Theorem psgnfitr 19484

Description: A permutation of a finite set is generated by transpositions. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfitr.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfitr.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfitr.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnfitr	⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑄   𝑤,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem psgnfitr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfitr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
2		psgnfitr.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
3		psgnfitr.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubMnd‘𝐺)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen2 19438	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = 𝐵)
6	2	symggrp 19367	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	grpmndd 18911	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Mnd)
8		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	1, 2, 8	symgtrf 19436	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
10	8, 4	gsumwspan 18806	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
11	7, 9, 10	sylancl 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘𝐺))‘𝑇) = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
12	5, 11	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐵 = ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)))
13	12	eleq2d 2811	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ 𝑄 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))))
14		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) = (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤))
15		ovex 7452	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝑤) ∈ V
16	14, 15	elrnmpti 5962	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ran (𝑤 ∈ Word 𝑇 ↦ (𝐺 Σg 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤))
17	13, 16	bitrdi 286	1 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944   ↦ cmpt 5232  ran crn 5679  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  Word cword 14500  Basecbs 17183   Σ_g cgsu 17425  mrClscmrc 17566  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18742  SymGrpcsymg 19333  pmTrspcpmtr 19408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-symg 19334  df-pmtr 19409

This theorem is referenced by:  psgnfix1  21547  psgnfix2  21548  cyc3genpm  32965