Theorem gsumccatsymgsn 19667

Description: Homomorphic property of composites of permutations with a singleton. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccatsymgsn.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
gsumccatsymgsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccatsymgsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))

Proof of Theorem gsumccatsymgsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumccatsymgsn.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19641	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3	2	grpmndd 19183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsumccatsymgsn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	gsumccatsn 19065	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍))
7	3, 6	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍))
8	3	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
9		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
10	4	gsumwcl 19061	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
12		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5	symgov 19625	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))
15	7, 14	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Word cword 14682   ++ cconcat 14739  ⟨“cs1 14766  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  SymGrpcsymg 19610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-tset 17473  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-efmnd 19091  df-grp 19173  df-symg 19611

This theorem is used by:  gsmsymgrfixlem1  19668  gsmsymgreqlem1  19671