Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 45719
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
2 nfreu1 3384 . . . . 5 β„²π‘–βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3 simpl 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
54adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
8 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
9 0elfz 13547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 45711 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
19 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2221breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2322rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2524ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2726imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
284, 6iccpartleu 45710 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
29 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3332rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3534ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
38 icossico 13343 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4039sseld 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
414, 6icceuelpart 45718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 683 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4342ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3372 . . . 4 (βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1931 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5075 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350  βˆƒ*wrmo 3351   βŠ† wss 3914  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  [,)cico 13275  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator