Theorem iccpartiun 44886

Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartiun	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartiun.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2		iccpartiun.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iccelpart 44885	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))))
4		fveq1 6773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
5		fveq1 6773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑀) = (𝑃‘𝑀))
6	4, 5	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) = ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
7	6	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
8		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
9		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
10	8, 9	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
11	10	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
12	11	rexbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
13	7, 12	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
14	13	rspcva 3559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))))) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
15	14	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
16	2, 3, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
17	1, 16	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
18		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
19		0elfz 13353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	2, 1, 20	iccpartxr 44871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	22	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	2, 18, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	2, 1, 24	iccpartxr 44871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	21, 25	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
28		elfzofz 13403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
29	2, 1	iccpartgel 44881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
30		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
31	30	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
32	31	rspcva 3559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
33	28, 29, 32	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
34		fzofzp1 13484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	2, 1	iccpartleu 44880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀))
36		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
37	36	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
38	37	rspcva 3559	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	34, 35, 38	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
40		icossico 13149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
41	27, 33, 39, 40	syl12anc 834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
42	41	sseld 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
43	42	rexlimdva 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
44	17, 43	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		eliun 4928	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
47	46	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  [,)cico 13081  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  RePartciccp 44865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-iccp 44866

This theorem is referenced by: (None)