MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 19564
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 frgpup.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
3 eqid 2737 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2737 . 2 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
5 frgpup.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
76frgpgrp 19551 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invgβ€˜π»)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
12 frgpup.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
13 frgpup.w . . 3 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
14 frgpup.r . . 3 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 19562 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
186, 17, 14frgpval 19547 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
20 2on 8431 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
23 wrdexg 14419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
24 fvi 6922 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2613, 25eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
2817, 27frmdbas 18669 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
3026, 29eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3114fvexi 6861 . . . . . . . . . 10 ∼ ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
33 fvexd 6862 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 17434 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
351, 34eqtr4id 2796 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Š / ∼ ))
36 eqimss 4005 . . . . . . 7 (𝑋 = (π‘Š / ∼ ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3837adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘Š / ∼ ))
3938sselda 3949 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ ))
40 eqid 2737 . . . . 5 (π‘Š / ∼ ) = (π‘Š / ∼ )
41 oveq2 7370 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐))
4241fveq2d 6851 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
43 fveq2 6847 . . . . . . 7 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘))
4443oveq2d 7378 . . . . . 6 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
4542, 44eqeq12d 2753 . . . . 5 ([𝑒] ∼ = 𝑐 β†’ ((πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘))))
4637sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
4746adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ ))
48 fvoveq1 7385 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )))
49 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (πΈβ€˜π‘Ž))
5049oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
5148, 50eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ([𝑑] ∼ = π‘Ž β†’ ((πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) ↔ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ ))))
52 fviss 6923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5313, 52eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
5453sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5553sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ π‘Š β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
56 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5754, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5813efgrcl 19504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
6059simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
6157, 60eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19563 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ++ 𝑒) ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6361, 62sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))))
6454ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6555ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 19559 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
68 ccatco 14731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒)) = ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒)))
7069oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ (𝑑 ++ 𝑒))) = (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))))
719grpmndd 18767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
73 wrdco 14727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7454, 66, 73syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
7574adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡)
76 wrdco 14727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
7765, 67, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡)
782, 4gsumccat 18658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∘ 𝑑) ∈ Word 𝐡 ∧ (𝑇 ∘ 𝑒) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
7972, 75, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐻 Ξ£g ((𝑇 ∘ 𝑑) ++ (𝑇 ∘ 𝑒))) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8063, 70, 793eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8113, 6, 14, 3frgpadd 19552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8281adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ ) = [(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ )
8382fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = (πΈβ€˜[(𝑑 ++ 𝑒)] ∼ ))
842, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19563 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
8584adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑑] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑)))
862, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19563 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8786adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜[𝑒] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒)))
8885, 87oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )) = ((𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑑))(+gβ€˜π»)(𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑒))))
8980, 83, 883eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ π‘Š ∧ 𝑒 ∈ π‘Š)) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9089anass1rs 654 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ 𝑑 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜([𝑑] ∼ (+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜[𝑑] ∼ )(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9140, 51, 90ectocld 8730 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9247, 91syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9392an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)[𝑒] ∼ )) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜[𝑒] ∼ )))
9440, 45, 93ectocld 8730 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (π‘Š / ∼ )) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9539, 94syldan 592 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
9695anasss 468 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΈβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)) = ((πΈβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π»)(πΈβ€˜π‘)))
971, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 96isghmd 19024 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  βŸ¨cop 4597   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  2oc2o 8411  [cec 8653   / cqs 8654  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  Basecbs 17090  +gcplusg 17140   Ξ£g cgsu 17329   /s cqus 17394  Mndcmnd 18563  freeMndcfrmd 18664  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756   GrpHom cghm 19012   ~FG cefg 19495  freeGrpcfrgp 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-frmd 18666  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-ghm 19013  df-efg 19498  df-frgp 19499
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19566  frgpup3  19567
  Copyright terms: Public domain W3C validator