Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 45716
Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccelpart 45715 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
5 fveq1 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
64, 5oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) = ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
76eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
8 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
9 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3581 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1514expcom 415 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
19 0elfz 13547 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 13597 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 45711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
30 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3130breq2d 5121 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
3231rspcva 3581 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
3328, 29, 32syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
34 fzofzp1 13678 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 45710 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
36 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3736breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3837rspcva 3581 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3934, 35, 38syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
40 icossico 13343 . . . . . . 7 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4241sseld 3947 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3149 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4417, 43impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 eliun 4962 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4644, 45bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  [,)cico 13275  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator