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Theorem hsphoidmvle 45237
Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a half-space, is less than or equal to the dimensional volume of the original half-open interval. Used in the last inequality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hsphoidmvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hsphoidmvle.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
hsphoidmvle.y 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hsphoidmvle.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
hsphoidmvle.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
hsphoidmvle.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hsphoidmvle.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,𝑐,𝑗,π‘˜   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑗   π‘Œ,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑍,𝑐,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐡(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘Œ(π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑍(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hsphoidmvle
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
2 hsphoidmvle.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
32eldifad 3959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
41, 3ffvelcdmd 7083 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ)
5 hsphoidmvle.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
65, 3ffvelcdmd 7083 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
7 hsphoidmvle.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
86, 7ifcld 4573 . . . 4 (πœ‘ β†’ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ∈ ℝ)
9 volicore 45232 . . . 4 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) ∈ ℝ)
104, 8, 9syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) ∈ ℝ)
11 volicore 45232 . . . 4 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
124, 6, 11syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
13 hsphoidmvle.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
14 difssd 4131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) βŠ† 𝑋)
15 ssfi 9169 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 βˆ– {𝑍}) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) ∈ Fin)
1613, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) ∈ Fin)
17 eldifi 4125 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍}) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
1817adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
191ffvelcdmda 7082 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
205ffvelcdmda 7082 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 volicore 45232 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2318, 22syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2416, 23fprodrecl 15893 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
25 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
2618, 19syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2718, 20syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2827rexrd 11260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
29 icombl 25063 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
3026, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
31 volge0 44612 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ 0 ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
3325, 16, 23, 32fprodge0 15933 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
348rexrd 11260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ∈ ℝ*)
35 icombl 25063 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) ∈ dom vol)
364, 34, 35syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) ∈ dom vol)
376rexrd 11260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ*)
38 icombl 25063 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)) ∈ dom vol)
394, 37, 38syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)) ∈ dom vol)
404rexrd 11260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ*)
414leidd 11776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ≀ (π΄β€˜π‘))
42 min1 13164 . . . . . 6 (((π΅β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ≀ (π΅β€˜π‘))
436, 7, 42syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ≀ (π΅β€˜π‘))
44 icossico 13390 . . . . 5 ((((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((π΄β€˜π‘) ≀ (π΄β€˜π‘) ∧ if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢) ≀ (π΅β€˜π‘))) β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) βŠ† ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
4540, 37, 41, 43, 44syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) βŠ† ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
46 volss 25032 . . . 4 ((((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) ∈ dom vol ∧ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)) ∈ dom vol ∧ ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) βŠ† ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
4736, 39, 45, 46syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
4810, 12, 24, 33, 47lemul1ad 12149 . 2 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ≀ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
49 hsphoidmvle.l . . . . 5 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
503ne0d 4334 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
51 hsphoidmvle.h . . . . . 6 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
5251, 7, 13, 5hsphoif 45227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜πΆ)β€˜π΅):π‘‹βŸΆβ„)
5349, 13, 50, 1, 52hoidmvn0val 45235 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))))
5452ffvelcdmda 7082 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 volicore 45232 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
5619, 54, 55syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
5756recnd 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
58 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘))
59 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜) = (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘))
6058, 59oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘)))
6160fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘))))
6261adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘))))
6351, 7, 13, 5, 3hsphoival 45230 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘) = if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π΅β€˜π‘), if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)))
642eldifbd 3960 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
6564iffalsed 4538 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π΅β€˜π‘), if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)) = if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘) = if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))
6766oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘)) = ((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢)))
6867fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))))
6968adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))))
7062, 69eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))))
7113, 57, 3, 70fprodsplit1 44244 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜)))))
727adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7313adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
745adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
7551, 72, 73, 74, 18hsphoival 45230 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π΅β€˜π‘˜), if((π΅β€˜π‘˜) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘˜), 𝐢)))
76 hsphoidmvle.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
7717, 76eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍}) β†’ π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
78 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍}) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {𝑍})
79 elunnel2 4149 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ {𝑍}) β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
8077, 78, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍}) β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
8180adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
8281iftrued 4535 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π΅β€˜π‘˜), if((π΅β€˜π‘˜) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘˜), 𝐢)) = (π΅β€˜π‘˜))
8375, 82eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
8483oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8584fveq2d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
8685prodeq2dv 15863 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
8786oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)β€˜π‘˜)))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
8853, 71, 873eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
8949, 1, 5, 13hoidmvval 45228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
9050neneqd 2946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = βˆ…)
9190iffalsed 4538 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝑋 = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
9222recnd 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
93 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘))
9458, 93oveq12d 7422 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
9594fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
9695adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
9713, 92, 3, 96fprodsplit1 44244 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
9889, 91, 973eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
9988, 98breq12d 5160 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ↔ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)if((π΅β€˜π‘) ≀ 𝐢, (π΅β€˜π‘), 𝐢))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) ≀ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))))
10048, 99mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)((π»β€˜πΆ)β€˜π΅)) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  [,)cico 13322  βˆcprod 15845  volcvol 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cmp 22873  df-ovol 24963  df-vol 24964
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  45240  hoidmvlelem1  45246  hoidmvlelem4  45249  hspmbllem2  45278
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