Theorem psgnfitr 19631

Description: A permutation of a finite set is generated by transpositions. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfitr.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfitr.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfitr.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnfitr	⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑄   𝑤,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem psgnfitr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfitr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
2		psgnfitr.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
3		psgnfitr.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen2 19585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = 𝐵)
6	2	symggrp 19514	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 19057	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Mnd)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	1, 2, 8	symgtrf 19583	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
10	8, 4	gsumwspan 18942	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
11	7, 9, 10	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
12	5, 11	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐵 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
13	12	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ 𝑄 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
14		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
15		ovex 7452	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
16	14, 15	elrnmpti 5954	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤))
17	13, 16	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Word cword 14568  Basecbs 17291   Σ_g cgsu 17515  mrClscmrc 17657  Mndcmnd 18824  SubMndcsubmnd 18877  SymGrpcsymg 19483  pmTrspcpmtr 19555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-tset 17351  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-efmnd 18965  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-symg 19484  df-pmtr 19556

This theorem is used by:  psgnfix1  21798  psgnfix2  21799  cyc3genpm  33536