MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem3 26630
Description: Lemma for dchrpt 26631. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrpt.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrpt.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrpt.1 1 = (1rβ€˜π‘)
dchrpt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrpt.n1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
dchrpt.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrpt.m Β· = (.gβ€˜π»)
dchrpt.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
dchrpt.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
dchrpt.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
dchrpt.2 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯, 1   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘˜,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘˜,π‘Š,𝑛,π‘₯   Β· ,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,𝑍,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables π‘Ž β„Ž π‘š 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
54zncrng 20967 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 19983 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
119, 10unitgrp 20103 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
1312grpmndd 18767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
14 dchrpt.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
1514dmexd 7847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š ∈ V)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
1716gsumz 18653 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom π‘Š ∈ V) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
1813, 15, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
19 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘)
209, 10, 19unitgrpid 20105 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
218, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
2221mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»)))
2322oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))))
2418, 23, 213eqtr4d 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = 1 )
251, 24neeqtrrd 3019 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )))
26 dchrpt.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
27 zex 12515 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ V
2827mptex 7178 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
2928rnex 7854 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
30 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
3129, 30dmmpti 6650 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom π‘Š
3231a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = dom π‘Š)
33 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
34 dchrpt.au . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
35 dchrpt.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
3634, 35eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
37 eqid 2737 . . . . . 6 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)}
3821adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
3926, 32dprdf2 19793 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:dom π‘ŠβŸΆ(SubGrpβ€˜π»))
4039ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
4116subg0cl 18943 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4338, 42eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4419fvexi 6861 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
4615, 45fczfsuppd 9330 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (dom π‘Š Γ— { 1 }) finSupp 1 )
47 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . 10 (dom π‘Š Γ— { 1 }) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )
4847eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 })
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 }))
5021eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π») = 1 )
5146, 49, 503brtr4d 5142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) finSupp (0gβ€˜π»))
5237, 26, 32, 43, 51dprdwd 19797 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)})
5326, 32, 33, 36, 16, 37, 52dpjeq 19845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5453necon3abid 2981 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5525, 54mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
56 rexnal 3104 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
5755, 56sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
58 df-ne 2945 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 ↔ Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
59 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
60 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
61 dchrpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
622adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
631adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 β‰  1 )
64 dchrpt.m . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π»)
6534adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6614adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
6726adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
6835adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
69 eqid 2737 . . . . . 6 (odβ€˜π») = (odβ€˜π»)
70 eqid 2737 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž)))) = (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))
71 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Ž ∈ dom π‘Š)
72 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )
73 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š)))) = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š))))
7459, 4, 60, 61, 19, 62, 63, 9, 10, 64, 30, 65, 66, 67, 68, 33, 69, 70, 71, 72, 73dchrptlem2 26629 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
7574expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7658, 75biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7776rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7857, 77mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  β„©cio 6451  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Xcixp 8842   finSupp cfsupp 9312  1c1 11059  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  Word cword 14409  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313   DProd cdprd 19779  dProjcdpj 19780  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075  β„€/nβ„€czn 20919  β†‘𝑐ccxp 25927  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrpt  26631
  Copyright terms: Public domain W3C validator