Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem3 25854
 Description: Lemma for dchrpt 25855. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥, 1   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝑊,𝑛,𝑥   · ,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑢 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (𝜑𝐴1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 20240 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 19306 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
119, 10unitgrp 19417 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
13 grpmnd 18106 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
15 dchrpt.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
1615dmexd 7600 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑊 ∈ V)
17 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
1817gsumz 17996 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom 𝑊 ∈ V) → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))) = (0g𝐻))
1914, 16, 18syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))) = (0g𝐻))
20 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑍)
219, 10, 20unitgrpid 19419 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring → 1 = (0g𝐻))
228, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1 = (0g𝐻))
2322mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻)))
2423oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) = (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))))
2519, 24, 223eqtr4d 2846 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) = 1 )
261, 25neeqtrrd 3064 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )))
27 dchrpt.2 . . . . . 6 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
28 zex 11982 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
2928mptex 6967 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
3029rnex 7603 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
31 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
3230, 31dmmpti 6468 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom 𝑊
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
34 eqid 2801 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
35 dchrpt.au . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
36 dchrpt.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
3735, 36eleqtrrd 2896 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
38 eqid 2801 . . . . . 6 {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)}
3922adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → 1 = (0g𝐻))
4027, 33dprdf2 19126 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:dom 𝑊⟶(SubGrp‘𝐻))
4140ffvelrnda 6832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4217subg0cl 18283 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐻) → (0g𝐻) ∈ (𝑆𝑎))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (0g𝐻) ∈ (𝑆𝑎))
4439, 43eqeltrd 2893 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → 1 ∈ (𝑆𝑎))
4520fvexi 6663 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑1 ∈ V)
4716, 46fczfsuppd 8839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dom 𝑊 × { 1 }) finSupp 1 )
48 fconstmpt 5582 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑊 × { 1 }) = (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )
4948eqcomi 2810 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (dom 𝑊 × { 1 })
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (dom 𝑊 × { 1 }))
5122eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐻) = 1 )
5247, 50, 513brtr4d 5065 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) finSupp (0g𝐻))
5338, 27, 33, 44, 52dprdwd 19130 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)})
5427, 33, 34, 37, 17, 38, 53dpjeq 19178 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ))
5554necon3abid 3026 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ))
5626, 55mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
57 rexnal 3204 . . 3 (∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
5856, 57sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
59 df-ne 2991 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 ↔ ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
60 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
61 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
62 dchrpt.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑍)
632adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑁 ∈ ℕ)
641adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐴1 )
65 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
6635adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐴𝑈)
6715adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑊 ∈ Word 𝑈)
6827adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐻dom DProd 𝑆)
6936adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
70 eqid 2801 . . . . . 6 (od‘𝐻) = (od‘𝐻)
71 eqid 2801 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎)))) = (-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))
72 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑎 ∈ dom 𝑊)
73 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )
74 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝑎)) ∧ = ((-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))↑𝑚)))) = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝑎)) ∧ = ((-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))↑𝑚))))
7560, 4, 61, 62, 20, 63, 64, 9, 10, 65, 31, 66, 67, 68, 69, 34, 70, 71, 72, 73, 74dchrptlem2 25853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
7675expr 460 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7759, 76syl5bir 246 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7877rexlimdva 3246 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7958, 78mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524  ℩cio 6285  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Xcixp 8448   finSupp cfsupp 8821  1c1 10531  -cneg 10864   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ↑cexp 13429  Word cword 13861  Basecbs 16479   ↾s cress 16480  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  Mndcmnd 17907  Grpcgrp 18099  .gcmg 18220  SubGrpcsubg 18269  odcod 18648   DProd cdprd 19112  dProjcdpj 19113  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  Unitcui 19389  ℤ/nℤczn 20200  ↑𝑐ccxp 25151  DChrcdchr 25820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-word 13862  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-qus 16778  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-od 18652  df-lsm 18757  df-pj1 18758  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-dprd 19114  df-dpj 19115  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201  df-zn 20204  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153  df-dchr 25821 This theorem is referenced by:  dchrpt  25855
 Copyright terms: Public domain W3C validator