Theorem iccpartdisj 47693

Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartdisj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj

Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfreu1 3378	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		0elfz 13540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	5, 7, 11	iccpartxr 47675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13		nn0fz0 13541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
15	4, 8, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
17	5, 7, 16	iccpartxr 47675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
18	4, 6	iccpartgel 47685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
19		elfzofz 13591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
22	21	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
23	22	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))))
26	18, 25	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
27	26	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
28	4, 6	iccpartleu 47684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀))
29		fzofzp1 13680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
32	31	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
33	32	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))))
36	28, 35	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
38		icossico 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
39	12, 17, 27, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
40	39	sseld 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
41	4, 6	icceuelpart 47692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
42	3, 40, 41	syl6an 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
44	1, 2, 43	rexlimd 3243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		rmo5 3368	. . . 4 ⊢ (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
46	44, 45	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
47	46	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48		df-disj 5066	. 2 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
49	47, 48	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348  ∃*wrmo 3349   ⊆ wss 3901  Disj wdisj 5065   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  [,)cico 13263  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  RePartciccp 47669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-iccp 47670

This theorem is referenced by: (None)