Theorem supfz 35741

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12467	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11185	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5542	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . 3 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → < Or ℤ)
6		eluzelz 12734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzfz2 13424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle2 13420	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
10		elfzelz 13416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zred 12569	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12735	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		lenlt 11183	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
14	11, 12, 13	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
15	9, 14	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑥)
16	5, 6, 7, 15	supmax 9347	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089   Or wor 5521  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 10997   < clt 11138   ≤ cle 11139  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ...cfz 13399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-neg 11339  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400

This theorem is referenced by: (None)