Theorem elfzle1 13259

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13252	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12595	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≤ cle 11010  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13267  fzdisj  13283  elfznn  13285  ssfzunsnext  13301  fznatpl1  13310  fznn0sub2  13363  fz0fzdiffz0  13365  difelfznle  13370  seqf1olem1  13762  seqf1olem2  13763  bcval4  14021  seqcoll  14178  seqcoll2  14179  fsum0diaglem  15488  mertenslem1  15596  fprodntriv  15652  fallfacval4  15753  divalglem6  16107  hashdvds  16476  prmdiveq  16487  4sqlem11  16656  4sqlem12  16657  dvfsumlem3  25192  birthdaylem3  26103  ppiltx  26326  ppiub  26352  lgsdilem2  26481  lgsquadlem1  26528  chtppilimlem1  26621  dchrvmasumiflem1  26649  pntrlog2bndlem5  26729  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  pntlemh  26747  pntlemj  26751  ostth2lem2  26782  axlowdimlem16  27325  fzto1st1  31369  smattr  31749  smatbl  31750  smatbr  31751  ballotlem2  32455  ballotlemsdom  32478  ballotlemsima  32482  ballotlemfrcn0  32496  ballotlem1ri  32501  breprexplemc  32612  subfacp1lem1  33141  subfacp1lem5  33146  inffz  33695  poimirlem2  35779  poimirlem6  35783  poimirlem7  35784  poimirlem8  35785  poimirlem11  35788  poimirlem15  35792  poimirlem16  35793  poimirlem17  35794  poimirlem19  35796  poimirlem20  35797  poimirlem22  35799  poimirlem24  35801  poimirlem29  35806  poimirlem31  35808  poimirlem32  35809  mblfinlem2  35815  fdc  35903  sticksstones6  40107  sticksstones7  40108  sticksstones10  40111  sticksstones12a  40113  sticksstones12  40114  metakunt15  40139  irrapxlem3  40646  acongrep  40802  fzmaxdif  40803  acongeq  40805  jm2.23  40818  jm2.26lem3  40823  jm2.27dlem2  40832  monoords  42836  fmul01lt1lem1  43125  fmul01lt1lem2  43126  sumnnodd  43171  limsupubuzlem  43253  dvnmul  43484  dvnprodlem1  43487  dvnprodlem2  43488  iblspltprt  43514  itgspltprt  43520  stoweidlem3  43544  stoweidlem11  43552  stoweidlem20  43561  stoweidlem26  43567  stoweidlem34  43575  wallispi2  43614  dirkeritg  43643  fourierdlem11  43659  fourierdlem12  43660  fourierdlem15  43663  fourierdlem41  43689  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem50  43697  fourierdlem52  43699  fourierdlem54  43701  fourierdlem79  43726  fourierdlem102  43749  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem114  43761  elaa2lem  43774  etransclem3  43778  etransclem4  43779  etransclem7  43782  etransclem10  43785  etransclem23  43798  etransclem24  43799  etransclem31  43806  etransclem32  43807  etransclem35  43810  etransclem41  43816  etransclem46  43821  caratheodorylem1  44064  iccpartgt  44879