Theorem elfzle1 13188

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13181	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12524	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≤ cle 10941  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13196  fzdisj  13212  elfznn  13214  ssfzunsnext  13230  fznatpl1  13239  fznn0sub2  13292  fz0fzdiffz0  13294  difelfznle  13299  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  bcval4  13949  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  fsum0diaglem  15416  mertenslem1  15524  fprodntriv  15580  fallfacval4  15681  divalglem6  16035  hashdvds  16404  prmdiveq  16415  4sqlem11  16584  4sqlem12  16585  dvfsumlem3  25097  birthdaylem3  26008  ppiltx  26231  ppiub  26257  lgsdilem2  26386  lgsquadlem1  26433  chtppilimlem1  26526  dchrvmasumiflem1  26554  pntrlog2bndlem5  26634  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntlemh  26652  pntlemj  26656  ostth2lem2  26687  axlowdimlem16  27228  fzto1st1  31271  smattr  31651  smatbl  31652  smatbr  31653  ballotlem2  32355  ballotlemsdom  32378  ballotlemsima  32382  ballotlemfrcn0  32396  ballotlem1ri  32401  breprexplemc  32512  subfacp1lem1  33041  subfacp1lem5  33046  inffz  33601  poimirlem2  35706  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem8  35712  poimirlem11  35715  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem22  35726  poimirlem24  35728  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  mblfinlem2  35742  fdc  35830  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  metakunt15  40067  irrapxlem3  40562  acongrep  40718  fzmaxdif  40719  acongeq  40721  jm2.23  40734  jm2.26lem3  40739  jm2.27dlem2  40748  monoords  42726  fmul01lt1lem1  43015  fmul01lt1lem2  43016  sumnnodd  43061  limsupubuzlem  43143  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem3  43434  stoweidlem11  43442  stoweidlem20  43451  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  wallispi2  43504  dirkeritg  43533  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem52  43589  fourierdlem54  43591  fourierdlem79  43616  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem114  43651  elaa2lem  43664  etransclem3  43668  etransclem4  43669  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem23  43688  etransclem24  43689  etransclem31  43696  etransclem32  43697  etransclem35  43700  etransclem41  43706  etransclem46  43711  caratheodorylem1  43954  iccpartgt  44767