Theorem elfzle1 13508

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13501	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12839	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ≤ cle 11253  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13516  fzdisj  13532  elfznn  13534  ssfzunsnext  13550  fznatpl1  13559  fznn0sub2  13612  fz0fzdiffz0  13614  difelfznle  13619  seqf1olem1  14011  seqf1olem2  14012  bcval4  14271  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  fsum0diaglem  15726  mertenslem1  15834  fprodntriv  15890  fallfacval4  15991  divalglem6  16345  hashdvds  16712  prmdiveq  16723  4sqlem11  16892  4sqlem12  16893  dvfsumlem3  25769  birthdaylem3  26682  ppiltx  26905  ppiub  26931  lgsdilem2  27060  lgsquadlem1  27107  chtppilimlem1  27200  dchrvmasumiflem1  27228  pntrlog2bndlem5  27308  pntpbnd1  27313  pntpbnd2  27314  pntlemh  27326  pntlemj  27330  ostth2lem2  27361  axlowdimlem16  28470  fzto1st1  32519  smattr  33065  smatbl  33066  smatbr  33067  ballotlem2  33773  ballotlemsdom  33796  ballotlemsima  33800  ballotlemfrcn0  33814  ballotlem1ri  33819  breprexplemc  33930  subfacp1lem1  34456  subfacp1lem5  34461  inffz  34991  poimirlem2  36793  poimirlem6  36797  poimirlem7  36798  poimirlem8  36799  poimirlem11  36802  poimirlem15  36806  poimirlem16  36807  poimirlem17  36808  poimirlem19  36810  poimirlem20  36811  poimirlem22  36813  poimirlem24  36815  poimirlem29  36820  poimirlem31  36822  poimirlem32  36823  mblfinlem2  36829  fdc  36916  sticksstones6  41273  sticksstones7  41274  sticksstones10  41277  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  metakunt15  41305  irrapxlem3  41864  acongrep  42021  fzmaxdif  42022  acongeq  42024  jm2.23  42037  jm2.26lem3  42042  jm2.27dlem2  42051  monoords  44306  fmul01lt1lem1  44599  fmul01lt1lem2  44600  sumnnodd  44645  limsupubuzlem  44727  dvnmul  44958  dvnprodlem1  44961  dvnprodlem2  44962  iblspltprt  44988  itgspltprt  44994  stoweidlem3  45018  stoweidlem11  45026  stoweidlem20  45035  stoweidlem26  45041  stoweidlem34  45049  wallispi2  45088  dirkeritg  45117  fourierdlem11  45133  fourierdlem12  45134  fourierdlem15  45137  fourierdlem41  45163  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem50  45171  fourierdlem52  45173  fourierdlem54  45175  fourierdlem79  45200  fourierdlem102  45223  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem114  45235  elaa2lem  45248  etransclem3  45252  etransclem4  45253  etransclem7  45256  etransclem10  45259  etransclem23  45272  etransclem24  45273  etransclem31  45280  etransclem32  45281  etransclem35  45284  etransclem41  45290  etransclem46  45295  caratheodorylem1  45541  iccpartgt  46394