Theorem ply1chr 22250

Description: The characteristic of a polynomial ring is the characteristic of the underlying ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1chr.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1chr	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem ply1chr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (od‘𝑃) = (od‘𝑃)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (chr‘𝑃) = (chr‘𝑃)
4	1, 2, 3	chrval 21470	. 2 ⊢ ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑃)
5		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
8	5, 6, 7	chrval 21470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
9	8	eqcomi 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crnggrpd 20199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
12		crngring 20197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 6	ringidcl 20214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	7	chrcl 21471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
19		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	13, 5, 18, 19	odeq 19517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
22	9, 21	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
23	22	r19.21bi 3238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
24		ply1chr.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
25		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	grpmndd 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
28	27	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
29		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30	15	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	13, 18, 28, 29, 30	mulgnn0cld 19058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
32		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CRing)
33	13, 19	ring0cl 20215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
34	32, 12, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	24, 13, 25, 26, 31, 34	ply1scleq 22249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
36	24	ply1sca 22195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
38	37	fveq2d 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
39	38	oveqd 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅)))
40	39	fveq2d 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))))
41	24	ply1assa 22142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
42	41	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ AssAlg)
43	37	fveq2d 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
44	30, 43	eleqtrd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
45		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
46		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
47		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑃) = (.g‘𝑃)
48		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
49	25, 45, 46, 47, 48	asclmulg 21852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
50	42, 29, 44, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘(Scalar‘𝑃))(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
51	40, 50	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
52		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
53	24, 25, 19, 52	ply1scl0 22234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
54	32, 12, 53	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
55	51, 54	eqeq12d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
56	23, 35, 55	3bitr2d 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
57	56	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃)))
58	24	ply1crng 22141	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
59	58	crnggrpd 20199	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
60		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	24, 25, 13, 60	ply1sclcl 22230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
62	12, 15, 61	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
63	60, 1, 47, 52	odeq 19517	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℕ0) → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
64	59, 62, 17, 63	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((chr‘𝑅) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛(.g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (0g‘𝑃))))
65	57, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑅) = ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
66	24, 25, 6, 2	ply1scl1 22237	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
67	66	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
68	12, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)))
69	65, 68	eqtr2d 2766	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((od‘𝑃)‘(1r‘𝑃)) = (chr‘𝑅))
70	4, 69	eqtr3id 2779	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (chr‘𝑃) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℕ₀cn0 12505   ∥ cdvds 16234  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239  0_gc0g 17424  Mndcmnd 18697  Grpcgrp 18898  ._gcmg 19031  odcod 19491  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  chrcchr 21444  AssAlgcasa 21801  algSccascl 21803  Poly₁cpl1 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-chr 21448  df-assa 21804  df-ascl 21806  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125

This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  22256