Theorem frgpupf 19743

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		frgpup.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	grpmndd 18917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
4		frgpup.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		fviss 6908	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
6	4, 5	eqsstri 3963	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
7	6	sseli 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑊 → 𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
8		frgpup.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
9		frgpup.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
10		frgpup.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
11		frgpup.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		frgpup.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
13	8, 9, 10, 2, 11, 12	frgpuptf 19740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
14		wrdco 14788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
15	7, 13, 14	syl2anr 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
16	8	gsumwcl 18802	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
17	3, 15, 16	syl2an2r 692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
18		frgpup.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
19	4, 18	efger 19688	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
21	4	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
23		coeq2 5803	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ ℎ))
24	23	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
25	8, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18	frgpuplem 19742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∼ ℎ) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
26	1, 17, 20, 22, 24, 25	qliftfund 8744	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
27	1, 17, 20, 22	qliftf 8746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
28	26, 27	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵)
29		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
30		frgpup.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
32	30, 31, 18	frgpval 19728	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
33	11, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
34		2on 8412	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
35		xpexg 7697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
36	11, 34, 35	sylancl 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37		wrdexg 14481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38		fvi 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
40	4, 39	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
42	31, 41	frmdbas 18815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
44	40, 43	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
45	18	fvexi 6845	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
47		fvexd 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
48	33, 44, 46, 47	qusbas 17504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
49	29, 48	eqtr4id 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
50	49	feq2d 6643	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑋⟶𝐵 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
51	28, 50	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  ifcif 4457  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156   I cid 5515   × cxp 5619  ran crn 5622   ∘ ccom 5625  Oncon0 6314  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  2_oc2o 8393   Er wer 8634  [cec 8635   / cqs 8636  Word cword 14470  Basecbs 17174   Σ_g cgsu 17398   /_s cqus 17464  Mndcmnd 18697  freeMndcfrmd 18810  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905   ~_FG cefg 19676  freeGrpcfrgp 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-splice 14707  df-s2 14805  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-frmd 18812  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-efg 19679  df-frgp 19680

This theorem is referenced by:  frgpupval  19744  frgpup1  19745