MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrptlem3 26758
Description: Lemma for dchrpt 26759. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrpt.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrpt.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrpt.1 1 = (1rβ€˜π‘)
dchrpt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrpt.n1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
dchrpt.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
dchrpt.m Β· = (.gβ€˜π»)
dchrpt.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
dchrpt.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
dchrpt.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
dchrpt.2 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯, 1   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘˜,𝐻,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘˜,π‘Š,𝑛,π‘₯   Β· ,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,𝑍,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘˜,𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables π‘Ž β„Ž π‘š 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  1 )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
54zncrng 21091 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
7 crngring 20061 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
119, 10unitgrp 20189 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Grp)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
1312grpmndd 18828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
14 dchrpt.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
1514dmexd 7892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š ∈ V)
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
1716gsumz 18713 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ dom π‘Š ∈ V) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
1813, 15, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))) = (0gβ€˜π»))
19 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘)
209, 10, 19unitgrpid 20191 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
218, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
2221mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»)))
2322oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ (0gβ€˜π»))))
2418, 23, 213eqtr4d 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) = 1 )
251, 24neeqtrrd 3015 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )))
26 dchrpt.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
27 zex 12563 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ V
2827mptex 7221 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
2928rnex 7899 . . . . . . . 8 ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))) ∈ V
30 dchrpt.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘˜ ∈ dom π‘Š ↦ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· (π‘Šβ€˜π‘˜))))
3129, 30dmmpti 6691 . . . . . . 7 dom 𝑆 = dom π‘Š
3231a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = dom π‘Š)
33 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐻dProj𝑆) = (𝐻dProj𝑆)
34 dchrpt.au . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
35 dchrpt.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
3634, 35eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐻 DProd 𝑆))
37 eqid 2732 . . . . . 6 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)}
3821adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 = (0gβ€˜π»))
3926, 32dprdf2 19871 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:dom π‘ŠβŸΆ(SubGrpβ€˜π»))
4039ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
4116subg0cl 19008 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (0gβ€˜π») ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4338, 42eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ 1 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
4419fvexi 6902 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ V)
4615, 45fczfsuppd 9377 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (dom π‘Š Γ— { 1 }) finSupp 1 )
47 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . 10 (dom π‘Š Γ— { 1 }) = (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )
4847eqcomi 2741 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 })
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) = (dom π‘Š Γ— { 1 }))
5021eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π») = 1 )
5146, 49, 503brtr4d 5179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) finSupp (0gβ€˜π»))
5237, 26, 32, 43, 51dprdwd 19875 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 ) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom π‘Š(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜π»)})
5326, 32, 33, 36, 16, 37, 52dpjeq 19923 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5453necon3abid 2977 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  (𝐻 Ξ£g (π‘Ž ∈ dom π‘Š ↦ 1 )) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ))
5525, 54mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
56 rexnal 3100 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘Š(((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
5755, 56sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
58 df-ne 2941 . . . 4 ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 ↔ Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 )
59 dchrpt.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
60 dchrpt.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
61 dchrpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
622adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
631adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 β‰  1 )
64 dchrpt.m . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π»)
6534adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
6614adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Š ∈ Word π‘ˆ)
6726adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ 𝐻dom DProd 𝑆)
6835adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (𝐻 DProd 𝑆) = π‘ˆ)
69 eqid 2732 . . . . . 6 (odβ€˜π») = (odβ€˜π»)
70 eqid 2732 . . . . . 6 (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž)))) = (-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))
71 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ π‘Ž ∈ dom π‘Š)
72 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )
73 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š)))) = (𝑒 ∈ π‘ˆ ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π‘’) = (π‘š Β· (π‘Šβ€˜π‘Ž)) ∧ β„Ž = ((-1↑𝑐(2 / ((odβ€˜π»)β€˜(π‘Šβ€˜π‘Ž))))β†‘π‘š))))
7459, 4, 60, 61, 19, 62, 63, 9, 10, 64, 30, 65, 66, 67, 68, 33, 69, 70, 71, 72, 73dchrptlem2 26757 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ dom π‘Š ∧ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
7574expr 457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ ((((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) β‰  1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7658, 75biimtrrid 242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom π‘Š) β†’ (Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7776rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom π‘Š Β¬ (((𝐻dProj𝑆)β€˜π‘Ž)β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1))
7857, 77mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) β‰  1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  β„©cio 6490  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Xcixp 8887   finSupp cfsupp 9357  1c1 11107  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β†‘cexp 14023  Word cword 14460  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  .gcmg 18944  SubGrpcsubg 18994  odcod 19386   DProd cdprd 19857  dProjcdpj 19858  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161  β„€/nβ„€czn 21043  β†‘𝑐ccxp 26055  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-od 19390  df-lsm 19498  df-pj1 19499  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-dprd 19859  df-dpj 19860  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dchrpt  26759
  Copyright terms: Public domain W3C validator