Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankcld 43568
Description: Grothendieck universes are closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankcld.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
grurankcld.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
grurankcld (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankcld
StepHypRef Expression
1 grurankcld.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
2 grurankcld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
32elexd 3489 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
4 unir1 9810 . . . . . 6 βˆͺ (𝑅1 β€œ On) = V
53, 4eleqtrrdi 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐺 ∩ On) = (𝐺 ∩ On)
76grur1 10817 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐺 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ 𝐺 = (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
82, 5, 7syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
91, 8eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
109r1rankcld 43566 . 2 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜(𝐺 ∩ On)))
1110, 8eleqtrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942  βˆͺ cuni 4902   β€œ cima 5672  Oncon0 6358  β€˜cfv 6537  π‘…1cr1 9759  rankcrnk 9760  Univcgru 10787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-tc 9734  df-r1 9761  df-rank 9762  df-card 9936  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113  df-wina 10681  df-ina 10682  df-gru 10788
This theorem is referenced by:  gruscottcld  43584
  Copyright terms: Public domain W3C validator