Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hsphoidmvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsphoidmvle 46542
Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a half-space, is less than or equal to the dimensional volume of the original half-open interval. Used in the last inequality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hsphoidmvle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hsphoidmvle.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝑌))
hsphoidmvle.y 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hsphoidmvle.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
hsphoidmvle.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑗𝑋 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
hsphoidmvle.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hsphoidmvle.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑐,𝑗,𝑘   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐵(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hsphoidmvle
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2 hsphoidmvle.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝑌))
32eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑋)
41, 3ffvelcdmd 7105 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
5 hsphoidmvle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
65, 3ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
7 hsphoidmvle.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
86, 7ifcld 4577 . . . 4 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ)
9 volicore 46537 . . . 4 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ∈ ℝ)
104, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ∈ ℝ)
11 volicore 46537 . . . 4 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
124, 6, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
13 hsphoidmvle.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 difssd 4147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) ⊆ 𝑋)
15 ssfi 9212 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ {𝑍}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑍}) ∈ Fin)
1613, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) ∈ Fin)
17 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑋)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑋)
191ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
205ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
21 volicore 46537 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2318, 22syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2416, 23fprodrecl 15986 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
25 nfv 1912 . . . 4 𝑘𝜑
2618, 19syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2718, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2827rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
29 icombl 25613 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
3026, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
31 volge0 45917 . . . . 5 (((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
3325, 16, 23, 32fprodge0 16026 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
348rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ*)
35 icombl 25613 . . . . 5 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol)
364, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol)
376rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ*)
38 icombl 25613 . . . . 5 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol)
394, 37, 38syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol)
404rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ*)
414leidd 11827 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑍) ≤ (𝐴𝑍))
42 min1 13228 . . . . . 6 (((𝐵𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))
436, 7, 42syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))
44 icossico 13454 . . . . 5 ((((𝐴𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑍) ≤ (𝐴𝑍) ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))) → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
4540, 37, 41, 43, 44syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
46 volss 25582 . . . 4 ((((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ≤ (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
4736, 39, 45, 46syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ≤ (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
4810, 12, 24, 33, 47lemul1ad 12205 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ≤ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
49 hsphoidmvle.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
503ne0d 4348 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
51 hsphoidmvle.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑗𝑋 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
5251, 7, 13, 5hsphoif 46532 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐶)‘𝐵):𝑋⟶ℝ)
5349, 13, 50, 1, 52hoidmvn0val 46540 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))))
5452ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55 volicore 46537 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℝ)
5619, 54, 55syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℝ)
5756recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℂ)
58 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
59 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑍 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))
6058, 59oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍)))
6160fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))))
6261adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))))
6351, 7, 13, 5, 3hsphoival 46535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍) = if(𝑍𝑌, (𝐵𝑍), if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)))
642eldifbd 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
6564iffalsed 4542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑍𝑌, (𝐵𝑍), if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) = if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))
6663, 65eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍) = if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))
6766oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍)) = ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)))
6867fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
7062, 69eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
7113, 57, 3, 70fprodsplit1 45549 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)))))
727adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝐶 ∈ ℝ)
7313adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ Fin)
745adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
7551, 72, 73, 74, 18hsphoival 46535 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝑌, (𝐵𝑘), if((𝐵𝑘) ≤ 𝐶, (𝐵𝑘), 𝐶)))
76 hsphoidmvle.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
7717, 76eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
78 eldifn 4142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑍})
79 elunnel2 4165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑍}) → 𝑘𝑌)
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑌)
8180adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑌)
8281iftrued 4539 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → if(𝑘𝑌, (𝐵𝑘), if((𝐵𝑘) ≤ 𝐶, (𝐵𝑘), 𝐶)) = (𝐵𝑘))
8375, 82eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
8483oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → ((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8584fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8685prodeq2dv 15955 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8786oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
8853, 71, 873eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
8949, 1, 5, 13hoidmvval 46533 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9050neneqd 2943 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
9190iffalsed 4542 . . . 4 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9222recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
93 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
9458, 93oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
9594fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
9695adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
9713, 92, 3, 96fprodsplit1 45549 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9889, 91, 973eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9988, 98breq12d 5161 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ↔ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ≤ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))))
10048, 99mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  [,)cico 13386  cprod 15936  volcvol 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  46545  hoidmvlelem1  46551  hoidmvlelem4  46554  hspmbllem2  46583
  Copyright terms: Public domain W3C validator