Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankcld 44252
Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grurankcld (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld
StepHypRef Expression
1 grurankcld.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐺)
2 grurankcld.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
32elexd 3504 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ V)
4 unir1 9853 . . . . . 6 (𝑅1 “ On) = V
53, 4eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (𝜑𝐺 (𝑅1 “ On))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
76grur1 10860 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
82, 5, 7syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
91, 8eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
109r1rankcld 44250 . 2 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
1110, 8eleqtrrd 2844 1 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950   cuni 4907  cima 5688  Oncon0 6384  cfv 6561  𝑅1cr1 9802  rankcrnk 9803  Univcgru 10830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-tc 9777  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-gru 10831
This theorem is referenced by:  gruscottcld  44268
  Copyright terms: Public domain W3C validator