Theorem elfzle1 13472

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13465	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12792	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ≤ cle 11171  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13480  fzdisj  13496  elfznn  13498  ssfzunsnext  13514  fznatpl1  13523  fznn0sub2  13580  fz0fzdiffz0  13582  difelfznle  13587  seqf1olem1  13994  seqf1olem2  13995  bcval4  14260  seqcoll  14417  seqcoll2  14418  fsum0diaglem  15729  mertenslem1  15840  fprodntriv  15898  fallfacval4  15999  divalglem6  16358  hashdvds  16736  prmdiveq  16747  4sqlem11  16917  4sqlem12  16918  dvfsumlem3  26013  birthdaylem3  26935  ppiltx  27158  ppiub  27185  lgsdilem2  27314  lgsquadlem1  27361  chtppilimlem1  27454  dchrvmasumiflem1  27482  pntrlog2bndlem5  27562  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntlemh  27580  pntlemj  27584  ostth2lem2  27615  axlowdimlem16  29044  fzto1st1  33183  smattr  33983  smatbl  33984  smatbr  33985  ballotlem2  34673  ballotlemsdom  34696  ballotlemsima  34700  ballotlemfrcn0  34714  ballotlem1ri  34719  breprexplemc  34816  subfacp1lem1  35407  subfacp1lem5  35412  inffz  35958  poimirlem2  37989  poimirlem6  37993  poimirlem7  37994  poimirlem8  37995  poimirlem11  37998  poimirlem15  38002  poimirlem16  38003  poimirlem17  38004  poimirlem19  38006  poimirlem20  38007  poimirlem22  38009  poimirlem24  38011  poimirlem29  38016  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  mblfinlem2  38025  fdc  38112  aks6d1c1  42601  aks6d1c5lem1  42621  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  bcled  42663  bcle2d  42664  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683  irrapxlem3  43269  acongrep  43425  fzmaxdif  43426  acongeq  43428  jm2.23  43441  jm2.26lem3  43446  jm2.27dlem2  43455  monoords  45745  fmul01lt1lem1  46029  fmul01lt1lem2  46030  sumnnodd  46075  limsupubuzlem  46155  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  iblspltprt  46416  itgspltprt  46422  stoweidlem3  46446  stoweidlem11  46454  stoweidlem20  46463  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  wallispi2  46516  dirkeritg  46545  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem52  46601  fourierdlem54  46603  fourierdlem79  46628  fourierdlem102  46651  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem114  46663  elaa2lem  46676  etransclem3  46680  etransclem4  46681  etransclem7  46684  etransclem10  46687  etransclem23  46700  etransclem24  46701  etransclem31  46708  etransclem32  46709  etransclem35  46712  etransclem41  46718  etransclem46  46723  caratheodorylem1  46969  iccpartgt  47902