MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 19808
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 frgpup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
3 eqid 2735 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2735 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 frgpup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
76frgpgrp 19795 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invg𝐻)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
12 frgpup.a . . 3 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
13 frgpup.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
14 frgpup.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 19806 . 2 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
186, 17, 14frgpval 19791 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
20 2on 8519 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
23 wrdexg 14559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
24 fvi 6985 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2613, 25eqtrid 2787 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
2817, 27frmdbas 18878 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
3026, 29eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3114fvexi 6921 . . . . . . . . . 10 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 ∈ V)
33 fvexd 6922 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 17592 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
351, 34eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
36 eqimss 4054 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑊 / ) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3938sselda 3995 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ (𝑊 / ))
40 eqid 2735 . . . . 5 (𝑊 / ) = (𝑊 / )
41 oveq2 7439 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝑎(+g𝐺)[𝑢] ) = (𝑎(+g𝐺)𝑐))
4241fveq2d 6911 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)))
43 fveq2 6907 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐸𝑐))
4443oveq2d 7447 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
4542, 44eqeq12d 2751 . . . . 5 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐))))
4637sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
4746adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
48 fvoveq1 7454 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )))
49 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐸𝑎))
5049oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
5148, 50eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] ))))
52 fviss 6986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5313, 52eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5453sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝑊𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5553sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑊𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
56 ccatcl 14609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5754, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5813efgrcl 19748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6059simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
6157, 60eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6361, 62sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6454ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6555ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 19803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
68 ccatco 14871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
7069oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))) = (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))))
719grpmndd 18977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝐻 ∈ Mnd)
73 wrdco 14867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7454, 66, 73syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7574adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
76 wrdco 14867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
7765, 67, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
782, 4gsumccat 18867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
7972, 75, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8063, 70, 793eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8113, 6, 14, 3frgpadd 19796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8281adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8382fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ))
842, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
8584adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
862, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑊) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8786adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8885, 87oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8980, 83, 883eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9089anass1rs 655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑡𝑊) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9140, 51, 90ectocld 8823 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9247, 91syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9392an32s 652 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑢𝑊) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9440, 45, 93ectocld 8823 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9539, 94syldan 591 . . 3 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9695anasss 466 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑋𝑐𝑋)) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
971, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 96isghmd 19256 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690  ccom 5693  Oncon0 6386  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2oc2o 8499  [cec 8742   / cqs 8743  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487   /s cqus 17552  Mndcmnd 18760  freeMndcfrmd 18873  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965   GrpHom cghm 19243   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-efg 19742  df-frgp 19743
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19810  frgpup3  19811
  Copyright terms: Public domain W3C validator