Theorem iccpartdisj 47418

Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartdisj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj

Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfreu1 3396	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		0elfz 13646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	5, 7, 11	iccpartxr 47400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13		nn0fz0 13647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
15	4, 8, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
17	5, 7, 16	iccpartxr 47400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
18	4, 6	iccpartgel 47410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
19		elfzofz 13697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
22	21	breq2d 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
23	22	rspcv 3602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))))
26	18, 25	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
27	26	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
28	4, 6	iccpartleu 47409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀))
29		fzofzp1 13785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
32	31	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
33	32	rspcv 3602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))))
36	28, 35	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
38		icossico 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
39	12, 17, 27, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
40	39	sseld 3962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
41	4, 6	icceuelpart 47417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
42	3, 40, 41	syl6an 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
44	1, 2, 43	rexlimd 3253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		rmo5 3384	. . . 4 ⊢ (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
46	44, 45	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
47	46	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48		df-disj 5092	. 2 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
49	47, 48	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3362  ∃*wrmo 3363   ⊆ wss 3931  Disj wdisj 5091   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  [,)cico 13369  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  RePartciccp 47394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-ico 13373  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-iccp 47395

This theorem is referenced by: (None)