MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpn0 18935
Description: A group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
grpn0 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21grpbn0 18930 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝐺) ≠ ∅)
3 fveq2 6902 . . . 4 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
4 base0 17192 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
53, 4eqtr4di 2786 . . 3 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = ∅)
65necon3i 2970 . 2 ((Base‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ≠ ∅)
72, 6syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  c0 4326  cfv 6553  Basecbs 17187  Grpcgrp 18897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900
This theorem is referenced by:  lactghmga  19367
  Copyright terms: Public domain W3C validator