Theorem frgpupf 19555

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		frgpup.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	grpmndd 18760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
4		frgpup.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		fviss 6918	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
6	4, 5	eqsstri 3978	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
7	6	sseli 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑊 → 𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
8		frgpup.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
9		frgpup.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
10		frgpup.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
11		frgpup.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		frgpup.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
13	8, 9, 10, 2, 11, 12	frgpuptf 19552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
14		wrdco 14720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
15	7, 13, 14	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
16	8	gsumwcl 18649	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
17	3, 15, 16	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
18		frgpup.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
19	4, 18	efger 19500	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
21	4	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
23		coeq2 5814	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ ℎ))
24	23	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
25	8, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18	frgpuplem 19554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∼ ℎ) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
26	1, 17, 20, 22, 24, 25	qliftfund 8742	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
27	1, 17, 20, 22	qliftf 8744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
28	26, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵)
29		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
30		frgpup.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
32	30, 31, 18	frgpval 19540	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
33	11, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
34		2on 8426	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
35		xpexg 7684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
36	11, 34, 35	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37		wrdexg 14412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38		fvi 6917	. . . . . . . 8 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
40	4, 39	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
42	31, 41	frmdbas 18662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
44	40, 43	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
45	18	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
47		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
48	33, 44, 46, 47	qusbas 17427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
49	29, 48	eqtr4id 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
50	49	feq2d 6654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑋⟶𝐵 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
51	28, 50	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ifcif 4486  ⟨cop 4592   ↦ cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ran crn 5634   ∘ ccom 5637  Oncon0 6317  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  2_oc2o 8406   Er wer 8645  [cec 8646   / cqs 8647  Word cword 14402  Basecbs 17083   Σ_g cgsu 17322   /_s cqus 17387  Mndcmnd 18556  freeMndcfrmd 18657  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749   ~_FG cefg 19488  freeGrpcfrgp 19489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-frmd 18659  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-efg 19491  df-frgp 19492

This theorem is referenced by:  frgpupval  19556  frgpup1  19557