Theorem grpn0 19214

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 19209	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3		fveq2 6911	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4		base0 17424	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
6	5	necon3i 2991	. 2 ⊢ ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
7	2, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  Grpcgrp 19176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179

This theorem is used by:  lactghmga  19652