MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 18890
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 frgpup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
3 eqid 2824 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2824 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 frgpup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
76frgpgrp 18877 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invg𝐻)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
12 frgpup.a . . 3 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
13 frgpup.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
14 frgpup.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 18888 . 2 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
17 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
186, 17, 14frgpval 18873 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
20 2on 8094 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
23 wrdexg 13865 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
24 fvi 6721 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2613, 25syl5eq 2871 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
2817, 27frmdbas 18006 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
3026, 29eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3114fvexi 6665 . . . . . . . . . 10 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 ∈ V)
33 fvexd 6666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 16807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
3534, 1syl6reqr 2878 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
36 eqimss 4007 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑊 / ) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3837adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3938sselda 3951 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ (𝑊 / ))
40 eqid 2824 . . . . 5 (𝑊 / ) = (𝑊 / )
41 oveq2 7146 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝑎(+g𝐺)[𝑢] ) = (𝑎(+g𝐺)𝑐))
4241fveq2d 6655 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)))
43 fveq2 6651 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐸𝑐))
4443oveq2d 7154 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
4542, 44eqeq12d 2840 . . . . 5 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐))))
4637sselda 3951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
4746adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
48 fvoveq1 7161 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )))
49 fveq2 6651 . . . . . . . . . 10 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐸𝑎))
5049oveq1d 7153 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
5148, 50eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] ))))
52 fviss 6722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5313, 52eqsstri 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5453sseli 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝑊𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5553sseli 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑊𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
56 ccatcl 13915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5754, 55, 56syl2an 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5813efgrcl 18830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5958adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6059simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
6157, 60eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6361, 62sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6454ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6555ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 18885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
68 ccatco 14186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
7069oveq2d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))) = (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))))
71 grpmnd 18099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
7372adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝐻 ∈ Mnd)
74 wrdco 14182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7554, 66, 74syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7675adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
77 wrdco 14182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
7865, 67, 77syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
792, 4gsumccat 17995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8073, 76, 78, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8163, 70, 803eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8213, 6, 14, 3frgpadd 18878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8382adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8483fveq2d 6655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ))
852, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
872, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑊) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8887adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8986, 88oveq12d 7156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
9081, 84, 893eqtr4d 2869 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9190anass1rs 654 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑡𝑊) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9240, 51, 91ectocld 8347 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9347, 92syldan 594 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9493an32s 651 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑢𝑊) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9540, 45, 94ectocld 8347 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9639, 95syldan 594 . . 3 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9796anasss 470 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑋𝑐𝑋)) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
981, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 97isghmd 18356 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  wss 3918  c0 4274  ifcif 4448  cop 4554  cmpt 5127   I cid 5440   × cxp 5534  ran crn 5537  ccom 5540  Oncon0 6172  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cmpo 7140  2oc2o 8079  [cec 8270   / cqs 8271  Word cword 13855   ++ cconcat 13911  Basecbs 16472  +gcplusg 16554   Σg cgsu 16703   /s cqus 16767  Mndcmnd 17900  freeMndcfrmd 18001  Grpcgrp 18092  invgcminusg 18093   GrpHom cghm 18344   ~FG cefg 18821  freeGrpcfrgp 18822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13904  df-concat 13912  df-s1 13939  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-splice 14101  df-reverse 14110  df-s2 14199  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-imas 16770  df-qus 16771  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-frmd 18003  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-ghm 18345  df-efg 18824  df-frgp 18825
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18892  frgpup3  18893
  Copyright terms: Public domain W3C validator