413   ∥ cdvds 16136  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  0_gc0g 17321  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  ._gcmg 18872  odcod 19306  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  chrcchr 20902  AssAlgcasa 21256  algSccascl 21258  Poly₁cpl1 21548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-chr 20906  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554

This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  32283