Theorem elfzle1 13441

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12762	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≤ cle 11165  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13449  fzdisj  13465  elfznn  13467  ssfzunsnext  13483  fznatpl1  13492  fznn0sub2  13549  fz0fzdiffz0  13551  difelfznle  13556  seqf1olem1  13962  seqf1olem2  13963  bcval4  14228  seqcoll  14385  seqcoll2  14386  fsum0diaglem  15697  mertenslem1  15805  fprodntriv  15863  fallfacval4  15964  divalglem6  16323  hashdvds  16700  prmdiveq  16711  4sqlem11  16881  4sqlem12  16882  dvfsumlem3  25989  birthdaylem3  26917  ppiltx  27141  ppiub  27169  lgsdilem2  27298  lgsquadlem1  27345  chtppilimlem1  27438  dchrvmasumiflem1  27466  pntrlog2bndlem5  27546  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  pntlemh  27564  pntlemj  27568  ostth2lem2  27599  axlowdimlem16  28979  fzto1st1  33133  smattr  33905  smatbl  33906  smatbr  33907  ballotlem2  34595  ballotlemsdom  34618  ballotlemsima  34622  ballotlemfrcn0  34636  ballotlem1ri  34641  breprexplemc  34738  subfacp1lem1  35322  subfacp1lem5  35327  inffz  35873  poimirlem2  37762  poimirlem6  37766  poimirlem7  37767  poimirlem8  37768  poimirlem11  37771  poimirlem15  37775  poimirlem16  37776  poimirlem17  37777  poimirlem19  37779  poimirlem20  37780  poimirlem22  37782  poimirlem24  37784  poimirlem29  37789  poimirlem31  37791  poimirlem32  37792  mblfinlem2  37798  fdc  37885  aks6d1c1  42309  aks6d1c5lem1  42329  sticksstones6  42344  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  bcled  42371  bcle2d  42372  unitscyglem2  42389  unitscyglem4  42391  irrapxlem3  43008  acongrep  43164  fzmaxdif  43165  acongeq  43167  jm2.23  43180  jm2.26lem3  43185  jm2.27dlem2  43194  monoords  45487  fmul01lt1lem1  45772  fmul01lt1lem2  45773  sumnnodd  45818  limsupubuzlem  45898  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  stoweidlem3  46189  stoweidlem11  46197  stoweidlem20  46206  stoweidlem26  46212  stoweidlem34  46220  wallispi2  46259  dirkeritg  46288  fourierdlem11  46304  fourierdlem12  46305  fourierdlem15  46308  fourierdlem41  46334  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem50  46342  fourierdlem52  46344  fourierdlem54  46346  fourierdlem79  46371  fourierdlem102  46394  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem114  46406  elaa2lem  46419  etransclem3  46423  etransclem4  46424  etransclem7  46427  etransclem10  46430  etransclem23  46443  etransclem24  46444  etransclem31  46451  etransclem32  46452  etransclem35  46455  etransclem41  46461  etransclem46  46466  caratheodorylem1  46712  iccpartgt  47615