Theorem grurankcld 44810

Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grurankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2		grurankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3	2	elexd 3478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		unir1 9772	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
7	6	grur1 10779	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
8	2, 5, 7	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
9	1, 8	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
10	9	r1rankcld 44808	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
11	10, 8	eleqtrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904  ∪ cuni 4866   “ cima 5651  Oncon0 6347  ‘cfv 6522  𝑅₁cr1 9721  rankcrnk 9722  Univcgru 10749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-reg 9541  ax-inf2 9597  ax-ac2 10421

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-tc 9691  df-r1 9723  df-rank 9724  df-card 9898  df-cf 9900  df-acn 9901  df-ac 10073  df-wina 10643  df-ina 10644  df-gru 10750

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44826