Theorem grpn0 18127

Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
grpn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18124	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3		fveq2 6645	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4		base0 16528	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5	3, 4	eqtr4di 2851	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
6	5	necon3i 3019	. 2 ⊢ ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  Grpcgrp 18095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-slot 16479  df-base 16481  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098

This theorem is referenced by:  lactghmga  18525