Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 43596
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1911 . . . . 5 𝑖𝜑
2 nfreu1 3370 . . . . 5 𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
76adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8 nnnn0 11903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 0elfz 13003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 43578 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 43578 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 43588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
19 elfzofz 13052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
2221breq2d 5077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2322rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2524ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2726imp 409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
284, 6iccpartleu 43587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀))
29 fzofzp1 13133 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3332rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3534ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3736imp 409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
38 icossico 12805 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4039sseld 3965 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
414, 6icceuelpart 43595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 682 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4342ex 415 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3317 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3434 . . . 4 (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 236 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1924 . 2 (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5031 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 236 1 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  ∃!wreu 3140  ∃*wrmo 3141  wss 3935  Disj wdisj 5030   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  *cxr 10673  cle 10675  cn 11637  0cn0 11896  [,)cico 12739  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  RePartciccp 43572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-iccp 43573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator