MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrptlem3 27215
Description: Lemma for dchrpt 27216. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrpt.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrpt.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrpt.1 1 = (1rβ€˜π‘)
dchrpt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrpt.n1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
dchrpt.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrpt.m Β· = (.gβ€˜π»)
dchrpt.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
dchrpt.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
dchrpt.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
dchrpt.2 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯, 1   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘˜,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘˜,π‘Š,𝑛,π‘₯   Β· ,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,𝑍,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables π‘Ž β„Ž π‘š 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nnnn0d 12560 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
54zncrng 21480 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 20187 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
119, 10unitgrp 20324 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
1312grpmndd 18905 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
14 dchrpt.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
1514dmexd 7907 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š ∈ V)
16 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
1716gsumz 18790 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom π‘Š ∈ V) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
1813, 15, 17syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
19 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘)
209, 10, 19unitgrpid 20326 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
218, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
2221mpteq2dv 5245 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»)))
2322oveq2d 7431 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))))
2418, 23, 213eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = 1 )
251, 24neeqtrrd 3005 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )))
26 dchrpt.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
27 zex 12595 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ V
2827mptex 7230 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
2928rnex 7914 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
30 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
3129, 30dmmpti 6693 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom π‘Š
3231a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = dom π‘Š)
33 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
34 dchrpt.au . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
35 dchrpt.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
3634, 35eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
37 eqid 2725 . . . . . 6 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)}
3821adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
3926, 32dprdf2 19966 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:dom π‘ŠβŸΆ(SubGrpβ€˜π»))
4039ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
4116subg0cl 19091 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4338, 42eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4419fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
4615, 45fczfsuppd 9407 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (dom π‘Š Γ— { 1 }) finSupp 1 )
47 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . 10 (dom π‘Š Γ— { 1 }) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )
4847eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 })
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 }))
5021eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π») = 1 )
5146, 49, 503brtr4d 5175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) finSupp (0gβ€˜π»))
5237, 26, 32, 43, 51dprdwd 19970 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)})
5326, 32, 33, 36, 16, 37, 52dpjeq 20018 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5453necon3abid 2967 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5525, 54mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
56 rexnal 3090 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
5755, 56sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
58 df-ne 2931 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 ↔ Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
59 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
60 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
61 dchrpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
622adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
631adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 β‰  1 )
64 dchrpt.m . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π»)
6534adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6614adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
6726adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
6835adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
69 eqid 2725 . . . . . 6 (odβ€˜π») = (odβ€˜π»)
70 eqid 2725 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž)))) = (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))
71 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Ž ∈ dom π‘Š)
72 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )
73 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š)))) = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š))))
7459, 4, 60, 61, 19, 62, 63, 9, 10, 64, 30, 65, 66, 67, 68, 33, 69, 70, 71, 72, 73dchrptlem2 27214 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
7574expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7658, 75biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7776rexlimdva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7857, 77mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  β„©cio 6492  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Xcixp 8912   finSupp cfsupp 9383  1c1 11137  -cneg 11473   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β†‘cexp 14056  Word cword 14494  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18892  .gcmg 19025  SubGrpcsubg 19077  odcod 19481   DProd cdprd 19952  dProjcdpj 19953  mulGrpcmgp 20076  1rcur 20123  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  Unitcui 20296  β„€/nβ„€czn 21430  β†‘𝑐ccxp 26505  DChrcdchr 27181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-word 14495  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-dvds 16229  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-qus 17488  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-od 19485  df-lsm 19593  df-pj1 19594  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-dprd 19954  df-dpj 19955  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-2idl 21146  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-zn 21434  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507  df-dchr 27182
This theorem is referenced by:  dchrpt  27216
  Copyright terms: Public domain W3C validator