Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 46402
Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccelpart 46401 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
5 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
64, 5oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) = ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
76eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
8 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
9 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3611 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1514expcom 413 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
19 0elfz 13603 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 46387 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 46387 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 511 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 13653 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 46397 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3130breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
3231rspcva 3611 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
3328, 29, 32syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
34 fzofzp1 13734 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 46396 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3736breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3837rspcva 3611 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3934, 35, 38syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
40 icossico 13399 . . . . . . 7 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4241sseld 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3154 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4417, 43impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 eliun 5002 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4644, 45bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2729 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  [,)cico 13331  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  RePartciccp 46381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-iccp 46382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator