Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffz 33695
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
inffz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12326 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 11055 . . . 4 < Or ℝ
3 soss 5523 . . . 4 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or ℤ
54a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → < Or ℤ)
6 eluzel2 12587 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzfz1 13263 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle1 13259 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
98adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
106zred 12426 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 elfzelz 13256 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211zred 12426 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 lenlt 11053 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1410, 12, 13syl2an 596 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
159, 14mpbid 231 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
165, 6, 7, 15infmin 9253 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074   Or wor 5502  cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  cr 10870   < clt 11009  cle 11010  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator