Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 46839
Description: The segments of a partitioned half-open interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
2 nfreu1 3396 . . . . 5 β„²π‘–βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3 simpl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
54adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
8 nnnn0 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
9 0elfz 13628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 46821 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 13629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 46821 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 46831 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
19 elfzofz 13678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2221breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2322rspcv 3598 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2524ex 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2726imp 405 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
284, 6iccpartleu 46830 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
29 fzofzp1 13759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3332rspcv 3598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3534ex 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3736imp 405 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
38 icossico 13424 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
4039sseld 3971 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
414, 6icceuelpart 46838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4342ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3254 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3384 . . . 4 (βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 1922 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
48 df-disj 5109 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆ€π‘βˆƒ*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362  βˆƒ*wrmo 3363   βŠ† wss 3940  Disj wdisj 5108   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  β„*cxr 11275   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  [,)cico 13356  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  RePartciccp 46815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-iccp 46816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator