Theorem supfz 33600

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12256	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 10986	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5514	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . 3 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → < Or ℤ)
6		eluzelz 12521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzfz2 13193	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle2 13189	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
10		elfzelz 13185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12522	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		lenlt 10984	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
14	11, 12, 13	syl2anr 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
15	9, 14	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑥)
16	5, 6, 7, 15	supmax 9156	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   Or wor 5493  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)