Theorem frgpupf 18501

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		frgpup.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
3		grpmnd 17745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → 𝐻 ∈ Mnd)
6		frgpup.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7		fviss 6481	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
8	6, 7	eqsstri 3831	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
9	8	sseli 3794	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑊 → 𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
10		frgpup.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
11		frgpup.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
12		frgpup.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
13		frgpup.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		frgpup.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
15	10, 11, 12, 2, 13, 14	frgpuptf 18498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
16		wrdco 13916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
17	9, 15, 16	syl2anr 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
18	10	gsumwcl 17692	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
19	5, 17, 18	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
20		frgpup.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
21	6, 20	efger 18444	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
23	6	fvexi 6425	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
25		coeq2 5484	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ ℎ))
26	25	oveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
27	10, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20	frgpuplem 18500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∼ ℎ) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
28	1, 19, 22, 24, 26, 27	qliftfund 8071	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
29	1, 19, 22, 24	qliftf 8073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
30	28, 29	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵)
31		frgpup.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
32		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
33	31, 32, 20	frgpval 18486	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
34	13, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
35		2on 7808	. . . . . . . . 9 ⊢ 2𝑜 ∈ On
36		xpexg 7194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
37	13, 35, 36	sylancl 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
38		wrdexg 13544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
39		fvi 6480	. . . . . . . 8 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
41	6, 40	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
42		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
43	32, 42	frmdbas 17705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
45	41, 44	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
46	20	fvexi 6425	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
48		fvexd 6426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
49	34, 45, 47, 48	qusbas 16520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
50		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
51	49, 50	syl6reqr 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
52	51	feq2d 6242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑋⟶𝐵 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
53	30, 52	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ∅c0 4115  ifcif 4277  ⟨cop 4374   ↦ cmpt 4922   I cid 5219   × cxp 5310  ran crn 5313   ∘ ccom 5316  Oncon0 5941  Fun wfun 6095  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  2_𝑜c2o 7793   Er wer 7979  [cec 7980   / cqs 7981  Word cword 13534  Basecbs 16184   Σ_g cgsu 16416   /_s cqus 16480  Mndcmnd 17609  freeMndcfrmd 17700  Grpcgrp 17738  inv_gcminusg 17739   ~_FG cefg 18432  freeGrpcfrgp 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-splice 13821  df-s2 13933  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-imas 16483  df-qus 16484  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-frmd 17702  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-efg 18435  df-frgp 18436

This theorem is referenced by:  frgpupval  18502  frgpup1  18503