MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpn0 18073
Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
grpn0 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21grpbn0 18070 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3 fveq2 6663 . . . 4 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4 base0 16524 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
53, 4syl6eqr 2871 . . 3 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
65necon3i 3045 . 2 ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
72, 6syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  cfv 6348  Basecbs 16471  Grpcgrp 18041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-slot 16475  df-base 16477  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044
This theorem is referenced by:  lactghmga  18462
  Copyright terms: Public domain W3C validator