Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 18878
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
3 grpmnd 18089 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6 fviss 6714 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
75, 6eqsstri 3977 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
87sseli 3939 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
9 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
10 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
11 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
12 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
13 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
149, 10, 11, 2, 12, 13frgpuptf 18875 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
15 wrdco 14172 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
168, 14, 15syl2anr 599 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
179gsumwcl 17982 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
184, 16, 17syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
19 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
205, 19efger 18823 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
225fvexi 6657 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
24 coeq2 5702 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2524oveq2d 7146 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
269, 10, 11, 2, 12, 13, 5, 19frgpuplem 18877 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
271, 18, 21, 23, 25, 26qliftfund 8358 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
281, 18, 21, 23qliftf 8360 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
2927, 28mpbid 235 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
30 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31 eqid 2821 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3230, 31, 19frgpval 18863 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3312, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
34 2on 8086 . . . . . . . . 9 2o ∈ On
35 xpexg 7448 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3612, 34, 35sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37 wrdexg 13855 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38 fvi 6713 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
405, 39syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4231, 41frmdbas 17996 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4440, 43eqtr4d 2859 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4519fvexi 6657 . . . . . 6 ∈ V
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
47 fvexd 6658 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
4833, 44, 46, 47qusbas 16797 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
49 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
5048, 49syl6reqr 2875 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5150feq2d 6473 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5229, 51mpbird 260 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471  ∅c0 4266  ifcif 4440  ⟨cop 4546   ↦ cmpt 5119   I cid 5432   × cxp 5526  ran crn 5529   ∘ ccom 5532  Oncon0 6164  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∈ cmpo 7132  2oc2o 8071   Er wer 8261  [cec 8262   / cqs 8263  Word cword 13845  Basecbs 16462   Σg cgsu 16693   /s cqus 16757  Mndcmnd 17890  freeMndcfrmd 17991  Grpcgrp 18082  invgcminusg 18083   ~FG cefg 18811  freeGrpcfrgp 18812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ec 8266  df-qs 8270  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-word 13846  df-concat 13902  df-s1 13929  df-substr 13982  df-pfx 14012  df-splice 14091  df-s2 14189  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-imas 16760  df-qus 16761  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-frmd 17993  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-efg 18814  df-frgp 18815 This theorem is referenced by:  frgpupval  18879  frgpup1  18880
 Copyright terms: Public domain W3C validator