MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem3 25534
Description: Lemma for dchrpt 25535. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥, 1   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝑊,𝑛,𝑥   · ,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑢 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (𝜑𝐴1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11760 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 20383 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 19021 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
119, 10unitgrp 19130 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
13 grpmnd 17888 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
15 dchrpt.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
1615dmexd 7424 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑊 ∈ V)
17 eqid 2772 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
1817gsumz 17832 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom 𝑊 ∈ V) → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))) = (0g𝐻))
1914, 16, 18syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))) = (0g𝐻))
20 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑍)
219, 10, 20unitgrpid 19132 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring → 1 = (0g𝐻))
228, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1 = (0g𝐻))
2322mpteq2dv 5017 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻)))
2423oveq2d 6986 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) = (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊 ↦ (0g𝐻))))
2519, 24, 223eqtr4d 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) = 1 )
261, 25neeqtrrd 3035 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )))
27 dchrpt.2 . . . . . 6 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
28 zex 11795 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
2928mptex 6806 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
3029rnex 7426 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
31 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
3230, 31dmmpti 6316 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom 𝑊
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
34 eqid 2772 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
35 dchrpt.au . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
36 dchrpt.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
3735, 36eleqtrrd 2863 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
38 eqid 2772 . . . . . 6 {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)}
3922adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → 1 = (0g𝐻))
4027, 33dprdf2 18869 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:dom 𝑊⟶(SubGrp‘𝐻))
4140ffvelrnda 6670 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4217subg0cl 18061 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐻) → (0g𝐻) ∈ (𝑆𝑎))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (0g𝐻) ∈ (𝑆𝑎))
4439, 43eqeltrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → 1 ∈ (𝑆𝑎))
4520fvexi 6507 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑1 ∈ V)
4716, 46fczfsuppd 8638 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dom 𝑊 × { 1 }) finSupp 1 )
48 fconstmpt 5457 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑊 × { 1 }) = (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )
4948eqcomi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (dom 𝑊 × { 1 })
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) = (dom 𝑊 × { 1 }))
5122eqcomd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐻) = 1 )
5247, 50, 513brtr4d 4955 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) finSupp (0g𝐻))
5338, 27, 33, 44, 52dprdwd 18873 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 ∈ dom 𝑊1 ) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑊(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐻)})
5427, 33, 34, 37, 17, 38, 53dpjeq 18921 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ))
5554necon3abid 2997 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ (𝐻 Σg (𝑎 ∈ dom 𝑊1 )) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ))
5626, 55mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
57 rexnal 3179 . . 3 (∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ dom 𝑊(((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
5856, 57sylibr 226 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
59 df-ne 2962 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 ↔ ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 )
60 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
61 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
62 dchrpt.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑍)
632adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑁 ∈ ℕ)
641adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐴1 )
65 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
6635adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐴𝑈)
6715adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑊 ∈ Word 𝑈)
6827adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝐻dom DProd 𝑆)
6936adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
70 eqid 2772 . . . . . 6 (od‘𝐻) = (od‘𝐻)
71 eqid 2772 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎)))) = (-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))
72 simprl 758 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → 𝑎 ∈ dom 𝑊)
73 simprr 760 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )
74 eqid 2772 . . . . . 6 (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝑎)) ∧ = ((-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))↑𝑚)))) = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝑎)) ∧ = ((-1↑𝑐(2 / ((od‘𝐻)‘(𝑊𝑎))))↑𝑚))))
7560, 4, 61, 62, 20, 63, 64, 9, 10, 65, 31, 66, 67, 68, 69, 34, 70, 71, 72, 73, 74dchrptlem2 25533 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑊 ∧ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 )) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
7675expr 449 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → ((((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) ≠ 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7759, 76syl5bir 235 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑊) → (¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7877rexlimdva 3223 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ dom 𝑊 ¬ (((𝐻dProj𝑆)‘𝑎)‘𝐴) = 1 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1))
7958, 78mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  {crab 3086  Vcvv 3409  {csn 4435   class class class wbr 4923  cmpt 5002   × cxp 5398  dom cdm 5400  ran crn 5401  cio 6144  cfv 6182  (class class class)co 6970  Xcixp 8251   finSupp cfsupp 8620  1c1 10328  -cneg 10663   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  cexp 13237  Word cword 13662  Basecbs 16329  s cress 16330  0gc0g 16559   Σg cgsu 16560  Mndcmnd 17752  Grpcgrp 17881  .gcmg 18001  SubGrpcsubg 18047  odcod 18404   DProd cdprd 18855  dProjcdpj 18856  mulGrpcmgp 18952  1rcur 18964  Ringcrg 19010  CRingccrg 19011  Unitcui 19102  ℤ/nczn 20342  𝑐ccxp 24830  DChrcdchr 25500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-acn 9157  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-word 13663  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-dvds 15458  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-qus 16628  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-nsg 18051  df-eqg 18052  df-ghm 18117  df-gim 18160  df-cntz 18208  df-oppg 18235  df-od 18408  df-lsm 18512  df-pj1 18513  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-dprd 18857  df-dpj 18858  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-rnghom 19180  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-lidl 19658  df-rsp 19659  df-2idl 19716  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-zring 20310  df-zrh 20343  df-zn 20346  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158  df-log 24831  df-cxp 24832  df-dchr 25501
This theorem is referenced by:  dchrpt  25535
  Copyright terms: Public domain W3C validator