Theorem ply1chr 31663

Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1chr.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1chr	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
4	1, 2, 3	chrval 20725	. 2 ⊢ ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑃)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
8	5, 6, 7	chrval 20725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
9	8	eqcomi 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crnggrpd 19793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12		crngring 19791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 6	ringidcl 19803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	7	chrcl 20726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
19		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	13, 5, 18, 19	odeq 19154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
22	9, 21	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
23	22	r19.21bi 3135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
24		ply1chr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	grpmndd 18585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	13, 18	mulgnn0cl 18716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
33		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13, 19	ring0cl 19804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	33, 12, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	24, 13, 25, 26, 32, 35	ply1scleq 31662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
37	24	ply1sca 21420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
39	38	fveq2d 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	oveqd 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅)))
41	40	fveq2d 6773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))))
42	24	ply1assa 21366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
44	38	fveq2d 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45	30, 44	eleqtrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
46		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
47		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
48		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑃) = (.g‘𝑃)
49		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
50	25, 46, 47, 48, 49	asclmulg 31660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
51	43, 29, 45, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
52	41, 51	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
53		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
54	24, 25, 19, 53	ply1scl0 21457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
55	33, 12, 54	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	52, 55	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
57	23, 36, 56	3bitr2d 307	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
58	57	ralrimiva 3110	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
59	24	ply1crng 21365	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
60	59	crnggrpd 19793	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
61		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
62	24, 25, 13, 61	ply1sclcl 21453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
63	12, 15, 62	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
64	61, 1, 48, 53	odeq 19154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
65	60, 63, 17, 64	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
66	58, 65	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
67	24, 25, 6, 2	ply1scl1 21459	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
68	67	fveq2d 6773	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
69	12, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
70	66, 69	eqtr2d 2781	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑅))
71	4, 70	eqtr3id 2794	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℕ₀cn0 12231   ∥ cdvds 15959  Basecbs 16908  Scalarcsca 16961  0_gc0g 17146  Mndcmnd 18381  Grpcgrp 18573  ._gcmg 18696  odcod 19128  1_rcur 19733  Ringcrg 19779  CRingccrg 19780  chrcchr 20699  AssAlgcasa 21053  algSccascl 21055  Poly₁cpl1 21344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-dvds 15960  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-tset 16977  df-ple 16978  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-mulg 18697  df-subg 18748  df-ghm 18828  df-cntz 18919  df-od 19132  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-srg 19738  df-ring 19781  df-cring 19782  df-subrg 20018  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-chr 20703  df-assa 21056  df-ascl 21058  df-psr 21108  df-mvr 21109  df-mpl 21110  df-opsr 21112  df-psr1 21347  df-vr1 21348  df-ply1 21349  df-coe1 21350

This theorem is referenced by:  ply1fermltl  31664