Theorem grpn0 17769

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2800	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 17766	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3		fveq2 6412	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4		base0 16236	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	syl6eqr 2852	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
6	5	necon3i 3004	. 2 ⊢ ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2972  ∅c0 4116  ‘cfv 6102  Basecbs 16183  Grpcgrp 17737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-slot 16187  df-base 16189  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740

This theorem is referenced by:  lactghmga  18135