Theorem iccpartdisj 47897

Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartdisj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj

Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfreu1 3370	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		0elfz 13578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	5, 7, 11	iccpartxr 47879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13		nn0fz0 13579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
15	4, 8, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
17	5, 7, 16	iccpartxr 47879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
18	4, 6	iccpartgel 47889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
19		elfzofz 13630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
22	21	breq2d 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
23	22	rspcv 3560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))))
26	18, 25	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
27	26	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
28	4, 6	iccpartleu 47888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀))
29		fzofzp1 13719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
32	31	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
33	32	rspcv 3560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))))
36	28, 35	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
38		icossico 13369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
39	12, 17, 27, 37, 38	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
40	39	sseld 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
41	4, 6	icceuelpart 47896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
42	3, 40, 41	syl6an 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
44	1, 2, 43	rexlimd 3244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		rmo5 3360	. . . 4 ⊢ (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
46	44, 45	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
47	46	alrimiv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48		df-disj 5053	. 2 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
49	47, 48	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340  ∃*wrmo 3341   ⊆ wss 3889  Disj wdisj 5052   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  [,)cico 13300  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  RePartciccp 47873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-iccp 47874

This theorem is referenced by: (None)