Theorem elfzle1 13443

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13436	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12764	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ≤ cle 11167  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13451  fzdisj  13467  elfznn  13469  ssfzunsnext  13485  fznatpl1  13494  fznn0sub2  13551  fz0fzdiffz0  13553  difelfznle  13558  seqf1olem1  13964  seqf1olem2  13965  bcval4  14230  seqcoll  14387  seqcoll2  14388  fsum0diaglem  15699  mertenslem1  15807  fprodntriv  15865  fallfacval4  15966  divalglem6  16325  hashdvds  16702  prmdiveq  16713  4sqlem11  16883  4sqlem12  16884  dvfsumlem3  25991  birthdaylem3  26919  ppiltx  27143  ppiub  27171  lgsdilem2  27300  lgsquadlem1  27347  chtppilimlem1  27440  dchrvmasumiflem1  27468  pntrlog2bndlem5  27548  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemh  27566  pntlemj  27570  ostth2lem2  27601  axlowdimlem16  29030  fzto1st1  33184  smattr  33956  smatbl  33957  smatbr  33958  ballotlem2  34646  ballotlemsdom  34669  ballotlemsima  34673  ballotlemfrcn0  34687  ballotlem1ri  34692  breprexplemc  34789  subfacp1lem1  35373  subfacp1lem5  35378  inffz  35924  poimirlem2  37823  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem8  37829  poimirlem11  37832  poimirlem15  37836  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem22  37843  poimirlem24  37845  poimirlem29  37850  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  mblfinlem2  37859  fdc  37946  aks6d1c1  42380  aks6d1c5lem1  42400  sticksstones6  42415  sticksstones7  42416  sticksstones10  42419  sticksstones12a  42421  sticksstones12  42422  bcled  42442  bcle2d  42443  unitscyglem2  42460  unitscyglem4  42462  irrapxlem3  43076  acongrep  43232  fzmaxdif  43233  acongeq  43235  jm2.23  43248  jm2.26lem3  43253  jm2.27dlem2  43262  monoords  45555  fmul01lt1lem1  45840  fmul01lt1lem2  45841  sumnnodd  45886  limsupubuzlem  45966  dvnmul  46197  dvnprodlem1  46200  dvnprodlem2  46201  iblspltprt  46227  itgspltprt  46233  stoweidlem3  46257  stoweidlem11  46265  stoweidlem20  46274  stoweidlem26  46280  stoweidlem34  46288  wallispi2  46327  dirkeritg  46356  fourierdlem11  46372  fourierdlem12  46373  fourierdlem15  46376  fourierdlem41  46402  fourierdlem48  46408  fourierdlem49  46409  fourierdlem50  46410  fourierdlem52  46412  fourierdlem54  46414  fourierdlem79  46439  fourierdlem102  46462  fourierdlem103  46463  fourierdlem104  46464  fourierdlem114  46474  elaa2lem  46487  etransclem3  46491  etransclem4  46492  etransclem7  46495  etransclem10  46498  etransclem23  46511  etransclem24  46512  etransclem31  46519  etransclem32  46520  etransclem35  46523  etransclem41  46529  etransclem46  46534  caratheodorylem1  46780  iccpartgt  47683