Theorem elfzle1 13660

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13652	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12978	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  elfz1eq  13668  fzdisj  13685  elfznn  13687  ssfzunsnext  13703  fznatpl1  13712  fznn0sub2  13769  fz0fzdiffz0  13771  difelfznle  13776  seqf1olem1  14184  seqf1olem2  14185  bcval4  14451  seqcoll  14609  seqcoll2  14610  fsum0diaglem  15942  mertenslem1  16053  fprodntriv  16109  fallfacval4  16209  divalglem6  16568  hashdvds  16952  prmdiveq  16963  4sqlem11  17133  4sqlem12  17134  dvfsumlem3  26348  birthdaylem3  27281  ppiltx  27504  ppiub  27531  lgsdilem2  27660  lgsquadlem1  27707  chtppilimlem1  27800  dchrvmasumiflem1  27828  pntrlog2bndlem5  27908  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntlemh  27926  pntlemj  27930  ostth2lem2  27961  axlowdimlem16  29535  fzto1st1  33663  smattr  34431  smatbl  34432  smatbr  34433  ballotlem2  35121  ballotlemsdom  35144  ballotlemsima  35148  ballotlemfrcn0  35162  ballotlem1ri  35167  breprexplemc  35261  subfacp1lem1  35944  subfacp1lem5  35949  inffz  36495  poimirlem2  38540  poimirlem6  38544  poimirlem7  38545  poimirlem8  38546  poimirlem11  38549  poimirlem15  38553  poimirlem16  38554  poimirlem17  38555  poimirlem19  38557  poimirlem20  38558  poimirlem22  38560  poimirlem24  38562  poimirlem29  38567  poimirlem31  38569  poimirlem32  38570  mblfinlem2  38576  fdc  38679  aks6d1c1  43166  aks6d1c5lem1  43186  sticksstones6  43201  sticksstones7  43202  sticksstones10  43205  sticksstones12a  43207  sticksstones12  43208  bcled  43228  bcle2d  43229  unitscyglem2  43246  unitscyglem4  43248  irrapxlem3  43830  acongrep  43986  fzmaxdif  43987  acongeq  43989  jm2.23  44002  jm2.26lem3  44007  jm2.27dlem2  44016  monoords  46312  fmul01lt1lem1  46595  fmul01lt1lem2  46596  sumnnodd  46641  limsupubuzlem  46721  dvnmul  46952  dvnprodlem1  46955  dvnprodlem2  46956  iblspltprt  46982  itgspltprt  46988  stoweidlem3  47012  stoweidlem11  47020  stoweidlem20  47029  stoweidlem26  47035  stoweidlem34  47043  wallispi2  47082  dirkeritg  47111  fourierdlem11  47127  fourierdlem12  47128  fourierdlem15  47131  fourierdlem41  47157  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem50  47165  fourierdlem52  47167  fourierdlem54  47169  fourierdlem79  47194  fourierdlem102  47217  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem114  47229  elaa2lem  47242  etransclem3  47246  etransclem4  47247  etransclem7  47250  etransclem10  47253  etransclem23  47266  etransclem24  47267  etransclem31  47274  etransclem32  47275  etransclem35  47278  etransclem41  47284  etransclem46  47289  caratheodorylem1  47535  iccpartgt  48508