MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 19643
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 frgpup.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
3 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
5 frgpup.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
76frgpgrp 19630 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invgβ€˜π»)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
12 frgpup.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
13 frgpup.w . . 3 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
14 frgpup.r . . 3 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 19641 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
186, 17, 14frgpval 19626 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
20 2on 8480 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
23 wrdexg 14474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
24 fvi 6968 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2613, 25eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
2817, 27frmdbas 18733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3026, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3114fvexi 6906 . . . . . . . . . 10 ∼ ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
33 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 17491 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
351, 34eqtr4id 2792 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Š / ∼ ))
36 eqimss 4041 . . . . . . 7 (𝑋 = (π‘Š / ∼ ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3837adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3938sselda 3983 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ ))
40 eqid 2733 . . . . 5 (π‘Š / ∼ ) = (π‘Š / ∼ )
41 oveq2 7417 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐))
4241fveq2d 6896 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
43 fveq2 6892 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘))
4443oveq2d 7425 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
4542, 44eqeq12d 2749 . . . . 5 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘))))
4637sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
4746adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
48 fvoveq1 7432 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )))
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘Ž))
5049oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
5148, 50eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ ))))
52 fviss 6969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5313, 52eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5453sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5553sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ π‘Š β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
56 ccatcl 14524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5754, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5813efgrcl 19583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
6059simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
6157, 60eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19642 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6361, 62sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6454ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6555ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 19638 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
68 ccatco 14786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))) = (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))))
719grpmndd 18832 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
73 wrdco 14782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7454, 66, 73syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7574adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
76 wrdco 14782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
7765, 67, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
782, 4gsumccat 18722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡 ∧ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
7972, 75, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8063, 70, 793eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8113, 6, 14, 3frgpadd 19631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8281adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8382fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ))
842, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19642 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
8584adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
862, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19642 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8786adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8885, 87oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8980, 83, 883eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9089anass1rs 654 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9140, 51, 90ectocld 8778 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9247, 91syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9392an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9440, 45, 93ectocld 8778 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9539, 94syldan 592 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9695anasss 468 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
971, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 96isghmd 19101 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  2oc2o 8460  [cec 8701   / cqs 8702  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   Ξ£g cgsu 17386   /s cqus 17451  Mndcmnd 18625  freeMndcfrmd 18728  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820   GrpHom cghm 19089   ~FG cefg 19574  freeGrpcfrgp 19575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-ghm 19090  df-efg 19577  df-frgp 19578
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19645  frgpup3  19646
  Copyright terms: Public domain W3C validator