Theorem elfzle1 13504

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13497	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12835	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ≤ cle 11249  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13512  fzdisj  13528  elfznn  13530  ssfzunsnext  13546  fznatpl1  13555  fznn0sub2  13608  fz0fzdiffz0  13610  difelfznle  13615  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  bcval4  14267  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  fsum0diaglem  15722  mertenslem1  15830  fprodntriv  15886  fallfacval4  15987  divalglem6  16341  hashdvds  16708  prmdiveq  16719  4sqlem11  16888  4sqlem12  16889  dvfsumlem3  25545  birthdaylem3  26458  ppiltx  26681  ppiub  26707  lgsdilem2  26836  lgsquadlem1  26883  chtppilimlem1  26976  dchrvmasumiflem1  27004  pntrlog2bndlem5  27084  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntlemh  27102  pntlemj  27106  ostth2lem2  27137  axlowdimlem16  28246  fzto1st1  32292  smattr  32810  smatbl  32811  smatbr  32812  ballotlem2  33518  ballotlemsdom  33541  ballotlemsima  33545  ballotlemfrcn0  33559  ballotlem1ri  33564  breprexplemc  33675  subfacp1lem1  34201  subfacp1lem5  34206  inffz  34730  poimirlem2  36538  poimirlem6  36542  poimirlem7  36543  poimirlem8  36544  poimirlem11  36547  poimirlem15  36551  poimirlem16  36552  poimirlem17  36553  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem22  36558  poimirlem24  36560  poimirlem29  36565  poimirlem31  36567  poimirlem32  36568  mblfinlem2  36574  fdc  36661  sticksstones6  41015  sticksstones7  41016  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  sticksstones12  41022  metakunt15  41047  irrapxlem3  41610  acongrep  41767  fzmaxdif  41768  acongeq  41770  jm2.23  41783  jm2.26lem3  41788  jm2.27dlem2  41797  monoords  44055  fmul01lt1lem1  44348  fmul01lt1lem2  44349  sumnnodd  44394  limsupubuzlem  44476  dvnmul  44707  dvnprodlem1  44710  dvnprodlem2  44711  iblspltprt  44737  itgspltprt  44743  stoweidlem3  44767  stoweidlem11  44775  stoweidlem20  44784  stoweidlem26  44790  stoweidlem34  44798  wallispi2  44837  dirkeritg  44866  fourierdlem11  44882  fourierdlem12  44883  fourierdlem15  44886  fourierdlem41  44912  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem50  44920  fourierdlem52  44922  fourierdlem54  44924  fourierdlem79  44949  fourierdlem102  44972  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem114  44984  elaa2lem  44997  etransclem3  45001  etransclem4  45002  etransclem7  45005  etransclem10  45008  etransclem23  45021  etransclem24  45022  etransclem31  45029  etransclem32  45030  etransclem35  45033  etransclem41  45039  etransclem46  45044  caratheodorylem1  45290  iccpartgt  46143