Theorem elfzle1 13464

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13457	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12782	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≤ cle 11185  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13472  fzdisj  13488  elfznn  13490  ssfzunsnext  13506  fznatpl1  13515  fznn0sub2  13572  fz0fzdiffz0  13574  difelfznle  13579  seqf1olem1  13982  seqf1olem2  13983  bcval4  14248  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  fsum0diaglem  15718  mertenslem1  15826  fprodntriv  15884  fallfacval4  15985  divalglem6  16344  hashdvds  16721  prmdiveq  16732  4sqlem11  16902  4sqlem12  16903  dvfsumlem3  25968  birthdaylem3  26896  ppiltx  27120  ppiub  27148  lgsdilem2  27277  lgsquadlem1  27324  chtppilimlem1  27417  dchrvmasumiflem1  27445  pntrlog2bndlem5  27525  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntlemh  27543  pntlemj  27547  ostth2lem2  27578  axlowdimlem16  28937  fzto1st1  33074  smattr  33782  smatbl  33783  smatbr  33784  ballotlem2  34473  ballotlemsdom  34496  ballotlemsima  34500  ballotlemfrcn0  34514  ballotlem1ri  34519  breprexplemc  34616  subfacp1lem1  35159  subfacp1lem5  35164  inffz  35710  poimirlem2  37609  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem11  37618  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem22  37629  poimirlem24  37631  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  fdc  37732  aks6d1c1  42097  aks6d1c5lem1  42117  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  bcled  42159  bcle2d  42160  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  irrapxlem3  42805  acongrep  42962  fzmaxdif  42963  acongeq  42965  jm2.23  42978  jm2.26lem3  42983  jm2.27dlem2  42992  monoords  45288  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  sumnnodd  45621  limsupubuzlem  45703  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem3  45994  stoweidlem11  46002  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  wallispi2  46064  dirkeritg  46093  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem15  46113  fourierdlem41  46139  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem52  46149  fourierdlem54  46151  fourierdlem79  46176  fourierdlem102  46199  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem114  46211  elaa2lem  46224  etransclem3  46228  etransclem4  46229  etransclem7  46232  etransclem10  46235  etransclem23  46248  etransclem24  46249  etransclem31  46256  etransclem32  46257  etransclem35  46260  etransclem41  46266  etransclem46  46271  caratheodorylem1  46517  iccpartgt  47421