MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrptlem3 27154
Description: Lemma for dchrpt 27155. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrpt.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrpt.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrpt.1 1 = (1rβ€˜π‘)
dchrpt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrpt.n1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
dchrpt.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrpt.m Β· = (.gβ€˜π»)
dchrpt.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
dchrpt.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
dchrpt.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
dchrpt.2 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯, 1   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘˜,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘˜,π‘Š,𝑛,π‘₯   Β· ,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,𝑍,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables π‘Ž β„Ž π‘š 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
54zncrng 21439 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 20150 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
119, 10unitgrp 20285 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
1312grpmndd 18876 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
14 dchrpt.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
1514dmexd 7893 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š ∈ V)
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
1716gsumz 18761 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom π‘Š ∈ V) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
1813, 15, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
19 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘)
209, 10, 19unitgrpid 20287 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
218, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
2221mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»)))
2322oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))))
2418, 23, 213eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = 1 )
251, 24neeqtrrd 3009 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )))
26 dchrpt.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
27 zex 12571 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ V
2827mptex 7220 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
2928rnex 7900 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
30 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
3129, 30dmmpti 6688 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom π‘Š
3231a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = dom π‘Š)
33 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
34 dchrpt.au . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
35 dchrpt.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
3634, 35eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
37 eqid 2726 . . . . . 6 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)}
3821adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
3926, 32dprdf2 19929 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:dom π‘ŠβŸΆ(SubGrpβ€˜π»))
4039ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
4116subg0cl 19061 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4338, 42eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4419fvexi 6899 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
4615, 45fczfsuppd 9383 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (dom π‘Š Γ— { 1 }) finSupp 1 )
47 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . 10 (dom π‘Š Γ— { 1 }) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )
4847eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 })
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 }))
5021eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π») = 1 )
5146, 49, 503brtr4d 5173 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) finSupp (0gβ€˜π»))
5237, 26, 32, 43, 51dprdwd 19933 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)})
5326, 32, 33, 36, 16, 37, 52dpjeq 19981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5453necon3abid 2971 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5525, 54mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
56 rexnal 3094 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
5755, 56sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
58 df-ne 2935 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 ↔ Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
59 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
60 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
61 dchrpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
622adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
631adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 β‰  1 )
64 dchrpt.m . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π»)
6534adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6614adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
6726adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
6835adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
69 eqid 2726 . . . . . 6 (odβ€˜π») = (odβ€˜π»)
70 eqid 2726 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž)))) = (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))
71 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Ž ∈ dom π‘Š)
72 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )
73 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š)))) = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š))))
7459, 4, 60, 61, 19, 62, 63, 9, 10, 64, 30, 65, 66, 67, 68, 33, 69, 70, 71, 72, 73dchrptlem2 27153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
7574expr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7658, 75biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7776rexlimdva 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7857, 77mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  β„©cio 6487  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Xcixp 8893   finSupp cfsupp 9363  1c1 11113  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β†‘cexp 14032  Word cword 14470  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995  SubGrpcsubg 19047  odcod 19444   DProd cdprd 19915  dProjcdpj 19916  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  Unitcui 20257  β„€/nβ„€czn 21389  β†‘𝑐ccxp 26444  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14471  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-od 19448  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-dprd 19917  df-dpj 19918  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrpt  27155
  Copyright terms: Public domain W3C validator