Theorem grurankcld 44210

Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grurankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2		grurankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3	2	elexd 3460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		unir1 9709	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
7	6	grur1 10714	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
8	2, 5, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
9	1, 8	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
10	9	r1rankcld 44208	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
11	10, 8	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902  ∪ cuni 4858   “ cima 5622  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  𝑅₁cr1 9658  rankcrnk 9659  Univcgru 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-tc 9633  df-r1 9660  df-rank 9661  df-card 9835  df-cf 9837  df-acn 9838  df-ac 10010  df-wina 10578  df-ina 10579  df-gru 10685

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44226