Theorem grurankcld 44686

Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grurankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2		grurankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3	2	elexd 3454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		unir1 9729	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
7	6	grur1 10735	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
8	2, 5, 7	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
9	1, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
10	9	r1rankcld 44684	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘(𝐺 ∩ On)))
11	10, 8	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882  ∪ cuni 4839   “ cima 5622  Oncon0 6311  ‘cfv 6486  𝑅₁cr1 9678  rankcrnk 9679  Univcgru 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-reg 9498  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-tc 9648  df-r1 9680  df-rank 9681  df-card 9855  df-cf 9857  df-acn 9858  df-ac 10030  df-wina 10599  df-ina 10600  df-gru 10706

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44702