Theorem inffz 36044

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12572	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11260	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5573	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . 3 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → < Or ℤ)
6		eluzel2 12841	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzfz1 13533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle1 13529	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
9	8	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
10	6	zred 12674	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		elfzelz 13526	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	11	zred 12674	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		lenlt 11258	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
14	10, 12, 13	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
15	9, 14	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
16	5, 6, 7, 15	infmin 9439	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099   Or wor 5552  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  infcinf 9384  ℝcr 11069   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by: (None)