Theorem iccpartdisj 47311

Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartdisj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj

Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfreu1 3420	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		0elfz 13681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	5, 7, 11	iccpartxr 47293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13		nn0fz0 13682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
15	4, 8, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
17	5, 7, 16	iccpartxr 47293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
18	4, 6	iccpartgel 47303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗))
19		elfzofz 13732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
22	21	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
23	22	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))))
26	18, 25	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
27	26	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
28	4, 6	iccpartleu 47302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀))
29		fzofzp1 13814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
32	31	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
33	32	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑗) ≤ (𝑃‘𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))))
36	28, 35	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))
38		icossico 13477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑀))) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
39	12, 17, 27, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀)))
40	39	sseld 4007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))))
41	4, 6	icceuelpart 47310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃‘𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
42	3, 40, 41	syl6an 683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
44	1, 2, 43	rexlimd 3272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45		rmo5 3408	. . . 4 ⊢ (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
46	44, 45	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
47	46	alrimiv 1926	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48		df-disj 5134	. 2 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
49	47, 48	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃‘𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  ∃*wrmo 3387   ⊆ wss 3976  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  [,)cico 13409  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  RePartciccp 47287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-iccp 47288

This theorem is referenced by: (None)