Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 46682
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
2 nfreu1 3402 . . . . 5 β„²π‘–βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
8 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
9 0elfz 13604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 46664 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 46664 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 46674 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
19 elfzofz 13654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2221breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2322rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2524ex 412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2726imp 406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
284, 6iccpartleu 46673 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
29 fzofzp1 13735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3332rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3534ex 412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736imp 406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
38 icossico 13400 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4039sseld 3976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
414, 6icceuelpart 46681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 681 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4342ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3390 . . . 4 (βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1922 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5107 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368  βˆƒ*wrmo 3369   βŠ† wss 3943  Disj wdisj 5106   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  [,)cico 13332  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46659
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator