MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 19735
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
32grpmndd 18910 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
4 frgpup.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
5 fviss 6980 . . . . . . . 8 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
64, 5eqsstri 4016 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
76sseli 3978 . . . . . 6 (𝑔 ∈ π‘Š β†’ 𝑔 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
8 frgpup.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
9 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π»)
10 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
11 frgpup.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
12 frgpup.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
138, 9, 10, 2, 11, 12frgpuptf 19732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
14 wrdco 14822 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐡)
157, 13, 14syl2anr 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐡)
168gsumwcl 18798 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐡)
173, 15, 16syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ π‘Š) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐡)
18 frgpup.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
194, 18efger 19680 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
214fvexi 6916 . . . . 5 π‘Š ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
23 coeq2 5865 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ β„Ž))
2423oveq2d 7442 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ β„Ž)))
258, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18frgpuplem 19734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∼ β„Ž) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ β„Ž)))
261, 17, 20, 22, 24, 25qliftfund 8828 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐸)
271, 17, 20, 22qliftf 8830 . . 3 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(π‘Š / ∼ )⟢𝐡))
2826, 27mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸:(π‘Š / ∼ )⟢𝐡)
29 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
30 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
31 eqid 2728 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
3230, 31, 18frgpval 19720 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
3311, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
34 2on 8507 . . . . . . . . 9 2o ∈ On
35 xpexg 7758 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
3611, 34, 35sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
37 wrdexg 14514 . . . . . . . 8 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
38 fvi 6979 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
404, 39eqtrid 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
41 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
4231, 41frmdbas 18811 . . . . . . 7 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4440, 43eqtr4d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
4518fvexi 6916 . . . . . 6 ∼ ∈ V
4645a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
47 fvexd 6917 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
4833, 44, 46, 47qusbas 17534 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
4929, 48eqtr4id 2787 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Š / ∼ ))
5049feq2d 6713 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:π‘‹βŸΆπ΅ ↔ 𝐸:(π‘Š / ∼ )⟢𝐡))
5128, 50mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  βŸ¨cop 4638   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   Γ— cxp 5680  ran crn 5683   ∘ ccom 5686  Oncon0 6374  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  2oc2o 8487   Er wer 8728  [cec 8729   / cqs 8730  Word cword 14504  Basecbs 17187   Ξ£g cgsu 17429   /s cqus 17494  Mndcmnd 18701  freeMndcfrmd 18806  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898   ~FG cefg 19668  freeGrpcfrgp 19669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-frmd 18808  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-efg 19671  df-frgp 19672
This theorem is referenced by:  frgpupval  19736  frgpup1  19737
  Copyright terms: Public domain W3C validator