Theorem elfzle1 13427

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13420	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12745	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13435  fzdisj  13451  elfznn  13453  ssfzunsnext  13469  fznatpl1  13478  fznn0sub2  13535  fz0fzdiffz0  13537  difelfznle  13542  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcval4  14214  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  fsum0diaglem  15683  mertenslem1  15791  fprodntriv  15849  fallfacval4  15950  divalglem6  16309  hashdvds  16686  prmdiveq  16697  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  dvfsumlem3  25962  birthdaylem3  26890  ppiltx  27114  ppiub  27142  lgsdilem2  27271  lgsquadlem1  27318  chtppilimlem1  27411  dchrvmasumiflem1  27439  pntrlog2bndlem5  27519  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemh  27537  pntlemj  27541  ostth2lem2  27572  axlowdimlem16  28935  fzto1st1  33071  smattr  33812  smatbl  33813  smatbr  33814  ballotlem2  34502  ballotlemsdom  34525  ballotlemsima  34529  ballotlemfrcn0  34543  ballotlem1ri  34548  breprexplemc  34645  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  inffz  35774  poimirlem2  37672  poimirlem6  37676  poimirlem7  37677  poimirlem8  37678  poimirlem11  37681  poimirlem15  37685  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  poimirlem22  37692  poimirlem24  37694  poimirlem29  37699  poimirlem31  37701  poimirlem32  37702  mblfinlem2  37708  fdc  37795  aks6d1c1  42219  aks6d1c5lem1  42239  sticksstones6  42254  sticksstones7  42255  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  bcled  42281  bcle2d  42282  unitscyglem2  42299  unitscyglem4  42301  irrapxlem3  42927  acongrep  43083  fzmaxdif  43084  acongeq  43086  jm2.23  43099  jm2.26lem3  43104  jm2.27dlem2  43113  monoords  45408  fmul01lt1lem1  45694  fmul01lt1lem2  45695  sumnnodd  45740  limsupubuzlem  45820  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  stoweidlem3  46111  stoweidlem11  46119  stoweidlem20  46128  stoweidlem26  46134  stoweidlem34  46142  wallispi2  46181  dirkeritg  46210  fourierdlem11  46226  fourierdlem12  46227  fourierdlem15  46230  fourierdlem41  46256  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem50  46264  fourierdlem52  46266  fourierdlem54  46268  fourierdlem79  46293  fourierdlem102  46316  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem114  46328  elaa2lem  46341  etransclem3  46345  etransclem4  46346  etransclem7  46349  etransclem10  46352  etransclem23  46365  etransclem24  46366  etransclem31  46373  etransclem32  46374  etransclem35  46377  etransclem41  46383  etransclem46  46388  caratheodorylem1  46634  iccpartgt  47537