MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 19379
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
32grpmndd 18589 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
4 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5 fviss 6845 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
64, 5eqsstri 3955 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
76sseli 3917 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
8 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
9 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
10 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
11 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
12 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
138, 9, 10, 2, 11, 12frgpuptf 19376 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
14 wrdco 14544 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
157, 13, 14syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
168gsumwcl 18477 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
173, 15, 16syl2an2r 682 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
18 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
194, 18efger 19324 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
214fvexi 6788 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
23 coeq2 5767 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2423oveq2d 7291 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
258, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18frgpuplem 19378 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
261, 17, 20, 22, 24, 25qliftfund 8592 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
271, 17, 20, 22qliftf 8594 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
2826, 27mpbid 231 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
29 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
30 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31 eqid 2738 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3230, 31, 18frgpval 19364 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3311, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
34 2on 8311 . . . . . . . . 9 2o ∈ On
35 xpexg 7600 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3611, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37 wrdexg 14227 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38 fvi 6844 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
404, 39eqtrid 2790 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4231, 41frmdbas 18491 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4440, 43eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4518fvexi 6788 . . . . . 6 ∈ V
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
47 fvexd 6789 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
4833, 44, 46, 47qusbas 17256 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
4929, 48eqtr4id 2797 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5049feq2d 6586 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5128, 50mpbird 256 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  c0 4256  ifcif 4459  cop 4567  cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587  ran crn 5590  ccom 5593  Oncon0 6266  Fun wfun 6427  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  2oc2o 8291   Er wer 8495  [cec 8496   / cqs 8497  Word cword 14217  Basecbs 16912   Σg cgsu 17151   /s cqus 17216  Mndcmnd 18385  freeMndcfrmd 18486  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578   ~FG cefg 19312  freeGrpcfrgp 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-frmd 18488  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-efg 19315  df-frgp 19316
This theorem is referenced by:  frgpupval  19380  frgpup1  19381
  Copyright terms: Public domain W3C validator