Theorem elfzle1 13430

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13423	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12748	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13438  fzdisj  13454  elfznn  13456  ssfzunsnext  13472  fznatpl1  13481  fznn0sub2  13538  fz0fzdiffz0  13540  difelfznle  13545  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcval4  14214  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  fsum0diaglem  15683  mertenslem1  15791  fprodntriv  15849  fallfacval4  15950  divalglem6  16309  hashdvds  16686  prmdiveq  16697  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  dvfsumlem3  25933  birthdaylem3  26861  ppiltx  27085  ppiub  27113  lgsdilem2  27242  lgsquadlem1  27289  chtppilimlem1  27382  dchrvmasumiflem1  27410  pntrlog2bndlem5  27490  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemh  27508  pntlemj  27512  ostth2lem2  27543  axlowdimlem16  28902  fzto1st1  33044  smattr  33766  smatbl  33767  smatbr  33768  ballotlem2  34457  ballotlemsdom  34480  ballotlemsima  34484  ballotlemfrcn0  34498  ballotlem1ri  34503  breprexplemc  34600  subfacp1lem1  35156  subfacp1lem5  35161  inffz  35707  poimirlem2  37606  poimirlem6  37610  poimirlem7  37611  poimirlem8  37612  poimirlem11  37615  poimirlem15  37619  poimirlem16  37620  poimirlem17  37621  poimirlem19  37623  poimirlem20  37624  poimirlem22  37626  poimirlem24  37628  poimirlem29  37633  poimirlem31  37635  poimirlem32  37636  mblfinlem2  37642  fdc  37729  aks6d1c1  42093  aks6d1c5lem1  42113  sticksstones6  42128  sticksstones7  42129  sticksstones10  42132  sticksstones12a  42134  sticksstones12  42135  bcled  42155  bcle2d  42156  unitscyglem2  42173  unitscyglem4  42175  irrapxlem3  42801  acongrep  42957  fzmaxdif  42958  acongeq  42960  jm2.23  42973  jm2.26lem3  42978  jm2.27dlem2  42987  monoords  45283  fmul01lt1lem1  45569  fmul01lt1lem2  45570  sumnnodd  45615  limsupubuzlem  45697  dvnmul  45928  dvnprodlem1  45931  dvnprodlem2  45932  iblspltprt  45958  itgspltprt  45964  stoweidlem3  45988  stoweidlem11  45996  stoweidlem20  46005  stoweidlem26  46011  stoweidlem34  46019  wallispi2  46058  dirkeritg  46087  fourierdlem11  46103  fourierdlem12  46104  fourierdlem15  46107  fourierdlem41  46133  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem50  46141  fourierdlem52  46143  fourierdlem54  46145  fourierdlem79  46170  fourierdlem102  46193  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem114  46205  elaa2lem  46218  etransclem3  46222  etransclem4  46223  etransclem7  46226  etransclem10  46229  etransclem23  46242  etransclem24  46243  etransclem31  46250  etransclem32  46251  etransclem35  46254  etransclem41  46260  etransclem46  46265  caratheodorylem1  46511  iccpartgt  47415