Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 47424
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . . 5 𝑖𝜑
2 nfreu1 3412 . . . . 5 𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 0elfz 13664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 47406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 47406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 47416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
19 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
2221breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2322rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2524ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2726imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
284, 6iccpartleu 47415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀))
29 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3332rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3534ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3736imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
38 icossico 13457 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4039sseld 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
414, 6icceuelpart 47423 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 684 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4342ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3266 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3400 . . . 4 (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 234 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1927 . 2 (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5111 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 234 1 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  wss 3951  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  [,)cico 13389  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  RePartciccp 47400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-iccp 47401
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator