Theorem frgpupf 19739

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		frgpup.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	grpmndd 18913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
4		frgpup.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		fviss 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
6	4, 5	eqsstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
7	6	sseli 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑊 → 𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
8		frgpup.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
9		frgpup.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
10		frgpup.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
11		frgpup.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		frgpup.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
13	8, 9, 10, 2, 11, 12	frgpuptf 19736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
14		wrdco 14784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
15	7, 13, 14	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
16	8	gsumwcl 18798	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
17	3, 15, 16	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
18		frgpup.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
19	4, 18	efger 19684	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
21	4	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
23		coeq2 5807	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ ℎ))
24	23	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
25	8, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18	frgpuplem 19738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∼ ℎ) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
26	1, 17, 20, 22, 24, 25	qliftfund 8743	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
27	1, 17, 20, 22	qliftf 8745	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
28	26, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵)
29		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
30		frgpup.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
32	30, 31, 18	frgpval 19724	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
33	11, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
34		2on 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
35		xpexg 7697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
36	11, 34, 35	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37		wrdexg 14477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38		fvi 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
40	4, 39	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
42	31, 41	frmdbas 18811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
44	40, 43	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
45	18	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
47		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
48	33, 44, 46, 47	qusbas 17500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
49	29, 48	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
50	49	feq2d 6646	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑋⟶𝐵 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
51	28, 50	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  Oncon0 6317  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  2_oc2o 8392   Er wer 8633  [cec 8634   / cqs 8635  Word cword 14466  Basecbs 17170   Σ_g cgsu 17394   /_s cqus 17460  Mndcmnd 18693  freeMndcfrmd 18806  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901   ~_FG cefg 19672  freeGrpcfrgp 19673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-frmd 18808  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-efg 19675  df-frgp 19676

This theorem is referenced by:  frgpupval  19740  frgpup1  19741