Theorem iccpartiun 48211

Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartiun	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartiun.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2		iccpartiun.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iccelpart 48210	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))))
4		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
5		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑀) = (𝑃‘𝑀))
6	4, 5	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) = ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
7	6	eleq2d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
8		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
9		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
10	8, 9	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
11	10	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
12	11	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
13	7, 12	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
14	13	rspcva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))))) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
15	14	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
16	2, 3, 15	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
17	1, 16	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
18		nnnn0 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
19		0elfz 13657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 18, 19	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	2, 1, 20	iccpartxr 48196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	22	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	2, 18, 23	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	2, 1, 24	iccpartxr 48196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	21, 25	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
28		elfzofz 13709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
29	2, 1	iccpartgel 48206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
30		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
31	30	breq2d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
32	31	rspcva 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
33	28, 29, 32	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
34		fzofzp1 13798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	2, 1	iccpartleu 48205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀))
36		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
37	36	breq1d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
38	37	rspcva 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	34, 35, 38	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
40		icossico 13447	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
41	27, 33, 39, 40	syl12anc 849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
42	41	sseld 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
43	42	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
44	17, 43	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		eliun 4960	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
47	46	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  [,)cico 13378  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687  RePartciccp 48190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-iccp 48191

This theorem is used by: (None)