Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 46806
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 𝑖𝜑
2 nfreu1 3406 . . . . 5 𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8 nnnn0 12517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 0elfz 13638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 46788 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 46788 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 46798 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
19 elfzofz 13688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
2221breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2322rspcv 3607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2524ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2726imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
284, 6iccpartleu 46797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀))
29 fzofzp1 13769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3332rspcv 3607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3534ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3736imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
38 icossico 13434 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4039sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
414, 6icceuelpart 46805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 682 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4342ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3261 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3394 . . . 4 (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1922 . 2 (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5118 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 233 1 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3372  ∃*wrmo 3373  wss 3949  Disj wdisj 5117   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  *cxr 11285  cle 11287  cn 12250  0cn0 12510  [,)cico 13366  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  RePartciccp 46782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-iccp 46783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator