Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankcld 43735
Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankcld.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
grurankcld (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld
StepHypRef Expression
1 grurankcld.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
2 grurankcld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
32elexd 3484 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
4 unir1 9836 . . . . . 6 βˆͺ (𝑅1 β€œ On) = V
53, 4eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
6 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
76grur1 10843 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ 𝐺 = (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
82, 5, 7syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
91, 8eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
109r1rankcld 43733 . 2 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
1110, 8eleqtrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938  βˆͺ cuni 4903   β€œ cima 5675  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543  π‘…1cr1 9785  rankcrnk 9786  Univcgru 10813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-reg 9615  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-tc 9760  df-r1 9787  df-rank 9788  df-card 9962  df-cf 9964  df-acn 9965  df-ac 10139  df-wina 10707  df-ina 10708  df-gru 10814
This theorem is referenced by:  gruscottcld  43751
  Copyright terms: Public domain W3C validator