Theorem inffz 34991

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12569	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11298	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5608	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . 3 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → < Or ℤ)
6		eluzel2 12831	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzfz1 13512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle1 13508	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
10	6	zred 12670	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		elfzelz 13505	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	11	zred 12670	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		lenlt 11296	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
14	10, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
15	9, 14	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
16	5, 6, 7, 15	infmin 9491	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by: (None)