Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankcld 44229
Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grurankcld (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld
StepHypRef Expression
1 grurankcld.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐺)
2 grurankcld.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
32elexd 3502 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ V)
4 unir1 9851 . . . . . 6 (𝑅1 “ On) = V
53, 4eleqtrrdi 2850 . . . . 5 (𝜑𝐺 (𝑅1 “ On))
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
76grur1 10858 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
82, 5, 7syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
91, 8eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
109r1rankcld 44227 . 2 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
1110, 8eleqtrrd 2842 1 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962   cuni 4912  cima 5692  Oncon0 6386  cfv 6563  𝑅1cr1 9800  rankcrnk 9801  Univcgru 10828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-tc 9775  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-cf 9979  df-acn 9980  df-ac 10154  df-wina 10722  df-ina 10723  df-gru 10829
This theorem is referenced by:  gruscottcld  44245
  Copyright terms: Public domain W3C validator