Theorem elfzle1 13573

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13566	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12893	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≤ cle 11261  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  elfz1eq  13581  fzdisj  13598  elfznn  13600  ssfzunsnext  13616  fznatpl1  13625  fznn0sub2  13682  fz0fzdiffz0  13684  difelfznle  13689  seqf1olem1  14097  seqf1olem2  14098  bcval4  14363  seqcoll  14521  seqcoll2  14522  fsum0diaglem  15852  mertenslem1  15963  fprodntriv  16021  fallfacval4  16121  divalglem6  16480  hashdvds  16858  prmdiveq  16869  4sqlem11  17039  4sqlem12  17040  dvfsumlem3  26240  birthdaylem3  27171  ppiltx  27394  ppiub  27421  lgsdilem2  27550  lgsquadlem1  27597  chtppilimlem1  27690  dchrvmasumiflem1  27718  pntrlog2bndlem5  27798  pntpbnd1  27803  pntpbnd2  27804  pntlemh  27816  pntlemj  27820  ostth2lem2  27851  axlowdimlem16  29364  fzto1st1  33488  smattr  34255  smatbl  34256  smatbr  34257  ballotlem2  34946  ballotlemsdom  34969  ballotlemsima  34973  ballotlemfrcn0  34987  ballotlem1ri  34992  breprexplemc  35086  subfacp1lem1  35710  subfacp1lem5  35715  inffz  36261  poimirlem2  38332  poimirlem6  38336  poimirlem7  38337  poimirlem8  38338  poimirlem11  38341  poimirlem15  38345  poimirlem16  38346  poimirlem17  38347  poimirlem19  38349  poimirlem20  38350  poimirlem22  38352  poimirlem24  38354  poimirlem29  38359  poimirlem31  38361  poimirlem32  38362  mblfinlem2  38368  fdc  38456  aks6d1c1  42943  aks6d1c5lem1  42963  sticksstones6  42978  sticksstones7  42979  sticksstones10  42982  sticksstones12a  42984  sticksstones12  42985  bcled  43005  bcle2d  43006  unitscyglem2  43023  unitscyglem4  43025  irrapxlem3  43611  acongrep  43767  fzmaxdif  43768  acongeq  43770  jm2.23  43783  jm2.26lem3  43788  jm2.27dlem2  43797  monoords  46076  fmul01lt1lem1  46360  fmul01lt1lem2  46361  sumnnodd  46406  limsupubuzlem  46486  dvnmul  46717  dvnprodlem1  46720  dvnprodlem2  46721  iblspltprt  46747  itgspltprt  46753  stoweidlem3  46777  stoweidlem11  46785  stoweidlem20  46794  stoweidlem26  46800  stoweidlem34  46808  wallispi2  46847  dirkeritg  46876  fourierdlem11  46892  fourierdlem12  46893  fourierdlem15  46896  fourierdlem41  46922  fourierdlem48  46928  fourierdlem49  46929  fourierdlem50  46930  fourierdlem52  46932  fourierdlem54  46934  fourierdlem79  46959  fourierdlem102  46982  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  fourierdlem114  46994  elaa2lem  47007  etransclem3  47011  etransclem4  47012  etransclem7  47015  etransclem10  47018  etransclem23  47031  etransclem24  47032  etransclem31  47039  etransclem32  47040  etransclem35  47043  etransclem41  47049  etransclem46  47054  caratheodorylem1  47300  iccpartgt  48236