Theorem elfzle1 13488

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13481	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12806	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≤ cle 11209  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13496  fzdisj  13512  elfznn  13514  ssfzunsnext  13530  fznatpl1  13539  fznn0sub2  13596  fz0fzdiffz0  13598  difelfznle  13603  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  bcval4  14272  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  fsum0diaglem  15742  mertenslem1  15850  fprodntriv  15908  fallfacval4  16009  divalglem6  16368  hashdvds  16745  prmdiveq  16756  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  dvfsumlem3  25935  birthdaylem3  26863  ppiltx  27087  ppiub  27115  lgsdilem2  27244  lgsquadlem1  27291  chtppilimlem1  27384  dchrvmasumiflem1  27412  pntrlog2bndlem5  27492  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemh  27510  pntlemj  27514  ostth2lem2  27545  axlowdimlem16  28884  fzto1st1  33059  smattr  33789  smatbl  33790  smatbr  33791  ballotlem2  34480  ballotlemsdom  34503  ballotlemsima  34507  ballotlemfrcn0  34521  ballotlem1ri  34526  breprexplemc  34623  subfacp1lem1  35166  subfacp1lem5  35171  inffz  35717  poimirlem2  37616  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem11  37625  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem22  37636  poimirlem24  37638  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  mblfinlem2  37652  fdc  37739  aks6d1c1  42104  aks6d1c5lem1  42124  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  bcled  42166  bcle2d  42167  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  irrapxlem3  42812  acongrep  42969  fzmaxdif  42970  acongeq  42972  jm2.23  42985  jm2.26lem3  42990  jm2.27dlem2  42999  monoords  45295  fmul01lt1lem1  45582  fmul01lt1lem2  45583  sumnnodd  45628  limsupubuzlem  45710  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem3  46001  stoweidlem11  46009  stoweidlem20  46018  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  wallispi2  46071  dirkeritg  46100  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem52  46156  fourierdlem54  46158  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem114  46218  elaa2lem  46231  etransclem3  46235  etransclem4  46236  etransclem7  46239  etransclem10  46242  etransclem23  46255  etransclem24  46256  etransclem31  46263  etransclem32  46264  etransclem35  46267  etransclem41  46273  etransclem46  46278  caratheodorylem1  46524  iccpartgt  47428