Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffz 33689
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
inffz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12324 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 11054 . . . 4 < Or ℝ
3 soss 5523 . . . 4 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or ℤ
54a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → < Or ℤ)
6 eluzel2 12584 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzfz1 13260 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle1 13256 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
98adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
106zred 12423 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 elfzelz 13253 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211zred 12423 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 lenlt 11052 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1410, 12, 13syl2an 596 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
159, 14mpbid 231 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
165, 6, 7, 15infmin 9229 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079   Or wor 5502  cfv 6431  (class class class)co 7269  infcinf 9176  cr 10869   < clt 11008  cle 11009  cz 12317  cuz 12579  ...cfz 13236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-neg 11206  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator