MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 19806
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
32grpmndd 18977 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
4 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5 fviss 6986 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
64, 5eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
76sseli 3991 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o))
8 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
9 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
10 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
11 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
12 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
138, 9, 10, 2, 11, 12frgpuptf 19803 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
14 wrdco 14867 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
157, 13, 14syl2anr 597 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
168gsumwcl 18865 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
173, 15, 16syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
18 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
194, 18efger 19751 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
214fvexi 6921 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
23 coeq2 5872 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2423oveq2d 7447 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
258, 9, 10, 2, 11, 12, 4, 18frgpuplem 19805 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
261, 17, 20, 22, 24, 25qliftfund 8842 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
271, 17, 20, 22qliftf 8844 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
2826, 27mpbid 232 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
29 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
30 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
31 eqid 2735 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3230, 31, 18frgpval 19791 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3311, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
34 2on 8519 . . . . . . . . 9 2o ∈ On
35 xpexg 7769 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
3611, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
37 wrdexg 14559 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
38 fvi 6985 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
404, 39eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
41 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4231, 41frmdbas 18878 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4440, 43eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4518fvexi 6921 . . . . . 6 ∈ V
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
47 fvexd 6922 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
4833, 44, 46, 47qusbas 17592 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
4929, 48eqtr4id 2794 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5049feq2d 6723 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5128, 50mpbird 257 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690  ccom 5693  Oncon0 6386  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2oc2o 8499   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  Word cword 14549  Basecbs 17245   Σg cgsu 17487   /s cqus 17552  Mndcmnd 18760  freeMndcfrmd 18873  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-efg 19742  df-frgp 19743
This theorem is referenced by:  frgpupval  19807  frgpup1  19808
  Copyright terms: Public domain W3C validator