Theorem iccpartiun 47533

Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartiun	⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartiun.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2		iccpartiun.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iccelpart 47532	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))))
4		fveq1 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
5		fveq1 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑀) = (𝑃‘𝑀))
6	4, 5	oveq12d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) = ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
7	6	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
8		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
9		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
10	8, 9	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
11	10	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
12	11	rexbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
13	7, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
14	13	rspcva 3570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))))) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
15	14	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝‘𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
16	2, 3, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
17	1, 16	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
18		nnnn0 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
19		0elfz 13524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	2, 1, 20	iccpartxr 47518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	22	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	2, 18, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	2, 1, 24	iccpartxr 47518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	21, 25	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*))
28		elfzofz 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
29	2, 1	iccpartgel 47528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
30		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
31	30	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
32	31	rspcva 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
33	28, 29, 32	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
34		fzofzp1 13664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
35	2, 1	iccpartleu 47527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀))
36		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
37	36	breq1d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
38	37	rspcva 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	34, 35, 38	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
40		icossico 13316	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
41	27, 33, 39, 40	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
42	41	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
43	42	rexlimdva 3133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
44	17, 43	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		eliun 4943	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
47	46	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)) = ∪ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  [,)cico 13247  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  RePartciccp 47512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-iccp 47513

This theorem is referenced by: (None)