Theorem elfzle1 13564

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13557	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12889	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ≤ cle 11294  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13572  fzdisj  13588  elfznn  13590  ssfzunsnext  13606  fznatpl1  13615  fznn0sub2  13672  fz0fzdiffz0  13674  difelfznle  13679  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  bcval4  14343  seqcoll  14500  seqcoll2  14501  fsum0diaglem  15809  mertenslem1  15917  fprodntriv  15975  fallfacval4  16076  divalglem6  16432  hashdvds  16809  prmdiveq  16820  4sqlem11  16989  4sqlem12  16990  dvfsumlem3  26084  birthdaylem3  27011  ppiltx  27235  ppiub  27263  lgsdilem2  27392  lgsquadlem1  27439  chtppilimlem1  27532  dchrvmasumiflem1  27560  pntrlog2bndlem5  27640  pntpbnd1  27645  pntpbnd2  27646  pntlemh  27658  pntlemj  27662  ostth2lem2  27693  axlowdimlem16  28987  fzto1st1  33105  smattr  33760  smatbl  33761  smatbr  33762  ballotlem2  34470  ballotlemsdom  34493  ballotlemsima  34497  ballotlemfrcn0  34511  ballotlem1ri  34516  breprexplemc  34626  subfacp1lem1  35164  subfacp1lem5  35169  inffz  35710  poimirlem2  37609  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem11  37618  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem22  37629  poimirlem24  37631  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  fdc  37732  aks6d1c1  42098  aks6d1c5lem1  42118  sticksstones6  42133  sticksstones7  42134  sticksstones10  42137  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  bcled  42160  bcle2d  42161  unitscyglem2  42178  unitscyglem4  42180  metakunt15  42201  irrapxlem3  42812  acongrep  42969  fzmaxdif  42970  acongeq  42972  jm2.23  42985  jm2.26lem3  42990  jm2.27dlem2  42999  monoords  45248  fmul01lt1lem1  45540  fmul01lt1lem2  45541  sumnnodd  45586  limsupubuzlem  45668  dvnmul  45899  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem2  45903  iblspltprt  45929  itgspltprt  45935  stoweidlem3  45959  stoweidlem11  45967  stoweidlem20  45976  stoweidlem26  45982  stoweidlem34  45990  wallispi2  46029  dirkeritg  46058  fourierdlem11  46074  fourierdlem12  46075  fourierdlem15  46078  fourierdlem41  46104  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem50  46112  fourierdlem52  46114  fourierdlem54  46116  fourierdlem79  46141  fourierdlem102  46164  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem114  46176  elaa2lem  46189  etransclem3  46193  etransclem4  46194  etransclem7  46197  etransclem10  46200  etransclem23  46213  etransclem24  46214  etransclem31  46221  etransclem32  46222  etransclem35  46225  etransclem41  46231  etransclem46  46236  caratheodorylem1  46482  iccpartgt  47352