Theorem hvmul2negi 29459

Description: Double negative in scalar multiplication. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcom.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
hvmulcom.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
hvmulcom.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvmul2negi	⊢ (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))

Proof of Theorem hvmul2negi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcom.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		hvmulcom.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	mul2negi 11473	. . 3 ⊢ (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)
4	3	oveq1i 7317	. 2 ⊢ ((-𝐴 · -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) ·ℎ 𝐶)
5	1	negcli 11339	. . 3 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
6	2	negcli 11339	. . 3 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
7		hvmulcom.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	5, 6, 7	hvmulassi 29457	. 2 ⊢ ((-𝐴 · -𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	1, 2, 7	hvmulassi 29457	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))
10	4, 8, 9	3eqtr3i 2772	1 ⊢ (-𝐴 ·ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10919   · cmul 10926  -cneg 11256   ℋchba 29330   ·_ℎ csm 29332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-hvmulass 29418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-ltxr 11064  df-sub 11257  df-neg 11258

This theorem is referenced by: (None)