Theorem grpn0 18897

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18892	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4		base0 17154	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
6	5	necon3i 2965	. 2 ⊢ ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4315  ‘cfv 6534  Basecbs 17149  Grpcgrp 18859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-1cn 11165  ax-addcl 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12212  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862

This theorem is referenced by:  lactghmga  19321