Theorem hvmul2negi 29698

Description: Double negative in scalar multiplication. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
hvmulcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmul2negi	⊢ (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hvmul2negi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	mul2negi 11529	. . 3 ⊢ (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)
4	3	oveq1i 7352	. 2 ⊢ ((-𝐴 · -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) ·ℎ 𝐶)
5	1	negcli 11395	. . 3 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
6	2	negcli 11395	. . 3 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
7		hvmulcom.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	5, 6, 7	hvmulassi 29696	. 2 ⊢ ((-𝐴 · -𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	1, 2, 7	hvmulassi 29696	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))
10	4, 8, 9	3eqtr3i 2773	1 ⊢ (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7342  ℂcc 10975   · cmul 10982  -cneg 11312   ℋchba 29569   ·_ℎ csm 29571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-hvmulass 29657

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-ltxr 11120  df-sub 11313  df-neg 11314

This theorem is referenced by: (None)