Theorem grurankcld 44883

Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grurankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2		grurankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3	2	elexd 3486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		unir1 9785	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
7	6	grur1 10805	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
8	2, 5, 7	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
9	1, 8	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
10	9	r1rankcld 44881	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
11	10, 8	eleqtrrd 2872	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∪ cuni 4876   “ cima 5665  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9734  rankcrnk 9735  Univcgru 10775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-tc 9704  df-r1 9736  df-rank 9737  df-card 9925  df-cf 9927  df-acn 9928  df-ac 10100  df-wina 10669  df-ina 10670  df-gru 10776

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44885