MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 19684
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 frgpup.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
3 eqid 2730 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2730 . 2 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
5 frgpup.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
76frgpgrp 19671 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invgβ€˜π»)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
12 frgpup.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
13 frgpup.w . . 3 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
14 frgpup.r . . 3 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 19682 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
17 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
186, 17, 14frgpval 19667 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
20 2on 8482 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
23 wrdexg 14478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
24 fvi 6966 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2613, 25eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
27 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
2817, 27frmdbas 18769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3026, 29eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3114fvexi 6904 . . . . . . . . . 10 ∼ ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
33 fvexd 6905 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 17495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
351, 34eqtr4id 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Š / ∼ ))
36 eqimss 4039 . . . . . . 7 (𝑋 = (π‘Š / ∼ ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3837adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3938sselda 3981 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ ))
40 eqid 2730 . . . . 5 (π‘Š / ∼ ) = (π‘Š / ∼ )
41 oveq2 7419 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐))
4241fveq2d 6894 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
43 fveq2 6890 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘))
4443oveq2d 7427 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
4542, 44eqeq12d 2746 . . . . 5 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘))))
4637sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
4746adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
48 fvoveq1 7434 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )))
49 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘Ž))
5049oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
5148, 50eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ ))))
52 fviss 6967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5313, 52eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5453sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5553sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ π‘Š β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
56 ccatcl 14528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5754, 55, 56syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5813efgrcl 19624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
5958adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
6059simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
6157, 60eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19683 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6361, 62sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6454ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6555ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 19679 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
68 ccatco 14790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
7069oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))) = (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))))
719grpmndd 18868 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
73 wrdco 14786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7454, 66, 73syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7574adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
76 wrdco 14786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
7765, 67, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
782, 4gsumccat 18758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡 ∧ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
7972, 75, 77, 78syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8063, 70, 793eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8113, 6, 14, 3frgpadd 19672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8281adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8382fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ))
842, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19683 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
8584adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
862, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19683 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8786adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8885, 87oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8980, 83, 883eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9089anass1rs 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9140, 51, 90ectocld 8780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9247, 91syldan 589 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9392an32s 648 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9440, 45, 93ectocld 8780 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9539, 94syldan 589 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9695anasss 465 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
971, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 96isghmd 19139 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  2oc2o 8462  [cec 8703   / cqs 8704  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   Ξ£g cgsu 17390   /s cqus 17455  Mndcmnd 18659  freeMndcfrmd 18764  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856   GrpHom cghm 19127   ~FG cefg 19615  freeGrpcfrgp 19616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-ghm 19128  df-efg 19618  df-frgp 19619
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19686  frgpup3  19687
  Copyright terms: Public domain W3C validator