Theorem supfz 35454

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Proof of Theorem supfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12598	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11326	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5610	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . 3 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → < Or ℤ)
6		eluzelz 12865	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzfz2 13544	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle2 13540	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
10		elfzelz 13536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zred 12699	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12866	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		lenlt 11324	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
14	11, 12, 13	syl2anr 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑥))
15	9, 14	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝑥)
16	5, 6, 7, 15	supmax 9492	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   Or wor 5589  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  ℝcr 11139   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ...cfz 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520

This theorem is referenced by: (None)