Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 46400
Description: A half-open interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 iccelpart 46399 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
5 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
64, 5oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) = ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
76eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
8 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
9 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3609 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1514expcom 412 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(π‘₯ ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
19 0elfz 13602 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 46385 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 46385 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 510 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 13652 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 46395 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
30 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3130breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
3231rspcva 3609 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
3328, 29, 32syl2anr 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
34 fzofzp1 13733 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 46394 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
36 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3736breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3837rspcva 3609 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3934, 35, 38syl2anr 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
40 icossico 13398 . . . . . . 7 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4241sseld 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4342rexlimdva 3153 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
4417, 43impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 eliun 5000 . . 3 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4644, 45bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2728 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) = βˆͺ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  [,)cico 13330  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  RePartciccp 46379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-iccp 46380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator