Theorem gsumccatsymgsn 19032

Description: Homomorphic property of composites of permutations with a singleton. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccatsymgsn.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
gsumccatsymgsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccatsymgsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))

Proof of Theorem gsumccatsymgsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumccatsymgsn.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3	2	grpmndd 18587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsumccatsymgsn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	gsumccatsn 18480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍))
7	3, 6	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍))
8	3	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
9		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
10	4	gsumwcl 18475	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
12		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5	symgov 18989	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g‘𝐺)𝑍) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))
15	7, 14	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) ∘ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5595  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Word cword 14215   ++ cconcat 14271  ⟨“cs1 14298  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960   Σ_g cgsu 17149  Mndcmnd 18383  SymGrpcsymg 18972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-tset 16979  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-efmnd 18506  df-grp 18578  df-symg 18973

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfixlem1  19033  gsmsymgreqlem1  19036