MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup1 19794
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables 𝑎 𝑢 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 frgpup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
3 eqid 2736 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2736 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 frgpup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
76frgpgrp 19781 . . 3 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
85, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 frgpup.h . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
10 frgpup.n . . 3 𝑁 = (invg𝐻)
11 frgpup.t . . 3 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
12 frgpup.a . . 3 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
13 frgpup.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
14 frgpup.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
15 frgpup.e . . 3 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 19792 . 2 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
186, 17, 14frgpval 19777 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
195, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
20 2on 8521 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
21 xpexg 7771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
225, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
23 wrdexg 14563 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
24 fvi 6984 . . . . . . . . . . . 12 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2613, 25eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
2817, 27frmdbas 18866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
3026, 29eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3114fvexi 6919 . . . . . . . . . 10 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 ∈ V)
33 fvexd 6920 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
3419, 30, 32, 33qusbas 17591 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
351, 34eqtr4id 2795 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
36 eqimss 4041 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑊 / ) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑋 ⊆ (𝑊 / ))
3938sselda 3982 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ (𝑊 / ))
40 eqid 2736 . . . . 5 (𝑊 / ) = (𝑊 / )
41 oveq2 7440 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝑎(+g𝐺)[𝑢] ) = (𝑎(+g𝐺)𝑐))
4241fveq2d 6909 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)))
43 fveq2 6905 . . . . . . 7 ([𝑢] = 𝑐 → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐸𝑐))
4443oveq2d 7448 . . . . . 6 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
4542, 44eqeq12d 2752 . . . . 5 ([𝑢] = 𝑐 → ((𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐))))
4637sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
4746adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → 𝑎 ∈ (𝑊 / ))
48 fvoveq1 7455 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )))
49 fveq2 6905 . . . . . . . . . 10 ([𝑡] = 𝑎 → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐸𝑎))
5049oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
5148, 50eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ([𝑡] = 𝑎 → ((𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) ↔ (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] ))))
52 fviss 6985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5313, 52eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5453sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝑊𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5553sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑊𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
56 ccatcl 14613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5754, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ Word (𝐼 × 2o))
5813efgrcl 19734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6059simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
6157, 60eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊)
622, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡 ++ 𝑢) ∈ 𝑊) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6361, 62sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))))
6454ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6555ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o))
662, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 19789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
68 ccatco 14875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢)) = ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢)))
7069oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ (𝑡 ++ 𝑢))) = (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))))
719grpmndd 18965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → 𝐻 ∈ Mnd)
73 wrdco 14871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7454, 66, 73syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
7574adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵)
76 wrdco 14871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
7765, 67, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵)
782, 4gsumccat 18855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑡) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇𝑢) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
7972, 75, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐻 Σg ((𝑇𝑡) ++ (𝑇𝑢))) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8063, 70, 793eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8113, 6, 14, 3frgpadd 19782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑊𝑢𝑊) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8281adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] ) = [(𝑡 ++ 𝑢)] )
8382fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = (𝐸‘[(𝑡 ++ 𝑢)] ))
842, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑊) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
8584adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑡] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑡)))
862, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 19793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑊) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8786adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘[𝑢] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝑢)))
8885, 87oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )) = ((𝐻 Σg (𝑇𝑡))(+g𝐻)(𝐻 Σg (𝑇𝑢))))
8980, 83, 883eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑊𝑢𝑊)) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9089anass1rs 655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑡𝑊) → (𝐸‘([𝑡] (+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸‘[𝑡] )(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9140, 51, 90ectocld 8825 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9247, 91syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑊) ∧ 𝑎𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9392an32s 652 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑢𝑊) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)[𝑢] )) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸‘[𝑢] )))
9440, 45, 93ectocld 8825 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑊 / )) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9539, 94syldan 591 . . 3 (((𝜑𝑎𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
9695anasss 466 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑋𝑐𝑋)) → (𝐸‘(𝑎(+g𝐺)𝑐)) = ((𝐸𝑎)(+g𝐻)(𝐸𝑐)))
971, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 96isghmd 19244 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  cop 4631  cmpt 5224   I cid 5576   × cxp 5682  ran crn 5685  ccom 5688  Oncon0 6383  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  2oc2o 8501  [cec 8744   / cqs 8745  Word cword 14553   ++ cconcat 14609  Basecbs 17248  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17486   /s cqus 17551  Mndcmnd 18748  freeMndcfrmd 18861  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953   GrpHom cghm 19231   ~FG cefg 19725  freeGrpcfrgp 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-frmd 18863  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-efg 19728  df-frgp 19729
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19796  frgpup3  19797
  Copyright terms: Public domain W3C validator