Theorem elfzle1 13549

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13542	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12870	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≤ cle 11275  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13557  fzdisj  13573  elfznn  13575  ssfzunsnext  13591  fznatpl1  13600  fznn0sub2  13657  fz0fzdiffz0  13659  difelfznle  13664  seqf1olem1  14064  seqf1olem2  14065  bcval4  14330  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  fsum0diaglem  15797  mertenslem1  15905  fprodntriv  15963  fallfacval4  16064  divalglem6  16422  hashdvds  16799  prmdiveq  16810  4sqlem11  16980  4sqlem12  16981  dvfsumlem3  25992  birthdaylem3  26920  ppiltx  27144  ppiub  27172  lgsdilem2  27301  lgsquadlem1  27348  chtppilimlem1  27441  dchrvmasumiflem1  27469  pntrlog2bndlem5  27549  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemh  27567  pntlemj  27571  ostth2lem2  27602  axlowdimlem16  28941  fzto1st1  33118  smattr  33835  smatbl  33836  smatbr  33837  ballotlem2  34526  ballotlemsdom  34549  ballotlemsima  34553  ballotlemfrcn0  34567  ballotlem1ri  34572  breprexplemc  34669  subfacp1lem1  35206  subfacp1lem5  35211  inffz  35752  poimirlem2  37651  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem8  37657  poimirlem11  37660  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem22  37671  poimirlem24  37673  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  poimirlem32  37681  mblfinlem2  37687  fdc  37774  aks6d1c1  42134  aks6d1c5lem1  42154  sticksstones6  42169  sticksstones7  42170  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  sticksstones12  42176  bcled  42196  bcle2d  42197  unitscyglem2  42214  unitscyglem4  42216  irrapxlem3  42822  acongrep  42979  fzmaxdif  42980  acongeq  42982  jm2.23  42995  jm2.26lem3  43000  jm2.27dlem2  43009  monoords  45306  fmul01lt1lem1  45593  fmul01lt1lem2  45594  sumnnodd  45639  limsupubuzlem  45721  dvnmul  45952  dvnprodlem1  45955  dvnprodlem2  45956  iblspltprt  45982  itgspltprt  45988  stoweidlem3  46012  stoweidlem11  46020  stoweidlem20  46029  stoweidlem26  46035  stoweidlem34  46043  wallispi2  46082  dirkeritg  46111  fourierdlem11  46127  fourierdlem12  46128  fourierdlem15  46131  fourierdlem41  46157  fourierdlem48  46163  fourierdlem49  46164  fourierdlem50  46165  fourierdlem52  46167  fourierdlem54  46169  fourierdlem79  46194  fourierdlem102  46217  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  fourierdlem114  46229  elaa2lem  46242  etransclem3  46246  etransclem4  46247  etransclem7  46250  etransclem10  46253  etransclem23  46266  etransclem24  46267  etransclem31  46274  etransclem32  46275  etransclem35  46278  etransclem41  46284  etransclem46  46289  caratheodorylem1  46535  iccpartgt  47421