Theorem grurankcld 40941

Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grurankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2		grurankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3	2	elexd 3461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		unir1 9226	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
7	6	grur1 10231	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
8	2, 5, 7	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
9	1, 8	eleqtrd 2892	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
10	9	r1rankcld 40939	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
11	10, 8	eleqtrrd 2893	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∪ cuni 4800   “ cima 5522  Oncon0 6159  ‘cfv 6324  𝑅₁cr1 9175  rankcrnk 9176  Univcgru 10201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-reg 9040  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-tc 9163  df-r1 9177  df-rank 9178  df-card 9352  df-cf 9354  df-acn 9355  df-ac 9527  df-wina 10095  df-ina 10096  df-gru 10202

This theorem is referenced by:  gruscottcld  40957