Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 46092
Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccelpart 46091 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
5 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
64, 5oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) = ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
76eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
8 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
9 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3610 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1514expcom 414 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
19 0elfz 13597 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 46077 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 46077 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 13647 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 46087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
30 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3130breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
3231rspcva 3610 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
3328, 29, 32syl2anr 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
34 fzofzp1 13728 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 46086 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3736breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3837rspcva 3610 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3934, 35, 38syl2anr 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
40 icossico 13393 . . . . . . 7 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4241sseld 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4417, 43impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 eliun 5001 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4644, 45bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  [,)cico 13325  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator