Theorem frgpupf 18891

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupf	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		frgpup.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
3		grpmnd 18102	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		frgpup.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		fviss 6716	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
7	5, 6	eqsstri 3949	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
8	7	sseli 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑊 → 𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
9		frgpup.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
10		frgpup.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
11		frgpup.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
12		frgpup.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		frgpup.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14	9, 10, 11, 2, 12, 13	frgpuptf 18888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
15		wrdco 14184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
16	8, 14, 15	syl2anr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵)
17	9	gsumwcl 17995	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
18	4, 16, 17	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ 𝐵)
19		frgpup.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20	5, 19	efger 18836	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
22	5	fvexi 6659	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
24		coeq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
26	9, 10, 11, 2, 12, 13, 5, 19	frgpuplem 18890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∼ ℎ) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ℎ)))
27	1, 18, 21, 23, 25, 26	qliftfund 8366	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
28	1, 18, 21, 23	qliftf 8368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐸 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
29	27, 28	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
32		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
33	31, 32, 19	frgpval 18876	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
34	12, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
35		2on 8094	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
36		xpexg 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37	12, 35, 36	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
38		wrdexg 13867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
39		fvi 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
41	5, 40	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
42		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
43	32, 42	frmdbas 18009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
45	41, 44	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
46	19	fvexi 6659	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
48		fvexd 6660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
49	34, 45, 47, 48	qusbas 16810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
50	30, 49	eqtr4id 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑊 / ∼ ))
51	50	feq2d 6473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑋⟶𝐵 ↔ 𝐸:(𝑊 / ∼ )⟶𝐵))
52	29, 51	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ifcif 4425  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   × cxp 5517  ran crn 5520   ∘ ccom 5523  Oncon0 6159  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  2_oc2o 8079   Er wer 8269  [cec 8270   / cqs 8271  Word cword 13857  Basecbs 16475   Σ_g cgsu 16706   /_s cqus 16770  Mndcmnd 17903  freeMndcfrmd 18004  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096   ~_FG cefg 18824  freeGrpcfrgp 18825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-frmd 18006  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-efg 18827  df-frgp 18828

This theorem is referenced by:  frgpupval  18892  frgpup1  18893